3.3: Partículas en una dimensión

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Un caso sencillo

Considera el peso suspendido por una cuerda que se muestra en la Figura 3.3.1. Los diagramas de este tipo se denominan diagramas espaciales; muestran los objetos tal como existen en el espacio.

En mecánica nos interesa estudiar las fuerzas que actúan sobre los objetos y en este curso, los objetos estarán en equilibrio. La mejor manera de hacerlo es dibujar un diagrama que se centre en las fuerzas que actúan sobre el objeto, no en los mecanismos que lo mantienen en su lugar. Llamamos a este tipo de diagrama un diagrama de cuerpo libre porque muestra el objeto desconectado o liberado de sus mecanismos de soporte. Puedes ver el diagrama de cuerpo libre para esta situación moviendo el control deslizante en el interactivo a la posición dos. Esto demuestra que hay dos fuerzas que actúan sobre el objeto; la fuerza de la cuerda que lo sostiene, y el peso del objeto que está tratando de tirarlo a la tierra, que tratamos como actuando en su centro de gravedad.

La forma real del peso no es importante para nosotros, por lo que simplemente se puede representar con un punto, como se muestra cuando el control de vista está en la posición tres. Las fuerzas se han deslizado a lo largo de su línea de acción común hasta que ambas actúan sobre el punto, lo que es un ejemplo de una transformación equivalente llamada “Principio de Transmisibilidad”. Este diagrama en la vista tres es completamente suficiente para esta situación.

Mueve el control deslizante para ver diferentes representaciones de la situación.

Figura 3.3.1. Un peso suspendido

Dibujar diagramas de cuerpo libre puede ser sorprendentemente complicado. La razón de esto es que debes identificar todas las fuerzas que actúan sobre el objeto y representarlas correctamente en el diagam de cuerpo libre. Si no consigues dar cuenta de todas las fuerzas, incluir otras adicionales, o representarlas incorrectamente, tu análisis seguramente estará equivocado.

Entonces, ¿qué tipo de análisis podemos hacer aquí? Es cierto que no mucho. Podemos encontrar la tensión en la cuerda causada por un peso particular y usarla para seleccionar una cuerda apropiadamente fuerte, o podemos determinar el peso máximo que una cuerda en particular puede soportar de manera segura.

El análisis real es tan trivial que probablemente ya lo hayas hecho en tu cabeza, sin embargo, a continuación se mostrarán varias formas de abordarlo.

En el enfoque vectorial utilizaremos la ecuación de equilibrio (3.1.1).

Ejemplo 3.3.2. Adición de Vector 1-D.

Encuentra la relación entre la tensión en la cuerda y el peso suspendido para el sistema de la Figura 3.3.1.

Contestar

\ comenzar {alinear*} T\ amp = W\ final {alinear*}

Aprendemos que la tensión es igual al peso.

Solución

El digrama de cuerpo libre muestra dos fuerzas que actúan sobre la partícula, y como la partícula está en equilibrio deben sumarse a cero.

\ begin {alinear*}\ Sigma\ vec {F}\ amp = 0\\\ vec {T} +\ vec {W}\ amp = 0\\ vec {T}\ amp = -\ vec {W}\ end {alinear*}

Concluimos que la fuerza\(\vec{T}\) es igual y opuesta a\(\vec{W}\text{,}\) eso es, ya que el peso está actuando hacia abajo, la cuerda actúa con la misma magnitud pero hacia arriba.

La tensión es la magnitud de la fuerza de la cuerda. Recordemos que la magnitud de un vector es siempre un escalar positivo. Utilizamos tipos de letra normales (no negrita) o barras de valor absoluto que rodean un vector para indicar su magnitud. Para cualquier fuerza\(\vec{F}\text{,}\)

\[ F = \vert\vec{F}\vert\text{.} \nonumber \]

Para encontrar cómo se relaciona la tensión para\(\vec{W}\text{,}\) tomar el valor absoluto de ambas partes

\ start {alinear*}\ vert\ vec {T}\ vert\ amp =\ vert -\ vec {W}\ vert\\ T\ amp = W\ end {alinear*}

También podemos formular este ejemplo en términos de vectores unitarios. Recordemos que\(\jhat\) es el vector unitario el que apunta hacia arriba. Tiene una magnitud de uno sin unidades asociadas. Entonces, en términos de vector unitario\(\jhat\text{,}\)\(\vec{T} = T \jhat\) y\(\vec{W} = -W \jhat\text{.}\)

Ejemplo 3.3.3. Adición de Vector 1-D usando vectores unitarios.

Encontrar la relación entre la tensión\(T\) y el peso\(W\) para el sistema de la Figura 3.3.1 utilizando vectores unitarios.

Contestar

\ comenzar {alinear*} T\ amp = W\ final {alinear*}

Solución

Expresar las fuerzas en términos de sus magnitudes y el vector unitario\(\jhat\) luego proceder como antes,

\ begin {alinear*}\ Sigma\ vec {F}\ amp = 0\\ vec {T} +\ vec {W}\ amp = 0\\ T\ jhat + W (-\ jhat)\ amp = 0\\ T\ cancel {\ jhat}\ amp = W\ cancel {\ jhat}\ T\ amp = W\ end {align*}

En el ejemplo anterior, el vector unitario se retiró\(\jhat\) completamente de la ecuación dejando solo los coeficientes de\(\jhat\text{.}\) Este será el caso siempre que agregue vectores que todos actúan a lo largo de la misma línea de acción.

Los coeficientes de\(\ihat\text{,}\)\(\jhat\text{,}\) y\(\khat\) se conocen como los componentes escalares. Un componente escalar multiplicado por el vector unitario asociado es un vector de fuerza.

Cuando se usan componentes escalares, las fuerzas se representan por valores escalares y las ecuaciones de equilibrio se resuelven usando la adición algebraica normal en lugar de la adición vectorial. Esto lleva a una ligera simplificación de la solución como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3.4. Adición de Vector 1-D usando componentes escalares.

Encontrar la relación entre la tensión\(T\) y el peso\(W\) para el sistema de la Figura 3.3.1 utilizando componentes escalares.

Contestar

\ comenzar {reunir*} T = W\ final {reunir*}

Como era de esperar, obtenemos el mismo resultado.

Solución

Las fuerzas en este problema son\(\vec{W} = -W\ \jhat\) y\(\vec{T} = T\ \jhat\text{,}\) así los componentes escalares correspondientes son

\ begin {alinear*} W_y\ amp= -W\ amp T_y\ amp= T\ texto {.} \ end {alinear*}

La adición de componentes escalares da,

\ begin {alinear*}\ Sigma F_y\ amp = 0\\ w_y + T_y\ amp = 0\\ -W + T\ amp = 0\\ T\ amp = W\ final {alinear*}

Como era de esperar, obtenemos el mismo resultado.

Componentes Escalares

El componente escalar de un vector es un número con signo que indica la magnitud y sentido del vector, y generalmente se identifica por un símbolo con un subíndice que indica la línea de acción del vector.

Entonces, por ejemplo,\(F_x = \N{10}\) es un componente escalar. Podemos decir que no es un vector porque no\(F_x\) es audaz. \(\N{10}\)es la magnitud del vector asociado; el subíndice\(x\) indica que la fuerza actúa “en la\(x\) dirección”, es decir, actúa sobre una línea de acción que es paralela al\(x\) eje; y el signo positivo (implícito) significa que el vector apunta hacia el final positivo del\(x\) eje — hacia el infinito positivo. Entonces un componente escalar, si bien no es un vector, contiene toda la información necesaria para describir y dibujar completamente el vector correspondiente. Tenga cuidado de no confundir componentes escalares con magnitudes vectoriales. Una fuerza con una magnitud de\(\N{10}\) puede apuntar en cualquier dirección, pero nunca puede tener una magnitud negativa.

Los componentes escalares se pueden sumar algebraicamente, pero solo si actúan “en la misma dirección”. No tiene sentido agregar\(F_x\) a\(F_y\text{.}\) Si eso es lo que quieres hacer, primero debes convertir los componentes escalares en vectores, luego agregarlos de acuerdo a las reglas de adición de vectores.

Ejemplo 3.3.5. Adición Escalar 1-D.

Si\(A_x = \lb{10}\) y\(B_x\) =\(\lb{-15}\text{,}\) encontrar la magnitud y dirección de su resultante\(\vec{R}\text{.}\)

Contestar

\ comenzar {reunir*}\ vec {R} =\ lb {5}\ fila izquierda\ final {reunir*}

Solución

Comienza dibujando las dos fuerzas. Los subíndices indican la línea de acción de la fuerza, y el signo indica la dirección a lo largo de la línea de acción. Un negativo\(B_x\) apunta hacia el extremo negativo del\(x\) eje.

\ begin {alinear*} R\ amp = a_x + B_x\\ amp =\ lb {10} +\ lb {-15}\\\ amp=\ lb {-5}\ end {align*}

\(R\)es el componente escalar de la resultante\(\vec{R}\text{.}\)

El signo negativo en el resultado indica que la fuerza resultante actúa hacia la izquierda.

Ejemplo 3.3.6. Adición Escalar 2-D.

Si\(F_x\) =\(\N{-40}\) y\(F_y\) =\(\N{30}\text{,}\) encontrar la magnitud y dirección de su resultante\(\vec{F}\text{.}\)

Contestar

Agrega textos aquí. No borre primero este texto. \ begin {alinear*}\ vec {F}\ amp =\ N {50}\ texto {at} 143.1^\ circ\ ángulo medido\ final {alinear*}

Solución

En este ejemplo los componentes escalares tienen diferentes subíndices que indican que actúan a lo largo de diferentes líneas de acción, y esto debe tenerse en cuenta cuando se suman.

Haz un boceto de los dos vectores y agrégalos usando la regla de paralelogramo para obtener

\ begin {alinear*} F\ amp =\ sqrt {f_x^2 + f_y^2}\ amp\ theta\ amp =\ tan^ {-1}\ izquierda|\ frac {b_y} {b_x}\ derecha|\\ amp =\ sqrt {(-40) ^2 + (30) ^2}\ amp\ amp =\ tan^ {-1} izquierda\ |\ frac {30} {-40}\ derecha |\\\ amp =\ N {50}\ amp\ amp = 36.9^\ circ\ end {align*}

Estas son la magnitud y dirección del vector\(\vec{F}\text{.}\)

Cuerpos de dos fuerzas

Como cabría esperar del nombre, un cuerpo de dos fuerzas es un cuerpo con dos fuerzas que actúan sobre él, como el peso que acabamos de discutir. Como acabamos de ver, para que un cuerpo de dos fuerzas esté en equilibrio las dos fuerzas deben sumarse a cero. Solo hay tres formas posibles de que esto suceda:

Las dos fuerzas deben

• comparten la misma línea de acción, tienen la misma magnitud y se alejan unos de otros, o
• comparten la misma línea de acción, tienen la misma magnitud y apuntan uno hacia el otro, o
• ambas fuerzas tienen magnitud cero.

Cuando dos fuerzas tienen la misma magnitud pero actúan en direcciones diametralmente opuestas, decimos que son iguales y opuestas. Cuando fuerzas iguales y opuestas actúan sobre un objeto y apuntan una hacia la otra decimos que el objeto está en compresión, cuando apuntan alejándose entre sí el objeto está en tensión. La tensión y compresión describen el estado interno del objeto.

Figura 3.3.7. Ejemplos de cuerpos de dos fuerzas

Dos cuerpos de fuerza aparecen frecuentemente en estructuras y máquinas multipartes que serán cubiertos en el Capítulo 6. Algunos ejemplos de dos cuerpos de fuerza son puntales y enlaces, cuerdas, cables y alambres tensores, y resortes.

Ejemplo 3.3.8. Remolcador de guerra.

Marines y aviadores de la Base de la Fuerza Aérea Goodfellow están compitiendo en un tira y tira y vuelta y han llegado a un punto muerto. Los Marines están jalando con una fuerza de\(\lb{1500}\text{.}\) ¿Qué tan duro están jalando los aviadores? ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

Esta es una pregunta simple, pero los estudiantes a menudo se equivocan al principio.

Contestar

La tensión en la cuerda es\\(lb{1500}\text{.}\) Ambos equipos están tirando con la misma fuerza.

Solución

1. Supuestos.

Se muestra un diagrama de cuerpo libre de la cuerda.

Figura 3.3.9.

Esto lo resolveremos con componentes escalares porque no hay necesidad de la complejidad adicional de los enfoques vectoriales en esta sencilla situación.

Alinearemos el\(x\) eje con la cuerda con positivo a la derecha como de costumbre para establecer un sistema de coordenadas.

Supongamos que el tirón de cada equipo puede ser representado por una sola fuerza. Que la fuerza\(M\) sea suministrada por los Marines y la fuerza\(A\) por los aviadores; llame a la tensión en la cuerda\(T\text{.}\)

Supongamos que el peso de la cuerda es insignificante; entonces la cuerda puede considerarse una partícula porque ambas fuerzas se encuentran a lo largo de la misma línea de acción.

2. Givens.

\(M = \lb{1500}\text{.}\)

3. Procedimiento.

Ya que están estancados sabemos que la cuerda está en equilibrio.

Aplicando la ecuación de equilibrio da:

\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp= 0\\ -M + A\ amp= 0\\ A\ amp= M\\\ amp =\ lb {1500}\ end {align*}

Nos enteramos de que ambos equipos jalan con la misma fuerza. Esto fue probablemente obvio sin dibujar el diagrama de cuerpo libre o resolver el equilibrio

ecuación.

Puede parecer igualmente obvio que si ambos equipos están jalando con\(\lb{1500}\) en direcciones opuestas que la tensión en la cuerda debe ser\(\lb{3000}\text{.}\) Esto está mal sin embargo.

La tensión en la cuerda\(T\) es un ejemplo de una fuerza interna y para aprender su magnitud necesitamos un diagrama de cuerpo libre que incluya fuerza Para exponer la fuerza interna tomamos un corte imaginario\(T\text{.}\) a través de la cuerda y dibujamos (o imaginamos) un diagrama de cuerpo libre de cualquiera de las dos mitades de la cuerda.

Figura 3.3.10.

La respuesta correcta se ve fácilmente como\(T = A = M = \lb{1500}\text{.}\)

Ejemplo 3.3.11. Peso para Colgar.

El carrete de alambre que se eleva al camión consiste en un cable\(\m{750}\) de alimentación eléctrica 1/0 AWG de media tensión (5 kV) de tres hilos con una capacidad de 195 amperios a 90°C, con un peso de 927 kg/km, en una bobina\(\kg{350}\) de acero.

¿Cuánto peso soporta el gancho y la eslinga de levantamiento de polímero de alta tensión?

Contestar

\[ W = \N{10300} \nonumber \]

Solución

Todo el peso del alambre y el carrete es soportado por el gancho y la eslinga.

Recuerda que el peso no es masa y la masa no es fuerza. El peso total se encuentra multiplicando la masa total por la constante gravitacional\(g\text{.}\)

\ begin {alinear*} W\ amp = m g\\ amp = (m_w + m_s)\, g\\ amp =\ amp =\ izquierda ((\ km {0.75}) (\ kgperkm {927}\ derecha) +\ kg {350})\, g\\ amp = (\ kg {1045}) (\ ASi {9.81})\\ amp =\ N {300}\ final {alinear*}

Pregunta 3.3.12.

¿Cómo podemos aplicar los principios de la mecánica en los dos ejemplos anteriores si la cuerda y la eslinga claramente no son “cuerpos rígidos”?

Contestar

No son rígidos, pero son inextensibles y en tensión. Bajo estas condiciones no cambian de forma, por lo que podemos tratarlos como rígidos. Si la fuerza cambiara de dirección y pusiera a cualquiera de ellas en compresión, nuestros supuestos y análisis fallarían. Por eso “tira y tira y tira” implica tirar y no empujar.