8.4: Técnicas Basadas en Rejilla

Como se señaló anteriormente, los cálculos de momento en la variable de salida son esencialmente una integral sobre el dominio de las variables aleatorias. Ante este hecho, un enfoque obvio es simplemente enfocarse en una rutina de integración de alta calidad que utilice algunos puntos fijos\(x\) -en el método de Monte Carlo, estos fueron elegidos al azar. En una dimensión, tenemos la regla trapezoidal estándar:

\ begin {align}\ int\ límites_ {a} ^ {b} g (x)\, dx\, &\ approx\,\ sum_ {i=1} ^ {n} w_i g (x_i),\ textrm {con}\\ [4pt] w_1\, &=\, (b-a)/2 (n-1)\ nonumber\\ [4pt] w_n\, &=\, (b-a)/2 (n-1)\ nonumber\\ [4pt] w_2,\,\ cdots,\, w_ {n-1}\, &=\, (b-a)/(n-1)\ nonumber\\ [4pt] x_i\, &=\, a + (i-1) (b-a)/(n-1). \ nonumber\ end {align}

Aquí los\(w_i\) son simplemente pesos, y\(g\) es para ser evaluados en las diferentes abscisas\(x_i\). Esta regla tiene error del orden\(1 / n^2\), lo que significa que una duplicación en el número de puntos n da una mejora cuádruple en el error. Para realizar una integración en dos dimensiones tomamos el tensor producto de dos cálculos de una sola dimensión:

\[ \int\limits_{a}^{b} \int\limits_{c}^{d} g(x) \, dx \, \approx \, \sum_{i=0}^{n_1} \sum_{j=0}^{n_2} w_i w_j g(x_{ij}). \]Aquí las abscisas tienen dos elementos, tomados según las rejillas en las dos direcciones. En muchas aplicaciones, la regla trapezoidal en las multidimensiones funciona bastante bien y puede dar una buena comprensión de los diversos momentos del sistema dado. Extensiones como la integración Romberg, con el producto tensor, se pueden aplicar para mejorar los resultados.

También está disponible una técnica particularmente poderosa que involucra polinomios ortogonales y brinda una precisión verdaderamente notable para funciones suaves. Para nuestro desarrollo aquí, nos centraremos en distribuciones normales de variables aleatorias. Estos pertenecen a un conjunto particular de polinomios ortogonales conocidos como polinomios ermitanos (pronunciados “ermitaño”). Estos son:

\ begin {align*} h_0 (x)\, &=\, 1\\ [4pt] h_1 (x)\, &=\, x\\ [4pt] h_2 (x)\, &=\, x^2 - 1\\ [4pt] &\ cdots\ nonumber\\ [4pt] h_ {n+1} (x)\, &= x h_n (x) - n h_ {n-1} (x)\ textrm {(relación de recurrencia).} \ end {alinear*}

La característica definitoria de este conjunto de polinomios es que

\[ \int\limits_{- \infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} h_i (x) h_j (x) dx = \begin{cases} 0, && \text{if and only if } i \neq j \\[4pt] 1, && \text{if and only if } i = j \end{cases} \]

Tenga en cuenta que hemos elegido una escala para que el producto interno salga a ser exactamente uno; algunas definiciones de libros de texto de los polinomios de Hermita no coincidirán con esto. Tenga en cuenta también que el producto interno se toma con respecto a la función de ponderación exponencial gaussiana, que equiparamos a continuación con el pdf gaussiano. Ahora la magia viene de lo siguiente\(^1\): un polinomio de orden\((2n − 1)\) 'ésimo\(g(x)\) puede escribirse como

\[ g(x) \, = \, h_n (x) [a_{n-1} h_{n-1}(x) + a_{n-2} h_{n-2}(x) + \cdots + a_0 h_0(x)] + b_{n-1} h_{n-1}(x) + \cdots + b_0 h_0(x). \]

Esta fórmula, con los\(2n\) coeficientes\(a\) y\(b\), abarca el término de orden\((2n-1)\) 'ésimo con\(a_{n-1} h_n(x) h_{n-1}(x)\), y el término de orden cero' con\(b_0 h_0(x)\). Se puede demostrar que todos los productos son linealmente independientes, de manera que efectivamente se\(2n - 1\) contabilizan todos los polinomios al orden.

Volviendo al problema de la integración, para la determinación de los momentos, recordar la definición de que

\[ E(g(x)) \, = \int\limits_{x \epsilon X} p(x) g(x) \, dx, \]

donde\(p(x)\) es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria\(x\). Empleando específicamente el pdf gaussiano en\(p(x)\) y los polinomios Hermite para lograr la ortogonalidad, podemos integrar nuestro de la\(g(x)\) siguiente manera:

\[ \int\limits_{- \infty}^{\infty} p(x) g(x) \, dx \, = \, b_0 \int\limits_{- \infty}^{\infty} p(x) h_0(x) \, dx \, = \, b_0. \]

Así, ¡sólo tenemos que encontrar\(b_0\)! Para ello, seleccionamos inteligentemente las abscisas para que sean los ceros (o raíces) de\(h_n(x)\) - llamémoslos\(x_1, \cdots, x_n\). Obtenemos un sistema lineal:

\ begin {align}\ begin {Bmatrix} g (x_1)\\ [4pt]\ vdots\\ [4pt] g (x_n)\ end {Bmatrix}\, &=\,\ begin {bmatrix} h_ {n-1} (x_1) &\ cdots & h_0 (x_1)\ [4pt]\ vdots &\ &\ vdots\\ [4pt] h_ {n-1} (x_n) &\ cdots & h_0 (x_n)\ end {bmatrix}\ begin {Bmatrix} b_ {n-1}\\ [4pt]\ vdots\\ [4pt] b_0\ end {Bmatrix },\ quad\ texto {o}\\ [4pt]\ quad\ nonumber\\ [4pt]\ vec {g}\, &=\, H\ vec {b}. \ end {align}

Observe que los\(a\) coeficientes no aparecen aquí porque los\(x_i\) se toman en las raíces de\(h_{n-1}(x)\). El sistema lineal se puede resolver fácilmente como\(\vec{b} = H^{-1} \vec{g}\), y tenemos un interés especial en la última fila, que por supuesto tiene la solución para\(b_0\). En efecto, la fila inferior de\(H^{-1}\) es el conjunto de pesos\(w_i\), en completa analogía con los pesos que definimos anteriormente para la regla trapezoidal:

\[ b_0 \, = \int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x) g(x) \, dx \, = \, \sum_{i=1}^{n} w_i g(x_i). \]

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\(^{\PageIndex{1}}\): Partes de esta derivación siguen a J.R. Hockenberry y B.C. Lesieutre (2004), IEEE Transactions on Power Systems, 19:1483-1491.