4.6: Transformaciones equivalentes
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Preguntas Clave
- ¿Qué es una transformación equivalente?
- ¿Cuáles son algunos ejemplos de transformaciones equivalentes?
- ¿Qué son los efectos externos?
Una transformación equivalente ocurre cuando una carga en un objeto es reemplazada por otra carga que tiene el mismo efecto externo sobre el objeto. Por efecto externo nos referimos a la respuesta del cuerpo que podemos ver desde afuera, sin consideración de lo que le sucede internamente. Si el objeto es un cuerpo libre, el efecto externo sería traslación y rotación. En la estática, dado que los objetos no se están acelerando, el efecto externo realmente significa las reacciones en los soportes requeridos para mantener el equilibrio. Los efectos externos serán exactamente los mismos antes y después de una transformación equivalente.
La transformación equivalente nos permite intercambiar un conjunto de fuerzas por otro sin cambiar la física fundamental de la situación. Esto generalmente se hace para simplificar o aclarar la situación, o para darle una forma alternativa de pensar, comprender y resolver un problema mecánico.
Ya conoces varias transformaciones equivalentes aunque no hemos usado antes esta terminología. A continuación te presentamos algunas transformaciones que has aplicado anteriormente.
Adición de vectores.
Cuando se suman fuerzas usando las reglas de adición de vectores, se está realizando una transformación equivalente. Puede intercambiar dos o más componentes y reemplazarlos con una sola fuerza resultante equivalente.
Se puede sumar cualquier número de fuerzas concurrentes para producir una sola fuerza resultante. Por definición, las líneas de acción de las fuerzas concurrentes se cruzan en un punto común. El resultante debe colocarse en este punto de intersección para que este reemplazo sea equivalente. Esto se debe a que antes y después del reemplazo, el momento sobre el punto de intersección es cero. Si el resultante se colocara en otro lugar, eso no sería cierto.
Sustitución de una Fuerza con su Componente.
Resolver fuerzas en componentes también es una transformación equivalente, de hecho esta es solo la operación inversa de la adición de vectores. Los componentes suelen ser ortogonales y en las direcciones de coordenadas, o en un plano dado y perpendiculares a éste, pero cualquier combinación de fuerzas de componentes que se suma a la fuerza original es equivalente.
Figura 4.6.1. Transformaciones equivalentes de vectores
En este diagrama,
\[ \vec{F_1} + \vec{F}_2 = \vec{F} = (F; \theta) = \langle F \cos\theta, F\sin\theta \rangle\text{.} \nonumber \]
Los efectos de la fuerza en las direcciones\(x\text{,}\)\(y\) y (en tres dimensiones las\(z\)) siguen siendo los mismos, y por el teorema de Verignon sabemos que el momento en que estas fuerzas hagan sobre cualquier punto también será el mismo.
Un caso especial interesante ocurre cuando dos fuerzas son iguales y opuestas y tienen la misma línea de acción. Cuando estos se suman, cancelan, por lo que reemplazar estas dos fuerzas por nada es una transformación equivalente. Lo contrario también es cierto, por lo que puedes hacer que dos fuerzas iguales y opuestas aparezcan espontáneamente un punto si lo deseas.
- Pensar más profundo 4.6.2. Efectos Internos.
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Hicimos un punto de decir que los sistemas de fuerza equivalentes tienen el mismo efecto externo en el cuerpo. Esto implica que puede haber algunos otros efectos que no son los mismos. Como verán en el Capítulo 8, a veces necesitamos considerar fuerzas y momentos internos. Estas son las fuerzas dentro de un cuerpo que sujetan todas las partes del objeto entre sí, de lo contrario se rompería y fallaría. Aunque los efectos externos son los mismos para todos los sistemas equivalentes, las fuerzas internas dependen de los detalles de cómo se aplican las cargas.
Imaginemos que has salido todoterreno y has logrado que tu Jeep se quede atascado en el barro. Tienes dos opciones básicas para sacarlo: puedes sacarlo usando el cabrestante en el parachoques delantero, o puedes pedirle a tu amigo que te empuje con su camioneta. Ambos métodos (asumiendo que aplican fuerzas con la misma magnitud, dirección y línea de acción) son estáticamente equivalentes, y ambos igualmente harán avanzar tu vehículo.
La diferencia es lo que le puede pasar a tu vehículo. Con un método existe el peligro de que te arranques el parachoques delantero, con el otro podrías dañar tu parachoques trasero. Estos son los efectos internos y dependen de dónde se aplique la fuerza equivalente. Estas fuerzas son necesarias para mantener la rigidez y mantener unidas las partes del cuerpo.
Deslizando una fuerza a lo largo de su línea de acción.
Deslizar una fuerza a lo largo de su línea de acción es una transformación equivalente porque deslizar una fuerza no cambia su magnitud, dirección o la distancia perpendicular de la línea de acción a ningún punto, por lo que los momentos que crea tampoco cambian. A esta transformación se le llama el “Principio de Transmisibilidad”.
Figura 4.6.3. Deslizando un vector a lo largo de su línea de acción
Sustituir una pareja por momento de pareja o viceversa.
Una pareja, definida como “dos fuerzas iguales y opuestas con diferentes líneas de acción”, produce una acción de giro pura que equivale a un momento concentrado, llamado momento de pareja. Las parejas y los momentos de pareja no tienen efecto traslacional. Los momentos en pareja son vectores libres, lo que significa que no están vinculados a ningún punto. Su efecto externo es sobre todo el cuerpo y es el mismo independientemente de dónde se aplique.
Esto significa que eres libre de cambiar una pareja por su momento de pareja, o cambiar un momento de pareja por una pareja que tiene el mismo momento, y puedes poner el reemplazo en cualquier lugar que quieras y seguirá siendo equivalente.
El diagrama muestra una serie de transformación equivalente de una pareja.
Figura 4.6.4. Transformaciones equivalentes de parejas
Los momentos concentrados son vectores libres, que puedes dibujar la flecha circular donde quieras en el cuerpo. En otras palabras, mover un momento concentrado de un punto a otro es una transformación equivalente. Sin embargo, recuerda que esta equivalencia solo se aplica a los efectos externos. Lo que sucede dentro del cuerpo definitivamente sí depende del punto específico donde se aplique el momento.
Agregar momentos para producir un momento resultante.
Si más de un momento de pareja o momento concentrado actúa sobre un objeto, la situación puede simplificarse sumando para producir un momento resultante,\(\vec{M}_R\text{.}\) se aplican las reglas estándar de adición vectorial.
En problemas bidimensionales los momentos son ya sea en sentido horario o antihorario, por lo que pueden considerarse valores escalares y agregarse algebraicamente. Dale a los momentos antihorario un signo positivo y a los momentos en sentido horario un signo negativo de acuerdo con la convención de signos de regla de la derecha Si esto se hace, el signo del momento resultante indicará la dirección del momento neto. Puede utilizar la regla de la mano derecha para establecer la dirección del vector momento, que apuntará hacia dentro o fuera de la página.
\[ M_R = \Sigma M \nonumber \]
Ejemplo 4.6.5. Momento Equivalente.
Dos momentos concentrados y una pareja están actuando sobre el objeto mostrado. Dado:\(M_1 = \Nm{400}\text{,}\)\(M_2 =\Nm{200}\text{,}\)\(F = \N{40}\) y\(d=\m{2}\text{.}\)
Reemplaza estos con un solo momento concentrado equivalente, y da la magnitud y dirección de tu resultado.
- Contestar
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\(M_r = \Nm{69.2}\)en sentido horario.
- Solución
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Primero, sustituir a la pareja por una pareja equivalente,\(M_3\text{,}\) cuya magnitud es
\ begin {alinear*} M_3\ amp = F d_\ perp\\ amp = F d\ sin\ ang {60}\\ amp =\ Nm {69.2}\ final {alinear*}
Por observación, este es un momento en sentido antihorario como lo\(M_2\text{.}\)\(M_1\) es en el sentido de las agujas Sumando las magnitudes escalares da el momento resultante. Los signos de los términos se asignan de acuerdo con la convención de signos: positivo si en sentido antihorario, negativo si en sentido horario.
\ begin {alinear*} M_R\ amp =\ Sigma M\\ amp = M_1 + M_2 + M_3\\ amp = -\ Nm {400} +\ Nm {200} +\ Nm {69.2}\\ amp = -\ Nm {130.7}\\ amp =\ Nm {130.7}\ texto {en sentido horario}\ final {alinear*}
Resolviendo un momento en componentes.
Para los vectores de momento tridimensional, otra transformación equivalente potencial es resolver un vector de momento en componentes. Estos pueden ser componentes ortogonales en las\(z\) direcciones\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y, o componentes en un plano y perpendiculares a él, o componentes en algún otro sistema de coordenadas giradas.