9.5: Conservación de la Energía, Principio Trabajo-Energía y Balance Energético Mecánico

Cuando los estudiantes abandonan la mecánica física y se les introduce el principio más general de Conservación de la Energía, a menudo luchan por comprender cómo se relaciona con el Principio Trabajo-Energía más restringido y el Balance de Energía Mecánica. O como suelen decirlo los estudiantes, “¿Qué ecuación energética debo usar?”

Las siguientes notas (1) ilustran cómo los principios más restringidos se relacionan de nuevo con la Conservación fundamental de la Energía y (2) dan a los estudiantes una lista de supuestos de modelado que pueden ser reconocidos y aplicados a un problema específico para recuperar el Balance Energético Mecánico.

Debido a que este curso enfatiza la construcción de soluciones específicas de problemas a partir de principios fundamentales, es decir, Conservación de la Energía en este caso, este material se introduce mejor después de que los estudiantes hayan leído las secciones 7.1, 7.2 y 7.3 del Capítulo 7 y antes de que se les asigne cualquier problema de tarea de tipo de energía laboral normalmente se encuentran en un curso básico de mecánica.

1. Conservación de la Energía, el Principio Trabajo-Energía y el Balance Energético Mecánico — Estas notas describen (1) cómo se desarrolla el Principio Trabajo-Energía a partir de la Conservación del Momento Lineal, (2) cómo se puede desarrollar el Balance Energético Mecánico a partir de la Conservación de Energía, (3) cómo el Trabajo-Energía Principio y Balance Energético Mecánico están relacionados, y (4) cuándo deben usar los estudiantes cada uno. Además, estas notas también introducen la energía de resorte como un tipo de energía mecánica.
2. Resumen — breve resumen de la sección anterior.
3. ¿Cuándo puedo iniciar mi análisis con el Balance de Energía Mecánica para un sistema cerrado? — Estas notas proporcionan tres enfoques diferentes con supuestos de modelado para reducir la ecuación general de Conservación de Energía al Balance de Energía Mecánico más restringido. [Estas notas hacen uso explícito del modelo de sustancia incompresible para relacionar el cambio de temperatura con el cambio de energía interna.]

1. La conservación de la energía, el principio trabajo-energía y el balance energético mecánico

En tu estudio de ingeniería y física, te encontrarás con una serie de conceptos de ingeniería relacionados con la energía. Tres de los más comunes son la conservación de la energía, el principio trabajo-energía y el balance de ingeniería mecánica. La Conservación de la Energía es tratada en este curso como una de las leyes físicas generales y fundamentales. Los otros dos conceptos son casos especiales y sólo se aplican bajo condiciones limitadas. El propósito de esta nota es revisar el pedigrí del Principio Trabajo-Energía, para mostrar cómo se desarrolla el Balance Energético Mecánico más general a partir de la Conservación de la Energía, y finalmente describir las condiciones bajo las cuales se prefiere el Balance Energético Mecánico sobre el Principio Trabajo-Energía.

Principio de trabajo-energía para una partícula

Considera una partícula de masa\(m\) y velocidad que\(\vec{V}_{G}\) se mueve en un campo gravitacional de fuerza\(\vec{g}\) sujeta a una fuerza superficial\(\vec{R}_{\text {surface}}\). Bajo estas condiciones, escribir Conservación de Momentum Lineal para la partícula da lo siguiente:\[\frac{d}{dt} \left(m \vec{V}_{G}\right) = \vec{R}_{\text {surface}} + m \vec{g} \label{SM.1.1} \] Formando el producto puntual de la Ec. \((\mathrm{SM.}1.1)\)con la velocidad de la partícula y reordenando términos da la forma de velocidad del Principio de Trabajo-Energía para una partícula:\[\frac{d}{dt} \underbrace{\left(m \frac{\mathrm{V}^{2}}{2}\right)}_{\begin{array}{c} \text{Kinetic} \\ \text{energy} \end{array}} +\frac{d}{dt} \underbrace{(mgz)}_{\begin{array}{c} \text {Gravitational} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} = \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \vec{V}_{G}}_{\begin{array}{c} \text {mechanical} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} \left(E_{K} + E_{GP}\right) = \dot{W}_{\text {mech, in}} \label{SM.1.2} \]

Recordemos que la potencia mecánica se define como\(\dot{W}_{\text {mech, in}} = \vec{R}_{\text {surface}} \cdot \vec{V}_{G}\), el punto producto de la fuerza superficial con la velocidad de su punto de aplicación. Debido a que una partícula no tiene extensión y solo una velocidad, el punto de aplicación de la fuerza superficial y la partícula siempre tienen la misma velocidad.

Integrando la Ec. \((\mathrm{SM}.1.1)\)con respecto a la distancia o la Ec. \((\mathrm{SM}.1.2)\)con respecto al tiempo da la relación más familiar para el cambio en la energía cinética, el cambio en la energía potencial gravitacional y el trabajo mecánico:\[\begin{array}{c} \displaystyle \Delta \underbrace{\left(m \frac{V_{G}{ }^{2}}{2}\right)}_{=E_{K}} + \Delta \underbrace{\left(mgz_{G}\right)}_{=E_{GP}} = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R}_{\text {surface}} \cdot \underbrace{\vec{V}_{G} \ dt}_{=d \vec{s}} = \underbrace{\int\limits_{1}^{2} \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \ d \vec{s}}_{=\delta W_{\text {mech in}}} }_{=W_{\text {mech, in}}} \\ \displaystyle \Downarrow \\ \Delta E_{K} + \Delta E_{GP} = W_{\text {mech, in}} \end{array} \label{SM.1.3} \]

Esto se conoce como la forma de tiempo finito del Principio de Trabajo y Energía para una partícula. Recordemos que el trabajo mecánico es la integral de tiempo de la potencia mecánica y puede calcularse como el producto puntual de la fuerza superficial y el desplazamiento de su punto de aplicación. Nuevamente, el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza superficial es inequívoco para una partícula porque es lo mismo que el desplazamiento de la partícula.

Aunque el Principio Trabajo-Energía utiliza el lenguaje energético —energía, trabajo, potencia— no agrega nada nuevo que no pudiera haber sido descubierto a través de una cuidadosa aplicación de la Conservación del Momentum Lineal.

Conservación de Energía y Balance Energético Mecánico para un Sistema Cerrado

Escribiendo Conservación de Energía para un sistema cerrado, obtenemos la forma de tasa de Conservación de Energía para un sistema cerrado:\[\frac{d}{dt} \left(E_{sys}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}} \label{SM.1.4} \] Restringirnos a solo tres tipos de energía: energía interna\(U\)\(E_{K}\), energía cinética y energía potencial gravitacional,\(E_{GP}\) tenemos la siguiente resultado:\[\frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \nonumber \]

Si bien las distinciones son algo artificiales, segregaremos la energía en dos grupos: la energía térmica y la energía mecánica. La energía interna generalmente se clasifica como energía térmica porque el cambio de energía interna de un sistema a menudo se asocia con un cambio de temperatura. Las otras dos energías se clasifican como energía mecánica porque cambiar la energía cinética o energía potencial gravitacional de un sistema se puede hacer únicamente mediante la aplicación de una fuerza superficial y su trabajo mecánico asociado. Además, separaremos la tasa de transferencia de trabajo de energía (potencia) en dos términos: trabajo mecánico donde hay una fuerza superficial identificable y trabajo no mecánico, por ejemplo, trabajo eléctrico.

Usando estas nuevas distinciones entre fenómenos mecánicos y térmicos, podemos reescribir la Eq. \((\mathrm{SM.}1.5)\)y agrupe los términos mecánicos y térmicos como se muestra a continuación:\[\begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{Q}_{\text{net, in}} + \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}}}_{=\dot{W}_{\text{net, in}}} \\ \underbrace{\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right)}_{\begin{array}{c} \text{Rate of change} \\ \text{of the} \\ \text{mechanical energy} \\ \text{in the system} \end{array}} &= \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}}}_{\begin{array}{c} \text{Transport rate} \\ \text{of energy by} \\ \text{mechanical work} \end{array}} + \underbrace{ \left[\dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}} - \dfrac{d}{dt} \left(U_{sys}\right)\right] }_{\begin{array}{c} \text{Net production rate} \\ \text{of mechanical energy} \\ \text{inside the system} \end{array}} \\ &\Downarrow\\ \dfrac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{E}_{\text{net, mech, prod}} \end{array} \nonumber \]

Esto se llama la forma de tasa del Balance de Energía Mecánica para un sistema cerrado. Da cuenta del almacenamiento, transporte y producción o destrucción de energía mecánica en un sistema cerrado. En palabras,

la tasa de cambio de tiempo de la energía mecánica en el sistema es igual a la tasa neta de transporte de energía con trabajo mecánico (potencia mecánica neta) en el sistema más la tasa de producción neta de energía mecánica dentro del sistema.

En general, el término de la tasa de producción neta puede tomar valores tanto positivos como negativos.

La introducción y presencia de un término de producción no viola la Conservación de la Energía porque solo estamos contando un tipo de energía, y una de las características de la energía es que se puede almacenar de diferentes maneras. [Considera un mármol enrollando hacia arriba y hacia abajo los lados de una ensaladera de madera. Si no hay pérdidas, hay un intercambio continuo entre la energía potencial cinética y gravitacional y si uno solo estuviera contando la energía cinética, alternativamente parecería ser producida y luego destruida. La idea de contar solo un tipo de energía es análoga a la idea de contar solo una especie química (Contabilidad de especies) utilizada anteriormente en nuestro estudio de Conservación de Masa.

Balance Energético Mecánico = ¿Principio Trabajo-Energía?

Ya hemos demostrado que el Principio Trabajo-Energía para partículas es un descendiente directo de Conservación de Momentum Lineal y el Balance de Energía Mecánica para un sistema cerrado surgió de la Conservación de Energía. Reescritos a continuación juntos, vemos que parecen ser similares aunque uno esté escrito para una partícula y el otro para un sistema cerrado más general:

\[\begin{aligned} &\text{Work-Energy Principle for a particle (Supplementary Materials 1.2):} \\ &\quad\quad\quad\quad \frac{d}{dt} \left(E_{K}+E_{GP}\right) = \dot{W}_{\text {mech, in}} \\ \text{ } \\ &\text{Mechanical Energy Balance for a closed system (Supplementary Materials 1.6):} \\ &\quad\quad\quad\quad \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}} + \dot{E}_{\text {net, mech, prod}} \end{aligned} \nonumber \]

La única diferencia significativa entre las dos ecuaciones es el término de tasa de producción neta para la energía mecánica.

Si podemos encontrar un conjunto de condiciones bajo las cuales no se produce ni se destruye la energía mecánica, el Principio Trabajo-Energía y el Balance de Energía Mecánica contienen la misma información. Entonces la pregunta importante es ¿cuándo ocurre esto? Sin crear una lista inclusiva de condiciones, indicaremos solo un conjunto de condiciones:

La energía mecánica no se producirá ni destruirá dentro de un sistema cerrado si (1) los materiales en el sistema son incompresibles, (2) no hay fricción interna o fricción entre partes del sistema cerrado, y (3) solo se produce trabajo mecánico en el límite del sistema. (Tenga en cuenta que esto no prohíbe la fricción en el límite del sistema).

Este conjunto de condiciones es consistente con las condiciones usualmente invocadas al aplicar el Principio Trabajo-Energía. Cuando se cumplen estas condiciones, el Balance Energético Mecánico reproduce los resultados del Principio Trabajo-Energía con la ventaja añadida de que aplica a cualquier sistema cerrado. Si existe la restricción en la fricción interna se relaja, mostraremos más adelante que la energía mecánica sólo puede ser destruida. Con esto en mente, las condiciones que no producen o destruyen energía mecánica frecuentemente representan el mejor o ideal comportamiento para el sistema. (Esta idea se explorará más a fondo cuando nos encontremos con la Segunda Ley de la Termodinámica y el Principio de Contabilidad de Entropía.)

Adición de Muelles (Energía Elástica) al Balance de Energía Mecánica para un sistema cerrado

Ahora que hemos demostrado la relación entre el Principio Trabajo-Energía y el Balance de Energía Mecánica, deseamos incluir un tipo adicional de energía que pueda manejarse dentro de nuestro Balance de Energía Mecánica: energía elástica o elástica.

Normalmente solo consideraremos verdaderos resortes mecánicos. Suponiendo un resorte lineal sin histéresis o fricción interna, la energía almacenada en un resorte puede calcularse a partir de la siguiente ecuación:\[\begin{array}{ll} & E_{\text {Spring}} &= \dfrac{1}{2} k \left(x - x_{0}\right)^{2} \\ \text { where } \quad\quad & k &= \text{spring constant [Force/Length]} \\ & x_{0} &= \text {unstretched length of the spring} \\ & x &= \text {stretched length of the spring} \end{array} \nonumber \] Tenga en cuenta que un resorte no estirado no almacena energía mecánica, y que un resorte lineal ideal almacena energía cuando se comprime o estira.

Incluyendo esta forma adicional de energía mecánica, tenemos una forma de tasa expandida del Balance de Energía Mecánica para un sistema cerrado:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys} + E_{Spring, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}} + \dot{E}_{\text {net, mech, prod}} \nonumber \] Esta es la forma más general que presentaremos.

En pocas palabras: ¿Cuándo debo y puedo usar el Balance de Energía Mecánica?

Aunque la forma general puede ser útil, la Ec. \((\mathrm{SM.}1.8)\)es de mayor utilidad cuando podemos suponer que no hay producción de energía mecánica ni destrucción. Bajo estas condiciones, tenemos la forma de tasa expandida del Balance de Energía Mecánica para un sistema cerrado e incompresible sin fricción interna y solo trabajo mecánico:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys} + E_{Spring, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}} \nonumber \] Integrado con respecto al tiempo recuperamos la forma de tiempo finito:\[\Delta E_{K, \ sys} + \Delta E_{GP, \ sys} + \Delta E_{Spring, \ sys} = W_{\text {net, mech, in}} \nonumber \] Si su sistema contiene solo incompresible objetos, no hay fricción interna, y solo se produce trabajo mecánico en el límite del sistema entonces puedes y debes usar la Eq. \((\mathrm{SM.}1.9)\)o\((\mathrm{SM.}1.10)\) en lugar de la Conservación completa de la Energía. Esto también reemplazará el Principio Trabajo-Energía para una partícula, a menos que encuentre una ventaja particular en comenzar con la Conservación del Momento Lineal e integrarse. Cuando se aplica adecuada y correctamente, el Balance de Energía Mecánica tal como se presenta en la Ec. \((\mathrm{SM.}1.9)\)y la Eq. \((\mathrm{SM.}1.10)\)puede hacer todo lo que el Principio Trabajo-Energía puede y más.

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2. Resumen

Principio de trabajo-energía para una partícula

... Comience con la conservación del momento lineal para una partícula (Ecuación\ ref {SM.1.1}):\[\frac{d}{dt} \left(m \vec{V}_{G}\right) = \vec{R}_{\text {surface}}+m \vec{g} \nonumber \]

... Formar el producto puntual con la velocidad del centro de masa\(\vec{V}_{G}\) y definir la energía cinética, la energía potencial gravitacional y la potencia mecánica para obtener la forma de velocidad del principio trabajo-energía para una partícula (Ecuación\ ref {SM.1.2}):\[\frac{d}{dt} \underbrace{\left(m \frac{\mathrm{V}^{2}}{2}\right)}_{\begin{array}{c} \text{Kinetic} \\ \text{energy} \end{array}} +\frac{d}{dt} \underbrace{(mgz)}_{\begin{array}{c} \text {Gravitational} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} = \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \vec{V}_{G}}_{\begin{array}{c} \text {mechanical} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{d}{dt} \left(E_{K} + E_{GP}\right) = \dot{W}_{\text {mech, in}}} \nonumber \]

... Integre la forma de tasa del principio trabajo-energía a lo largo de un intervalo de tiempo para obtener la forma de tiempo finito del principio trabajo-energía para una partícula (Ecuación\ ref {SM.1.3}):\[\begin{array}{c} \displaystyle \Delta \underbrace{\left(m \frac{V_{G}{ }^{2}}{2}\right)}_{=E_{K}} + \Delta \underbrace{\left(mgz_{G}\right)}_{=E_{GP}} = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R}_{\text {surface}} \cdot \underbrace{\vec{V}_{G} \ dt}_{=d \vec{s}} = \underbrace{\int\limits_{1}^{2} \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \ d \vec{s}}_{=\delta W_{\text {mech in}}} }_{=W_{\text {mech, in}}} \\ \displaystyle \Downarrow \\ \boxed{\Delta E_{K} + \Delta E_{GP} = W_{\text {mech, in}}} \end{array} \nonumber \]

Conservación de Energía y Balance Energético Mecánico para un Sistema Cerrado

... Comience con la forma tarifaria de la conservación de energía para un sistema cerrado:\[\frac{d}{dt} \left(E_{sys}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}} \nonumber \]

... Clasifique la energía en dos tipos: mecánica vs. térmica. La energía mecánica se puede lograr sin cambiar la temperatura del sistema, mientras que la energía térmica generalmente requiere un cambio en la temperatura o presión del sistema. Términos de reagrupamiento tenemos la forma de tasa del Balance de Energía Mecánica (en general la energía mecánica, como cualquier tipo de energía, no se conserva). (Ver Ecuación\ ref {SM.1.4})

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{Q}_{\text{net, in}} + \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}}}_{= \dot{W}_{\text{net, in}}} \\ \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}}}_{\begin{array}{c} \text{Transport rate} \\ \text{of energy by} \\ \text{mechanical work} \end{array}} + \underbrace{\left[\dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}} - \frac{d}{dt} \left(U_{sys}\right)\right]}_{\begin{array}{c} \text{Net production rate of mechanical energy} \\ \text{inside the system} \\ ( \text{May be } >, \ <, \text{ or } =0) \end{array}} \\ \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{E}_{\text{net, mech, prod}} \end{aligned} \nonumber \]

El valor del término de producción de energía mecánica depende del proceso. Si el sistema contiene solo sustancias incompresibles, el término de producción de energía mecánica siempre es menor o igual a cero, es decir, la energía mecánica se destruye en procesos reales. Cuando el término de producción/destrucción de energía mecánica es cero, el balance energético mecánico y el principio trabajo-energía son idénticos.

¿Cuándo funciona el Balance Energético Mecánico = Principio Trabajo-Energía?

Cuando la energía mecánica no se crea ni se destruye, el Balance de Energía Mecánica reproduce los resultados del Principio Trabajo-Energía con la ventaja añadida de que aplica a cualquier sistema cerrado. Aunque no todo incluido, un conjunto útil de condiciones bajo las cuales esto ocurre sigue:

La energía mecánica no se producirá ni destruirá dentro de un sistema si

1. el sistema está cerrado,
2. todas las sustancias del sistema son incompresibles,
3. no hay fricción (disipación) dentro o entre partes del sistema cerrado, y
4. la única transferencia de energía en el límite del sistema es el trabajo mecánico. (Tenga en cuenta que esto no prohíbe la fricción en el sistema de límites.)

Si todas estas condiciones aplican a su sistema, ¡puede y debe comenzar su análisis con el Balance de Energía Mecánica y establecer el plazo de producción en cero!

Estas condiciones son consistentes con los supuestos que haces al desarrollar y aplicar el Principio Trabajo-Energía. Las condiciones que no producen o destruyen energía mecánica frecuentemente representan el mejor o ideal comportamiento para el sistema. Además, muchos de los tipos de problemas que resolviste en física que involucraban fuerzas conservadoras se pueden resolver usando el Balance de Energía Mecánica.

Una nueva forma de energía mecánica — Springs (Elastic Energy)

Para un resorte lineal ideal, es decir, sin histéresis o fricción interna, la magnitud de la fuerza ejercida por el muelle\(|F|\), es proporcional a la compresión/extensión,\(\delta\), del resorte desde su longitud no estirada (libre), es decir\(|F|=k|\delta|\). Un resorte sin comprimir o sin estirar tiene cero energía elástica (elástica). Cuando un resorte lineal ideal es desviado (comprimido o estirado), almacena energía del resorte. Los resortes también pueden tener cinética, potencial gravitacional y energía interna; sin embargo, la cantidad de energía del resorte (elástica) solo depende de la desviación del resorte. La energía elástica almacenada en un resorte lineal ideal se puede calcular de la siguiente manera:\[\begin{aligned} E_{\text{Spring}} &= \frac{1}{2} k \delta^{2} = \frac{1}{2} k \left|x-x_{o}\right|^{2} \\ \text{where} \quad\quad\quad k &= \text{spring constant } [\mathrm{Force} / \mathrm{Length}] \\ \delta &= \left|x-x_{o}\right| = \text{spring deflection (compression or extension) from its free length} \\ x_{o} &= \text{length of the unstretched spring, sometimes called the "free length"} \\ x &= \text{length of the stretched or compressed spring} \end{aligned} \nonumber \]

Cuando se utiliza la conservación de energía (o el balance de energía mecánica) para resolver un problema con los resortes, generalmente es ventajoso colocar los resortes dentro del sistema. Si permanecen afuera, la fuerza del resorte (un vector) sí funciona en el sistema. Cuando se coloca dentro del sistema, el efecto de los resortes se maneja a través de la energía de resorte cambiante en el sistema.

En pocas palabras: ¿Cuándo debo usar el Balance de Energía Mecánica?

Si su sistema está (1) cerrado, contiene solo (2) objetos incompresibles, (3) no tiene fricción interna (fricción/disipación dentro o entre partes del sistema), y tiene (4) solo transferencias de energía de trabajo mecánico en el límite, entonces la energía mecánica es “conservado” y usted puede, puede y debe comenzar su análisis con el Balance de Energía Mecánica (forma de velocidad o forma de tiempo finito) asumiendo que la producción/destrucción mecánica es idéntica a cero. \[\boxed{\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys} + E_{Spring, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}}} \quad \text { or } \quad \boxed{\Delta E_{K, \ sys} + \Delta E_{GP, \ sys} + \Delta E_{Spring, \ sys} = W_{\text {net, mech, in}}} \nonumber \]

3. ¿En qué condiciones es válido el Balance de Energía Mecánica (energía mecánica conservada) para un sistema cerrado? ¿Qué suposiciones debo hacer?

Balance de Energía Mecánica de Sistema Cerrado (con energía mecánica conservada)

\[\begin{array}{ll} \text { Rate Form } & \dfrac{d E_{\text {sys, mech}}}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left(E_{\text{Kinetic}} + E_{\text{Gravitational}} + E_{\text{Spring}}\right) = \dot{W}_{\text {mech, net, in}} \\ { } \\ \text { Finite-Time Form } & \Delta E_{\text {sys, mech}} = \Delta E_{\text{Kinetic}} + \Delta E_{\text{Gravitational}}+\Delta E_{\text{Spring}} = W_{\text {mech, net, in}} \end{array} \nonumber \]En todos los casos donde se va a contar la energía, SIEMPRE comenzamos aplicando la Ecuación de Conservación de Energía completa, generalmente en forma de tasa. Luego viajamos al Balance de Energía Mecánica (MEB) por uno de tres enfoques:

ENFOQUE #1 - (Enfoque Preferido)

Comienza con la Ecuación de Conservación de Energía y enfatiza los supuestos mecánicos (sin mención de transferencia de calor, etc.) para moverse directamente al balance de energía mecánica (MEB), donde se conserva la energía mecánica:

Asumir:

1. Sistema cerrado
2. Sustancia incompresible
3. Solo trabajo mecánico/potencia en los límites
4. Sin fricción interna, es decir, dentro de los cuerpos o entre las superficies dentro del sistema

ENFOQUE #2

Comienza con la Ecuación de Conservación de Energía y enfatiza los supuestos termodinámicos sin un modelo de sustancia:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, i }} + \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right) \nonumber \]

Asumir:

1. Sistema cerrado
2. Sin transferencia de calor, es decir, sistema adiabático
3. No hay cambios en la energía interna, i.e.\(\Delta U=0\)

ENFOQUE #3

Comienza con la Ecuación de Conservación de Energía y enfatiza los supuestos termodinámicos incluyendo el modelo de sustancia incompresible:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} + \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right) \nonumber \]

Asumir:

1. Sistema cerrado
2. Sustancia incompresible
3. Sin transferencia de calor, es decir, sistema adiabático
4. Proceso isotérmico, es decir, sin cambio de temperatura\((\Delta T=0)\)