3.4: Partículas en Dos Dimensiones

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Introducción

En esta sección estudiaremos situaciones en las que todo lo importante ocurre en un plano bidimensional y no se involucra la tercera dimensión. Estudiar problemas bidimensionales merece la pena, ya que ilustran todos los principios importantes de la estática de ingeniería a la vez que son más fáciles de visualizar y menos complejos matemáticamente.

Normalmente trabajaremos en el “plano de la página”, es decir, un plano cartesiano bidimensional con un\(x\) eje horizontal y un\(y\) eje vertical discutidos en la Sección 2.3 anteriormente. Este sistema de coordenadas puede representar la vista frontal, lateral o superior de un sistema según corresponda. En algunos problemas puede valer la pena rotar el sistema de coordenadas, es decir, establecer un sistema de coordenadas donde los\(y\) ejes\(x\) y no sean horizontales y verticales. Esto generalmente se hace para simplificar las matemáticas evitando ecuaciones simultáneas.

Procedimiento General

El procedimiento general para resolver problemas de equilibrio de una partícula en dos dimensiones es:

1. Identificar la partícula. La partícula será el objeto o punto donde se crucen las líneas de acción de todas las fuerzas.
2. Establecer un sistema de coordenadas. Normalmente este será un sistema con el origen en la partícula y un\(x\) eje horizontal y un\(y\) eje vertical, aunque puede ser ventajoso alinear un eje con un desconocido.
3. Dibuja un diagrama de cuerpo libre. El FBD muestra el objeto y todas las fuerzas que actúan sobre él, y define los símbolos que usaremos. Toda fuerza debe etiquetarse con una letra romana para representar su magnitud y, a menos que se alinee con un eje de coordenadas, una letra griega o medida de grado para su dirección.
4. Indicar los valores dados e identificar los valores desconocidos.
5. Encuentra ángulos triviales. Algunos ángulos se pueden encontrar fácilmente a partir de la geometría del problema. Si ese es el caso, dibuje un triángulo simple, etiquetado y use la trigonometría para determinar la medida del ángulo.
6. Contar los conocimientos y las incógnitas. En este punto no deberías tener más de dos incógnitas restantes. Si no lo haces, vuelve a leer el problema y busca información pasada por alto. A la hora de resolver problemas mecánicos, siempre es útil saber lo que sabes y lo que buscas y esta información cambia a medida que trabajas en tu solución.
7. Formular ecuaciones de equilibrio. Con base en el diagrama de cuerpo libre, y utilizando los símbolos que ha seleccionado, formular una ecuación de equilibrio utilizando uno de los métodos descritos en esta sección. La elección del método depende de usted, y a medida que adquiera experiencia podrá identificar el 'mejor' enfoque.
8. Simplificar. Utilice álgebra para simplificar las ecuaciones de equilibrio. Consígalos en una forma donde los valores desconocidos estén solos a la izquierda del signo igual. Trabaja simbólicamente todo el tiempo que puedas y evita la tentación de insertar valores numéricos prematuramente, porque esto tiende a generar errores y oscurece las relaciones entre las fuerzas y los ángulos.
9. Sustituir valores por símbolos. Cuando sus ecuaciones de equilibrio se hayan simplificado completamente en forma simbólica, saque su calculadora y sustituya los valores conocidos y calcule las incógnitas. Indica las unidades de tus resultados, y subraya o recuadro tus respuestas.
10. Revisa tu trabajo. ¿Has cometido algún error de álgebra o trigonometría? Si agregas gráficamente las fuerzas ¿parecen sumar a cero? ¿Los resultados parecen razonables dada la situación? ¿Has incluido unidades apropiadas? Si tienes tiempo, trabaja el problema usando otro enfoque y compara las respuestas.

Método del triángulo de fuerza

El método del triángulo de fuerza es aplicable a situaciones en las que hay (exactamente) tres fuerzas que actúan sobre una partícula, y no más de dos magnitudes o direcciones desconocidas.

Si tal partícula está en equilibrio entonces las tres fuerzas deben sumarse a cero. Gráficamente, si organizas los vectores de fuerza punta a cola, formarán un polígono cerrado de tres lados, es decir, un triángulo. Esto se ilustra en la Figura 3.4.1.

Mueva el control deslizante para reorganizar las fuerzas que actúan sobre la partícula en el triángulo de fuerza correspondiente.

Figura 3.4.1. Diagrama de cuerpo libre y triángulo de fuerza

Pregunta 3.4.2.

¿Por qué las fuerzas siempre forman un polígono cerrado?

Contestar

Porque su resultante es cero.

El triángulo de fuerza es una representación gráfica de la ecuación de equilibrio vectorial (3.1.1). Se puede utilizar para resolver los valores desconocidos de varias maneras diferentes, lo que se ilustrará en los siguientes dos ejemplos. En el Ejemplo 3.4.3 Utilizaremos un enfoque gráfico para encontrar las fuerzas que causan el equilibrio, y en el Ejemplo 3.4.4 usaremos la trigonometría para resolver matemáticamente para las fuerzas desconocidas.

En el siguiente ejemplo utilizaremos la tecnología para dibujar un diagrama a escala del triángulo de fuerza que representa la situación de equilibrio. Estamos usando Geogebra para hacer el dibujo, pero podrías usar CAD, otro programa de dibujo, o incluso una regla y un transportador como prefieras. Dado que el diagrama se dibuja con precisión, las longitudes y ángulos representan las magnitudes y direcciones de las fuerzas que mantienen la partícula en equilibrio.

Ejemplo 3.4.3. Inclinación sin fricción.

Se\(P\) está aplicando una fuerza a un\(\lb{100}\) bloque que descansa sobre una inclinación sin fricción como se muestra. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza\(P\) y de la fuerza de contacto en la parte inferior del bloque.

Contestar

\ begin {alinear*} P\ amp =\ lb {43.8}\ texto {a} 10°\ ángulo medido\\ N\ amp =\ lb {102}\ texto {a} 115°\ ángulo medido\ final {alinear*}

Solución

1. Supuestos.

Debemos asumir que el bloque está en equilibrio, es decir, ya sea inmóvil o moviéndose a una velocidad constante para poder utilizar las ecuaciones de equilibrio. Representaremos el peso del bloque y la fuerza entre la pendiente y el bloque como fuerzas concentradas. La fuerza de la superficie inclinada sobre el bloque debe actuar en una dirección que sea normal a la superficie ya que es sin fricción y no puede impedir el movimiento a lo largo de la superficie.

2. Givens.

Los conocimientos aquí son el peso del bloque, la dirección de la fuerza aplicada y la pendiente de la pendiente. La pendiente de la inclinación proporciona la dirección de la fuerza normal.

Los valores desconocidos son las magnitudes de las fuerzas\(P\) y\(N\text{.}\)

Siempre debe comenzar un problema de estática dibujando un diagrama de cuerpo libre. Te da la oportunidad de pensar en la situación, identificar saberes e incógnitas, y definir símbolos.

Definimos tres símbolos,\(W\text{,}\)\(N\text{,}\) y\(P\text{,}\) que representan el peso, la fuerza normal y la fuerza aplicada respectivamente. A los ángulos también se les podría dar símbolos, pero como conocemos sus valores no es necesario.

3. Diagrama de Cuerpo Libre.

El cuerpo libre puede ser un boceto rápido o un dibujo preciso pero debe mostrar todas las fuerzas que actúan sobre la partícula y definir los símbolos. En la mayoría de los casos no conocerás las magnitudes de todas las fuerzas, por lo que las longitudes de los vectores son apenas aproximadas.

Observe que la fuerza\(N\) se representa actuando a 25° del\(y\) eje, que está a 90° de la dirección de la superficie.

Sigue las instrucciones del diagrama a continuación haciendo clic en la flecha para ir al inicio, luego haz clic en la flecha para recorrer el proceso.

4. Triángulo de Fuerza.

Utilice la información conocida para construir con cuidado y precisión el triángulo de fuerza.

¿Se puede demostrar a partir de la geometría del triángulo que el ángulo\(BCA\) es de 75°?

Comience por colocar el punto\(A\) en el origen. Estire la fuerza\(\vec{W}\) hacia abajo desde\(A\) con una longitud de 1, y coloque el punto\(B\) en su punta. La longitud de este vector representa el peso. Conocemos la dirección de la fuerza\(\vec{P}\) pero no su magnitud. Por ahora, simplemente dibuja la línea\(BC\) que pasa a través del punto\(B\) con un ángulo de 10° con respecto a la horizontal. De igual manera sabemos que la fuerza\(\vec{N}\) actúa a 25° de la vertical porque es perpendicular a la superficie inclinada, y cerrará el triángulo. Así dibuja la línea\(CA\) que pasa a través del punto\(A\) y en un ángulo de 25° desde el\(y\) eje. Llama al punto donde líneas\(BC\) y\(C\text{.}\) puntos de\(CA\) intersección\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) define el triángulo de fuerza. Ahora dibuja fuerza\(\vec{P}\) de punto\(B\) a punto\(C\text{,}\) y

• Dibujar fuerza\(\vec{N}\) de punto de\(C\) vuelta a punto\(A\text{.}\)

5. Resultados.

En los pasos 6 y 7, Geogebra nos dice que p = (0.438; 10.0°) lo que significa que la fuerza\(P\) es de 0.438 unidades de largo con una dirección de 10°, de manera similar n = (1.02; 115°) media\(N\) es 1.02 unidades de largo a 115°. Estos ángulos se miden en sentido antihorario desde el\(x\) eje positivo.

Estas no son las respuestas que estamos buscando, pero estamos cerca. Recuerda que para este diagrama, nuestra escala es

\[ 1 \text{ unit} = 100 \text{ lbs}\text{,} \nonumber \]

así que escalar las longitudes de p y n por este factor da

\ begin {align*} P\ amp = (\ unidad {0.438}) (\ lb {100}/\ unidad {})\\ amp =\ lb {43.8}\ texto {a} 10°\ ángulo medido\\ N\ amp = (\ unidad {1.02}) ({\ lb {100}}/\ unidad {})\\ amp =\ lb {102}\ texto en {} 115°\ ángulo medido\ texto {.} \ end {alinear*}

Si usa tecnología como Geogebra, como hicimos aquí, o software CAD para dibujar el triángulo de fuerza, producirá con precisión la solución.

Si la tecnología no está disponible para usted, como durante un examen, aún puede usar una regla y un transportador dibujar el triángulo de fuerza, pero sus resultados solo serán tan precisos como su diagrama. En el mejor de los casos, usando un lápiz afilado y midiendo cuidadosamente longitudes y ángulos, solo puede esperar aproximadamente dos dígitos significativos de precisión de un triángulo dibujado a mano. Sin embargo, incluso un triángulo aproximadamente dibujado puede darte una idea de las respuestas correctas y ser usado para verificar tu trabajo después de usar otro método para resolver el problema.

Método trigonométrico

El enfoque general para resolver problemas de equilibrio de partículas utilizando el método trigonométrico es:

1. Dibuje y etiquete un diagrama de cuerpo libre.
2. Reorganice las fuerzas en un triángulo de fuerza y etiquételo.
3. Identificar los conocimientos e incógnitas.
4. Usa la trigonometría para encontrar los lados o ángulos desconocidos del triángulo.

No debe haber más de dos incógnitas para utilizar este método, que pueden ser magnitudes o direcciones. Durante la configuración del problema probablemente necesitará usar la geometría de la situación para encontrar uno o más ángulos.

Si el triángulo de fuerza tiene un ángulo recto puedes usar la Sección B.2 para encontrar los valores desconocidos, pero en la mayoría de los casos el triángulo será oblicuo y necesitarás usar cualquiera o ambas de la Ley de Sinos o la Ley de Cosinos para encontrar los lados o ángulos.

Ejemplo 3.4.4. Pluma de Carga.

Se está bajando una\(\kN{24}\) caja a la bodega de carga de un barco. \(AB\)La pluma es\(\m{20}\) larga y actúa en un ángulo de 40° desde el poste de control\(AC\text{.}\) La pluma se mantiene en esta posición mediante un levantamiento superior\(BC\) que tiene una pendiente de 1:4.

Determine las fuerzas en la pluma y en la elevación de cobertura.

Contestar

\ start {align*} T\ amp=\ kN {17.16}\ amp C\ amp=\ kN {25.9}\ end {align*}

Solución

1. Dibuja diagramas.

Comience identificando la partícula y dibujando un diagrama de cuerpo libre. La partícula en este caso es punto\(B\) al final de la pluma porque es el punto donde se cruzan las tres fuerzas. Deja\(T\) ser la tensión del elevador de topping,\(C\) ser la fuerza en la pluma, y\(W\) ser el peso de la carga. Dejar\(\alpha\) y\(\beta\) ser los ángulos que fuerzan\(T\) y\(C\) hacen con la horizontal.

Reorganizar las fuerzas que actúan sobre el punto\(B\) para formar un triángulo de fuerza como se hizo en el ejemplo anterior.

2. Encuentra ángulos.

El ángulo se\(\alpha\) puede encontrar desde la pendiente del elevador de cobertura.

\[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) = 14.0°\text{.} \nonumber \]

El ángulo\(\beta\) es el complemento del ángulo de 40° que hace la pluma con el poste de control vertical.

\[ \beta = 90° - 40° = 50° \nonumber \]

Usa estos valores para encontrar los tres ángulos en el triángulo de fuerza.

\ begin {alinear*}\ theta_1\ amp =\ alfa +\ beta = 64.0°\\\ theta_2\ amp = 90° -\ alpha = 76.0°\\ theta_3\ amp = 90° -\ beta = 40.0°\ end {align*}

3. Resuelve triángulo de fuerza.

Con los ángulos y un lado del triángulo de fuerza conocidos, aplicar la Ley de Sines para encontrar los dos lados desconocidos.

\[ \frac{\sin \theta_1}{W} = \frac{\sin \theta_2}{C} = \frac{\sin \theta_3}{T} \nonumber \]

\ begin {alinear*} T\ amp = W\ izquierda (\ frac {\ sin\ theta_3} {\ sin\ theta_1}\ derecha)\ amp C\ amp = W\ izquierda (\ frac {\ sin\ theta_2} {\ sin\ theta_1}\ derecha)\ T\ amp=\ kN {24}\ izquierda (\ frac {\ sin 40.0°} {\ sin 64.0°}\ derecha)\ amp C\ amp =\ kN {24}\ izquierda (\ frac {\ sin 76.0°} {\ sin 64.0°}\ sin 64.0°}\ derecha)\ T\ amp=\ kN {17.16}\ amp C\ amp=\ kN {25.9}\ fin { alinear*}

La declaración general de equilibrio de fuerzas, (3.1.1), puede expresarse como la suma de fuerzas en las\(\khat\) direcciones\(\ihat\text{,}\)\(\jhat\) y

\ begin {ecuación}\ Sigma\ vec {F} =\ Sigma F_x\\ ihat +\ Sigma F_y\\ jhat +\ Sigma F_z\\ khat = 0\ text {.} \ tag {3.4.1}\ fin {ecuación}

Esta afirmación solo puede ser verdadera si los tres coeficientes de los vectores unitarios son iguales a cero, lo que lleva a esta interpretación escalar de la ecuación de equilibrio

\ begin {ecuación}\ Sigma\ vec {F} = 0\ implica\ comenzar {casos}\ Sigma F_x = 0\\\ Sigma F_y = 0\\ Sigma F_z = 0\ end {casos}\ qquad (\ textrm {tres dimensiones})\ text {.} \ label {escalar-equilibrio-3d}\ tag {3.4.2}\ fin {ecuación}

En otras palabras, la ecuación de equilibrio de un solo vector equivale a tres ecuaciones escalares independientes, una para cada dirección de coordenadas.

En situaciones bidimensionales, ninguna fuerza actúa en la\(\khat\) dirección dejando solo estas dos ecuaciones de equilibrio para ser satisfechas

\ begin {ecuación}\ Sigma\ vec {F} = 0\ implica\ comenzar {casos}\ Sigma F_x = 0\\\ Sigma F_y = 0\ end {casos}\ qquad (\ textrm {dos dimensiones})\ texto {.} \ label {ecuaciones-2d-partícula}\ tag {3.4.3}\ end {ecuación}

Utilizaremos esta ecuación como base para resolver problemas de equilibrio de partículas bidimensionales en esta sección y la ecuación (3.4.2) para problemas tridimensionales en la Sección 3.5.

Sin duda, está familiarizado con los postes de servicios públicos que transportan líneas eléctricas, de cable y telefónicas, pero ¿alguna vez ha notado al conducir por una carretera sinuosa que los polos cambiarán de un lado de la carretera al otro y de regreso? ¿Por qué es esto?

Si considera las fuerzas que actúan en la parte superior de un poste junto a un tramo curvo de la carretera, observará que las tensiones de los cables producen una fuerza neta hacia la carretera. Esta fuerza es típicamente opuesta por un “alambre de sujeción” que tira en la dirección opuesta, lo que evita que el poste se vuelque debido a fuerzas desequilibradas. La compañía eléctrica intenta mantener postes junto a segmentos de carretera con curvatura convexa. Si no cambiaban de lado, el cable de sujeción para postes en curvas cóncavas se extendería hacia la carretera... lo cual es un diseño deficiente.

Ejemplo 3.4.5. Poste de Utilidad.

Considera el poste de servicios públicos junto a la carretera que se muestra a continuación. En el diagrama de la derecha se muestra una vista superior. Si cada uno de los seis cables tira con una fuerza de\(\kN{10.0}\text{,}\) determinar la magnitud de la tensión en el cable conductor.

Contestar

\ comenzar {reunir*} G =\ kN {14.5}\ end {reunir*}

Solución

1. Supuestos.

Un poste utilitario no es bidimensional, sino que consideraremos la vista superior y las fuerzas en el plano horizontal solamente.

Tampoco es un problema de fuerza concurrente porque las líneas de acción de las fuerzas no se cruzan todas en un solo punto. Sin embargo, podemos convertirlo en uno reemplazando las fuerzas de los tres cables en cada dirección con una sola fuerza tres veces mayor. Este es un ejemplo de una transformación equivalente, un truco que los ingenieros utilizan frecuentemente para convertir situaciones complejas en situaciones más simples. Funciona aquí porque todas las tensiones son iguales, y los cables exteriores son equidistantes del cable central. Hay que tener cuidado para justificar todas las transformaciones equivalentes, porque conducirán a errores si no se aplican correctamente. Transformaciones equivalentes serán discutidas con mayor detalle en la Sección 4.6 posterior.

2. Givens.

\(T = \kN{10.0}\)

3. Procedimiento.

Comience dibujando un diagrama ordenado, etiquetado, de cuerpo libre del poste, estableciendo un sistema de coordenadas e indicando las direcciones de las fuerzas. Si bien no es necesario, simplifica considerablemente este problema para observar la simetría y establecer el\(x\) eje a lo largo del eje de simetría. Deje que\(T\) sea la tensión en un cable, y\(G\) sea la tensión del cable tensor.

Para resolver aplicar las ecuaciones de equilibrio. La simetría de este problema significa que el\(\Sigma F_x\) equation is sufficient.

\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\\ G - 6\, T_x\ amp= 0\\ G\ amp= 6\, (T\ cos 76°)\\\ amp=\ kN {14.5}\ end {align*}

 

Este problema también podría haberse resuelto usando el método del triángulo de fuerza. Véase la subsección 3.4.3.

En el siguiente ejemplo observamos las condiciones de equilibrio considerando la carga y las restricciones, en lugar de adoptar un enfoque de equilibrio global que considere tanto la carga como las fuerzas de reacción.

Ejemplo 3.4.6. Deslizador.

Tres fuerzas actúan sobre una parte de la máquina que es libre de deslizarse a lo largo de una varilla vertical sin fricción. Fuerzas\(A\) y\(B\) tienen una magnitud de\(\N{20}\) y fuerza\(C\) tiene una magnitud de\(\N{30}\text{.}\) Fuerza\(B\) actúa\(\alpha\) grados de la horizontal, y la fuerza\(C\) actúa en el mismo ángulo desde la vertical.

Determinar el ángulo\(\alpha\) requerido para el equilibrio, y la magnitud y dirección de la fuerza de reacción que actúa sobre el deslizador.

Contestar

La pregunta pregunta por la fuerza de reacción. La fuerza de reacción\(\vec{R'}\) es igual y opuesta a la fuerza\(\vec{R}\text{.}\)

\ begin {alinear*}\ vec {R'}\ amp = -\ vec {R} =\ N {26.15}\ fila izquierda\\ amp =\ langle\ N {-26.15}, 0\ rangle\ end {alinear*}

Solución

1. Givens.

Se nos dan magnitudes de fuerzas\(A= \N{20}\text{,}\)\(B = \N{20}\text{,}\) y\(C = \N{30}\text{.}\) Las incógnitas son ángulo\(\alpha\) y fuerza resultante\(R\text{.}\)

Este diagrama interactivo para el Ejemplo 3.4.6 te ayudará a visualizar la relación entre ángulo\(\alpha\) and the resultant load force \(R\text{.}\) When in equilibrium, the rod will supply a reaction force equal and opposite to the resultant load.

2. Procedimiento.

Dado que la varilla no tiene fricción, no puede evitar que el deslizador se mueva verticalmente. En consecuencia, el deslizador solo estará en equilibrio si la resultante de las tres fuerzas de carga es horizontal. Como una fuerza horizontal no tiene\(y\) componente, podemos establecer esta condición de equilibrio:

\[ R_y = \Sigma F_y = A_y + B_y + C_y = 0 \nonumber \]

Insertar los valores conocidos en la relación de equilibrio y simplificar da una ecuación en términos de ángulo desconocido\(\alpha\text{.}\)

\ begin {align*} R_y = a_Y + B_y + C_y\ amp = 0\\ A + B\ sin\ alfa - C\ cos\ alfa\ amp = 0\\ 20 + 20\ sin\ alfa - 30\ cos\ alfa\ amp = 0\\ 2 + 2\ sin\ alfa - 3\ cos\ alfa\ amp= 0\ end {align*}

Esta es una ecuación única con un solo desconocido, aunque no es particularmente fácil de resolver con álgebra. Aquí se describe un enfoque. Un enfoque alternativo es utilizar la tecnología para graficar la función\(y(x) = 2 + 2 \sin x - 3 \cos x\text{.}\) Las raíces de esta ecuación corresponden a valores de los\(\alpha\) cuales satisfacen la condición de equilibrio anterior. La raíz que ocurre más cerca\(x=0\) será la respuesta correspondiente a nuestro problema, en este caso la\(\alpha = 22.62°\) cual podrás verificar enchufándola de nuevo a la ecuación de equilibrio. Tenga en cuenta que -90° también satisface esta ecuación, pero no es la solución que estamos buscando.

Una vez que\(\alpha\) se conoce, podemos encontrar la fuerza de reacción agregando los\(x\) componentes de\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\text{.}\)

\ start {alinear*} R_x\ amp = a_x + B_x + C_x\\ amp = A + B\ cos\ alfa + C\ sin\ alfa\\ amp = 0 + 10\ cos (22.62°) + 20\ sin (22.62°)\\ amp =\ N {26.15}\ end {align*}

Por inspección la suma de\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) actúa a la derecha, y la fuerza resultante\(\vec{R}\) es la suma vectorial de\(R_x\) y\(R_y\text{.}\) En este caso, porque\(R_y\) = 0,

\ begin {alinear*}\ vec {R}\ amp = R_x\ fila derecha\\ amp =\ langle\ N {26.15}, 0\ rangle\ end {align*}

El siguiente ejemplo demuestra cómo rotar el sistema de coordenadas puede simplificar la solución. En la primera solución, se elige la orientación estándar de los\(y\) ejes\(x\) y, y en la segunda se gira el sistema de coordenadas para alinearse con una de las incógnitas, lo que permite encontrar la solución sin resolver ecuaciones simultáneas.

Ejemplo 3.4.7. Rodillo.

Un rodillo de césped que pesa\(\lb{160}\) está siendo levantado por una\(\ang{10}\) pendiente a una velocidad constante.

Determinar la fuerza de tracción requerida\(P\text{.}\)

Contestar

\[ P = \lb{32.1} \nonumber \]

Solución 1

1. Estrategia.

   1. Seleccione un sistema de coordenadas, en este caso horizontal y vertical.

   2. Dibujar un digrama de cuerpo libre

   3. Resolver las ecuaciones de equilibrio utilizando el enfoque escalar.

   

2. Procedimiento.

   \ begin {alinear*}\ Sigma f_x\ amp = 0\ amp\ amp\ Sigma F_y\ amp = 0\\ -p_x + n_x\ amp = 0\ amp p_y + n_y\ amp = 0\ N\ cos\ ang {80}\ amp = P\ cos\ ang {40}\ amp P\ sin\ ang {40} + N\ sin\ ang {80}\ amp = W\\ N\ amp = P\ izquierda (\ frac {0.766} {0.174}\ derecha)\ amp 0.643 P + 0.985 N\ amp =\ lb {160}\ end {align*}

   Resolviendo simultáneamente para\(P\)

   \ start {alinear*} 0.643 P + 0.985 (4.40 P)\ amp =\ lb {160}\\ 4.98 P\ amp =\ lb {160}\\ P\ amp =\ lb {32.1}\ final {alinear*}

Solución 2

1. Estrategia.

1. Gire el sistema de coordenadas estándar 10° en el sentido de las agujas del reloj para alinear el nuevo eje y′ con fuerza .N.

2. Dibuja un digrama de cuerpo libre y calcula los ángulos entre las fuerzas y el sistema de coordenadas giradas.

3. Resuelva para fuerza P directamente.

2. Procedimiento.

\ begin {alinear*}\ Sigma F_ {x'}\ amp = 0\\ -P_ {x'} + W_ {x'}\ amp = 0\ P\ cos\ ang {30}\ amp = W\ sin\ ang {10}\ P\ amp =\ lb {160}\ izquierda (\ frac {0.1736} {0.866}\ derecha)\ P\ = amp\ lb {32.1}\ final {alinear*}

Equilibrio Multi-Partícula

Cuando dos o más partículas interactúan entre sí siempre habrá fuerzas comunes entre ellas como resultado de la Tercera Ley de Newton, el principio de acción-reacción.

Considera las dos cajas con pesos\(W_1\) y\(W_2\) conectadas entre sí y el techo que se muestra en el diagrama interactivo. La posición uno muestra la disposición física de los objetos, la posición dos muestra sus diagramas de cuerpo libre y la posición tres muestra FBD simplificados donde los objetos están representados por puntos. Las cajas fueron liberadas reemplazando los cables por fuerzas de tensión\(T_A\) y\(T_B\text{.}\)

De los digramas de cuerpo libre se puede ver que el cable\(B\) solo soporta el peso de la caja inferior, mientras que el cable\(A\) y el techo soportan el peso combinado. La tensión\(T_B\) es común a ambos diagramas. Reconocer la fuerza común es la clave para resolver problemas de equilibrio multipartícula.

Ejemplo 3.4.8. Dos pesos colgantes.

Un\(\N{100}\) peso\(W\) es soportado por cable\(ABCD\text{.}\) Hay una polea sin fricción en\(B\) y el gancho está firmemente unido al cable en el punto\(C\text{.}\)

¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza\(\vec{P}\) requerida para mantener el sistema en la posición mostrada?

Pista

Las partículas son puntos\(B\) y\(C\text{.}\) la fuerza común es la tensión en el segmento de cuerda\(BC\text{.}\)

Contestar

\ start {alinear*} P\ amp =\ N {84.3}\ amp\ theta\ amp =\ ang {54.7}\ texto {CCW de} -x\ texto {eje.}\\\ vec {P}\ amp=\ langle\ N {-48.7},\ N {-68.8}\ rangle\ end {align*

Solución

1. Estrategia.

Siguiendo el Procedimiento General identificamos las partículas como puntos A y B, y dibujamos digramas de cuerpo libre de cada una. Etiquetamos las tensiones de cuerda\(A\text{,}\)\(C\text{,}\) y\(D\) para los extremos de los segmentos de cuerda, y etiquetamos los ángulos de las fuerzas\(\alpha\text{,}\)\(\beta\text{,}\) y\(\phi\text{.}\) usaremos el sistema de coordenadas cartesianas estándar y usaremos el método de componentes escalares 3.4.5.

\(W\)Se dio peso, y podemos encontrar fácilmente ángulos\(\alpha\text{,}\)\(\beta\text{,}\) y\(\phi\) así los conocimientos son:

\ begin {alinear*} W\ amp =\ N {100}\\ alfa\ amp =\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {40} {20}\ derecha) = 63.4°\\\ beta\ amp =\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {10} {80}\ derecha) = 7.13°\\ phi\ amp =\ tan^ {-1}\ izquierda (\ frac {50} {50}\ derecha) = 45°\ final {alinear*}

Contando incógnitas encontramos que hay dos en el diagrama de cuerpo libre de partícula\(C\) (\(C\)y\(D)\text{,}\) pero cuatro en partícula\(B\text{,}\) (\(A\)\(C\text{,}\)\(P\)y\(\theta\)).

Dos incógnitas en partícula\(C\) significan que es solucionable ya que hay dos ecuaciones de equilibrio (3.4.3) disponibles, así que comenzamos ahí.

2. Solucionar Partícula C.

\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\ amp\ amp\ Sigma F_y\ amp = 0\\ - C_x + D_x\ amp = 0\ amp C_y + d_Y - W\ amp = 0\ C\ cos\ beta\ amp = D\ cos\ phi\ amp C\ sin\ beta + D\ sin\ phi\ amp = W\ C\ amp = izquierda\ (\ frac {\ cos\ ang {45}} {\ cos\ ang {7.13}}\ derecha)\ amp C\ sin\ ang {7.13} + D\ sin\ ang {45}\ amp =\ N {100}\\ C\ amp = 0.713 D\ amp 0.124 C + 0.707 D\ amp =\ N {100}\ final {alinear*}

Resolver estas dos ecuaciones simultáneamente da

\ start {alinear*} C\ amp =\ N {89.5}\ amp D\ amp =\ N {125.7}. \ end {alinear*}

Con partícula\(C\) resuelta, podemos usar los resultados para resolver partícula\(B\text{.}\) Quedan tres incógnitas,\(A\text{,}\) magnitud de tensión\(P\text{,}\) y dirección\(\theta\text{.}\) Desafortunadamente, todavía solo tenemos dos ecuaciones de equilibrio disponibles. Cuando te encuentras en esta situación con más incógnitas que ecuaciones, generalmente significa que te falta algo. En este caso es la polea. Cuando un cable se envuelve alrededor de una polea sin fricción, la tensión no cambia. La información que falta es que\(A = C\text{.}\) Sabiendo esto, se\(\vec{P}\) puede determinar la magnitud y dirección de la fuerza.

Debido a que\(A = C\text{,}\) el diagrama de cuerpo libre de partículas\(B\) es simétrico, y la técnica utilizada en el Ejemplo 3.4.5 para rotar el sistema de coordenadas podría aplicarse aquí.

3. Solucionar Partícula B.

Refiriéndose al FBD para partícula\(B\) podemos escribir estas ecuaciones.

\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\ amp\ amp\ Sigma F_y\ amp = 0\\ - a_X - P_x + C_x\ amp = 0\ amp A_y - P_y - C_y\ amp = 0\ P\ cos\ theta\ amp = C\ cos\ beta - A\ cos\ alfa\ amp P\ sin\ theta amp = A\ sin\ alfa -C\ sin\ beta\ fin {alinear*}

Ya que\(A = C = \N{89.5}\text{,}\) sustituir y resolver simultáneamente da

\ begin {alinear*} P\ cos\ theta\ amp =\ N {48.7}\ amp P\ sin\ theta\ amp =\ N {68.9}\\ P\ amp =\ N {84.3}\ amp\ amp\ theta\ amp =\ ang {54.7}. \ end {alinear*}

Estas son la magnitud y dirección del vector\(\vec{P}\text{.}\) Si lo deseas, puedes expresarte\(\vec{P}\) en cuanto a sus componentes escalares. Los signos negativos en los componentes se han aplicado a mano desde que\(\vec{P}\) apunta hacia abajo y hacia la izquierda.

\ begin {alinear*}\ vec {P}\ amp=\ langle - P\ cos\ theta, - P\ sin\ theta\ rangle\\ amp =\ langle\ N {-48.7},\ N {-68.8}\ rangle\ end {align*}