13.1: Vectores

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Definición

Usamos la flecha de arriba para denotar un vector de columna, es decir, un segmento lineal con una dirección. Por ejemplo, en tres espacios, escribimos un vector en términos de sus componentes con respecto a un sistema de referencia como

\[ \vec{a} \, = \, \begin{Bmatrix} \,2\, \\[4pt] \,1\, \\[4pt] \,7\, \end{Bmatrix}. \]

Los elementos de un vector tienen una interpretación gráfica, que es particularmente fácil de ver en dos o tres dimensiones.

Vector suma:\ begin {align}\ vec {a} +\ vec {b}\, &=\,\ vec {c}\\ [4pt] [5 pt]\ begin {Bmatrix}\ ,2\,\ [4pt]\ ,1\,\ [4pt]\ ,7\,\ end {Bmatrix} +\ begin {Bmatrix}\ ,3\,\ [4pt]\ ,3\,\\ [4pt]\ ,2\,\ end {Bmatrix}\, &=\,\ begin {Bmatrix}\ ,5\,\\ [4pt]\ ,4\,\ [4pt]\ ,9\,\ end {Bmatrix}\ end {align} Gráficamente, la suma está encadenando los vectores de cabeza a cola.
Multiplicación escalar:\[ -2 \times \begin{Bmatrix} \,2\, \\[4pt] \,1\, \\[4pt] \,7\, \end{Bmatrix} \, = \, \begin{Bmatrix} \,-4\, \\[4pt] \,-2\, \\[4pt] -14 \end{Bmatrix} \]

\(\PageIndex{2}\): Vector Magnitude

La longitud total de un vector de dimensión\(m\), su norma euclidiana, viene dada por

\[ || \vec{x} || \, = \, \sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_i^2}. \]Este escalar se usa comúnmente para normalizar un vector a la longitud uno.

\(\PageIndex{3}\): Vector Dot or Inner Product

El producto punto de dos vectores es un escalar igual a la suma de los productos de los componentes correspondientes:\[\vec{x} \cdot \vec{y} \, = \, \vec{x}^T \vec{y} \, = \, \sum_{i=1}^{m} x_i y_i.\] El producto punto también satisface\[\vec{x} \cdot \vec{y} \, = \, ||\vec{x}|| ||\vec{y}|| \cos \theta, \] dónde\(\theta\) está el ángulo entre los vectores.

\(\PageIndex{4}\): Vector Cross Product

El producto cruzado de dos vectores tridimensionales\(\vec{x}\) y\(\vec{y}\) es otro vector\(\vec{z}\), escrito como\(\vec{x} \times \vec{y} = \vec{z}\). Vectores\(\vec{z}\)

dirección es normal al plano formado por los otros dos vectores,
dirección viene dada por la regla de la derecha, que gira de\(\vec{x}\) a\(\vec{y}\),
magnitud es el área del paralelogramo formado por los dos vectores — el producto cruzado de dos vectores paralelos es cero — y
(firmado) la magnitud es igual a\(||\vec{x}|| ||\vec{y}|| \sin \theta\), donde\(\theta\) está el ángulo entre los dos vectores, medido de\(\vec{x}\) a\(\vec{y}\).

En cuanto a sus componentes,

\[ \vec{x} \times \vec{y} \, = \, \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\[4pt] x_1 & x_2 & x_3 \\[4pt] y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} \, = \, \begin{Bmatrix} (x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{i} \\[4pt] (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{j} \\[4pt] (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{k} \end{Bmatrix}. \]