4.7: Sistemas estáticamente equivalentes
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Preguntas Clave
- ¿Qué es un sistema equivalente?
- ¿Qué es una fuerza resultante?
- ¿Qué es un momento resultante?
- ¿Hay que incluir tanto\(\vec{r}\times\vec{F}\) momentos como parejas para encontrar el momento resultante?
- ¿Cómo puedes encontrar el sistema equivalente más simple?
- ¿Cuándo será el sistema equivalente más simple una llave inglesa?
- ¿Cómo se puede determinar si dos sistemas de carga son estáticamente equivalentes?
Un sistema de carga es una combinación de fuerzas de carga y momentos que actúan sobre un objeto. Puede ser tan simple como una sola fuerza, o tan complejo como una combinación tridimensional de muchos vectores de fuerza y momento.
Verá que cualquier sistema de carga puede ser reemplazado por un sistema más simple estáticamente equivalente que consiste en una fuerza resultante en un punto específico y un momento resultante mediante la realización de una serie de transformaciones equivalentes. Los resultados del sistema de fuerza proporcionan una representación conveniente para interacciones de fuerza complejas en conexiones de ingeniería en las que confiaremos más adelante en una variedad de contextos. Por ahora nos centraremos en los detalles de reducir un sistema a una sola fuerza y pareja.
Dependiendo del sistema de carga original, la fuerza resultante, el momento resultante o ambos pueden ser cero. Si ambos son cero, indica que el objeto está en equilibrio bajo esta condición de carga. Si no son cero, los soportes deberán proporcionar una reacción igual y opuesta para poner el objeto en equilibrio.
La fuerza resultante que actúa sobre un sistema, se\(\vec{R}\text{,}\) puede encontrar al sumar las fuerzas individuales, de\(\vec{F}_i\text{,}\) tal manera que
\[ \vec{R}=\sum \vec{F} = \vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+...\text{.} \nonumber \]
El momento resultante,\(\vec{M}_O\text{,}\) aproximadamente un punto, se\(O\text{,}\) puede encontrar al sumar todos los momentos\(\vec{M}\text{,}\) sobre ese punto, incluyendo tanto\(\vec{r}\times\vec{F}\) momentos como momentos concentrados.
\[ \vec{M_{O}}=\sum \vec{M}_i =\vec{M_1}+\vec{M_2}+\vec{M_3}+... \nonumber \]
A menudo es más conveniente trabajar con los componentes escalares de los vectores resultantes, ya que separan los efectos en las tres direcciones de coordenadas.
\ begin {alinear*} R_x\ amp =\ Sigma F_x\ amp {M_O} _x\ amp =\ Sigma M_x\\ r_y\ amp =\ Sigma F_y\ amp {M_O} _y\ amp =\ Sigma M_y\\ R_z\ amp =\ Sigma f_z\ amp {M_O} _z amp =\ Sigma M_z\ end {align*}
El interactivo muestra un objeto cargado con dos fuerzas,\(\vec{A}\)\(\vec{B}\text{,}\) y un par de momentos\(\vec{C}\) junto con la fuerza\(\vec{R}\) y el momento resultantes equivalentes\(\vec{M}_R\text{.}\)
Figura 4.7.1. Sistemas estáticamente equivalentes
Sistemas Fuerza-Pareja.
Una transformación que quizás quieras hacer es mover una fuerza a otra ubicación. Si bien deslizar una fuerza a lo largo de su línea de acción es fino, mover una fuerza a otro punto cambia su línea de acción y así su efecto rotacional sobre el objeto, por lo que moverse no es una transformación equivalente.
Considera la viga en voladizo a continuación. En el diagrama (a), la carga\(P\) se encuentra al final de la viga, y en (b) se ha movido hacia el centro. Los efectos externos se muestran en (c) y (d). Si bien la fuerza de reacción vertical es la\(P\) en ambos casos, el momento de reacción en el punto\(O\) es\(2P\ell\) en el primer caso y\(P\ell\) en el segundo.
a) Fuerza\(P\) al final de la viga. b) Fuerza\(P\) desplazada al centro de la viga.
(c) FBD y reacciones para (a). d) FBD y reacciones para (b).
Figura 4.7.2. Mover una fuerza no es una transformación equivalente
Puedes mover una fuerza a una nueva línea de acción de manera equivalente si agregas una “pareja compensatoria” para deshacer el efecto de cambiar la línea de acción. Esto se puede lograr con una serie de transformaciones equivalentes individuales como se muestra en el diagrama a continuación. Para mover P a otra ubicación, primero agrega dos fuerzas iguales y opuestas donde quieras que esté la fuerza, como en (b). Entonces reconoce a la pareja que has formado (c), y reemplázala por un momento de pareja equivalente. El resultado de este proceso es el sistema equivalente de fuerza-par mostrado en el diagrama (d), el cual es estáticamente equivalente a la situación original en (a).
a) Situación original. b) Agregar dos fuerzas iguales y opuestas en el punto medio.
(c) Reconocer pareja. (d) Reemplazar el par para producir un sistema de fuerza-par equivalente, con las mismas reacciones que la Figura 4.7. c).
Figura 4.7.3. Sistema de par de fuerza equivalente
Evaluar el momento en punto\(O\) fue una elección arbitraria. Cualquier otro punto daría el mismo resultado. Por ejemplo, en la situación original (a) la fuerza\(P\) hace un momento en el sentido de las agujas del reloj\(M=P\ell\) alrededor del punto medio. Cuando la fuerza se mueve hacia el centro no\(P\) crea ningún momento ahí, por lo que se\(P\ell\) debe sumar un par compensatorio en sentido horario con una magnitud de para mantener la equivalencia. Este es el mismo resultado que encontramos anteriormente (d). El par compensatorio se ha dibujado centrado alrededor del punto medio, pero esto también es arbitrario porque los momentos concentrados son vectores libres y se pueden colocar en cualquier lugar.
Reducción de un sistema complejo.
Cualquier sistema de carga puede reducirse a un sistema estáticamente equivalente consistente en una sola fuerza y un solo momento en un punto especificado con el siguiente procedimiento:
- Determinar el momento resultante sobre el punto especificado considerando todas las fuerzas y momentos concentrados en el sistema original.
- Determine la fuerza resultante agregando todas las fuerzas que actúan sobre el sistema original.
- Determinar el momento resultante alrededor de un punto en el sistema original
- Cree el sistema estáticamente equivalente reemplazando todas las cargas con la fuerza resultante y el momento resultante en el punto seleccionado.
Ejemplo 4.7.4. Carga excéntrica.
Una columna vertical soporta una carga excéntrica como se muestra.
Reemplace esta carga con un sistema de par de fuerza equivalente que actúa en el centro de la superficie superior de la viga.
- Contestar
-
\(P = \lb{1200}\)y en\(M=\ftlb{900}\) sentido horario
- Solución
-
Para mover la fuerza vertical hacia la izquierda,\(\inch{9}\) se\(M\) debe agregar un par en el sentido de las agujas del reloj para mantener la equivalencia, donde
\ begin {alinear*} M\ amp = P d\\\ amp = (\ lb {1200}) (\ inch {9})\\ amp =\ inlb {10,800}\\ amp =\ ftlb {900}. \ end {alinear*}
Ejemplo 4.7.5. Sistema Equivalente de Fuerza-Pareja.
Reemplace el sistema de fuerzas en el diagrama (a) por un sistema equivalente de fuerza-par en\(A\text{.}\)
Reemplace el sistema de fuerza-par en\(A\) con una sola fuerza equivalente y especifique su ubicación.
(a) (b) (c)
- Contestar
-
\(R = F_1 + F_2\text{,}\)\(M_A = F_1 d_1 + F_2 (d_1 + d_2)\)y\(d = M/R\)
- Solución
-
El sistema original se muestra en (a).
Dado que los\(F_1\) y\(F_2\) son paralelos, la magnitud de la fuerza resultante es solo la suma de las dos magnitudes y apunta hacia abajo.
\[ R = F_1 + F_2 \nonumber \]
El momento resultante sobre el punto\(A\) es
\[ M_A = F_1 d_1 + F_2 (d_1 + d_2)\text{.} \nonumber \]
Para crear el sistema equivalente (b), la fuerza resultante y el momento resultante se colocan en el punto\(A\text{.}\)
El sistema en (b) puede simplificarse aún más para eliminar el momento en\(M_A\text{,}\) realizando el proceso a la inversa.
En (c) colocamos la fuerza resultante a\(R\) una\(d\) distancia del punto de\(A\) tal manera que el momento resultante alrededor del punto\(A\) permanece igual. Esta distancia se puede encontrar usando\(M = Fd\text{.}\)
\[ d = M_A/R \nonumber \]
Los sistemas de (a), (b) y (c) son todos estáticamente equivalentes
En este ejemplo, empezamos con dos fuerzas. Hemos encontrado dos sistemas estáticamente equivalentes diferentes; uno con una fuerza y un par, el otro con una sola fuerza. Este último sistema es más sencillo que el sistema original.
Es importante señalar que la equivalencia estática se aplica únicamente a los efectos externos. Al determinar las fuerzas internas, tales como el momento de cizallamiento y flexión discutidos en la Sección 8.4 o cuando se consideran cuerpos no rígidos, se debe utilizar el sistema de carga original.
Determinar la equivalencia.
Dos sistemas de carga complejos son equivalentes si reducen a la misma fuerza resultante y al mismo momento resultante alrededor de cualquier punto arbitrario.
Dos sistemas de carga son estáticamente equivalentes si
- Las fuerzas resultantes son iguales
- Los momentos resultantes sobre algún punto son iguales
Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.7.6. Búsqueda de Cargas Estáticamente Equivalentes.
¿Cuáles de los tres sistemas de carga mostrados son estáticamente equivalentes?
- Contestar
-
(a) y (c) son estáticamente equivalentes
- Contestar
-
1. Evaluar la fuerza resultante y el momento resultante para cada caso y comparar. Elegimos evaluar el momento resultante sobre el punto A, aunque cualquier otro punto funcionaría.
2. \ begin {align*}\ vec {R}\ amp =\ langle -10,0\ rangle\ lb {}\\ vec {M_A}\ amp =-80+6 (10)\\\ amp =\ ftlb {-20}\ end {align*}
3. \ begin {align*}\ vec {R}\ amp=\ langle -20+10,0\ rangle\ lb {}\\ amp =\ langle -10,0\ rangle\ lb {}\\ vec {M} _A\ amp= -120+12 (20) -6 (10)\\ amp =\\ amp =\ ftlb {60}\ end {align*}
4. \ begin {align*}\ vec {R}\ amp =\ langle -10,0\ rangle\ lb {}\\ vec {M} _A\ amp=-40+20+0 (10)\\\ amp =\ ftlb {-20}\ end {align*}
Los sistemas (a) y (c) son estáticamente equivalentes ya\(\vec{R}\) y\(\vec{M}_A\) son los mismos en ambos casos. El sistema (b) no es ya que su momento resultante es diferente al de los otros dos.
Cualquier sistema de carga puede simplificarse a su fuerza resultante\(\vec{R}\text{,}\) y par resultante\(\vec{M}\text{,}\) actuando en cualquier punto arbitrario\(O\text{.}\) Hay cuatro casos especiales comunes que vale la pena destacar individualmente.
Fuerzas concurrentes.
Cuando todas las fuerzas en un sistema son concurrentes, el momento resultante sobre ese punto de intersección común siempre será cero. Entonces solo necesitamos encontrar la fuerza resultante y colocarla en el punto de intersección. El momento resultante sobre cualquier otro punto es el momento de la fuerza resultante\(\vec{R}\) sobre ese punto.
Fuerzas paralelas.
Cuando todas las fuerzas en un sistema son paralelas, la fuerza resultante actuará en esta dirección con una magnitud igual a la suma de las magnitudes individuales. No habrá momento creado alrededor de este eje, pero necesitamos encontrar el momento resultante alrededor de los otros dos ejes rectangulares. Es decir, si todas las fuerzas actúan en la\(x\) dirección, solo necesitamos encontrar la fuerza resultante en la\(x\) dirección y el momento resultante alrededor de\(z\) los ejes\(y\) y.
Fuerzas coplanares.
Cuando todas las fuerzas en un sistema son coplanares solo necesitamos encontrar la fuerza resultante en este plano y el momento resultante alrededor del eje perpendicular a este plano. Es decir, si todas las fuerzas existen en el\(y\) plano\(x\) -, solo necesitamos sumar componentes en las\(y\) direcciones\(x\) y para encontrar la fuerza resultante\(\vec{R}\text{,}\) y utilizarlas para determinar el momento resultante alrededor del\(z\) eje. Todos los problemas bidimensionales entran dentro de esta categoría.
Llave resultante.
Una llave resultante es un caso especial donde el momento resultante actúa alrededor del eje de la fuerza resultante. Las direcciones del vector de fuerza resultante y el vector de momento resultante son las mismas.
Por ejemplo, si la fuerza resultante está solo en la\(x\) dirección y el momento resultante actúa solo alrededor del\(x\) eje, este es un ejemplo de una llave resultante. Un ejemplo cotidiano es un destornillador, donde tanto la fuerza resultante como el eje de rotación están alineados con el destornillador. Una llave resultante se considera positiva si el vector de pareja y el vector de fuerza apuntan en la misma dirección, y negativo si apuntan en direcciones opuestas.
Cualquier sistema tridimensional de par de fuerza puede reducirse a una llave equivalente resultante incluso si la fuerza resultante y el momento resultante no forman inicialmente una llave resultante.
Para encontrar la llave equivalente resultante:
- Primero, encontrar la fuerza resultante\(\vec{R}\) y el\(\vec{M}\) momento resultante en un punto arbitrario en un punto arbitrario,\(O\text{.}\) Estos no necesitan actuar a lo largo del mismo eje.
- Resolver el momento resultante en componentes escalares\(M_\parallel\) y\(M_\perp\text{,}\) paralelos y perpendiculares al eje de la fuerza resultante.
- Eliminar\(M_\perp\) moviendo la fuerza resultante lejos del punto\(O\) por distancia\(d = M_\perp/R\)
El sistema simplificado consiste en momento\(\vec{M}_\parallel\) y fuerza\(\vec{R}\) y distancia de actuación\(d\) lejos del punto\(O\text{.}\) Desde\(\vec{R}\) y\(\vec{M}_\parallel\) actuar a lo largo del mismo eje, el sistema se ha reducido a una llave resultante. Los resultados de llaves son la forma más general de representar un complejo sistema de fuerza de par, pero su utilidad es limitada.