8.8: Método de integración
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En la Sección 8.6 aprendimos que los momentos de carga, cizallamiento y flexión están relacionados por ecuaciones integrales y diferenciales, y se utilizó este conocimiento para dibujar el diagrama de cizallamiento y momento de flexión demandando un enfoque gráfico. Este método es fácil y rápido en los casos en que puede calcular fácilmente las áreas bajo las curvas de carga y cizallamiento sin integración. Las vigas consistentes en cargas puntuales y distribuidas uniformemente no requieren el uso del método de cálculo.
Sin embargo, hay momentos en que la técnica gráfica se queda corta cuando las áreas son más complicadas que los rectángulos o triángulos. Por ejemplo, una carga uniformemente variable, que es una función lineal de primer grado de\(x\text{,}\) integra a una función de cizallamiento parabólico de segundo grado, y una función de momento cúbico de tercer grado. Para utilizar el método gráfico necesitaría encontrar el área bajo la curva de cizallamiento parabólico para calcular el momento cúbico. Cuando la carga se vuelve más compleja es mejor usar realizar la integración directamente.
Utilizaremos las ecuaciones fundamentales (8.6.2) y (8.6.4) para encontrar las funciones de cizallamiento y momento de flexión
\ start {alinear*}\ Delta V\ amp =\ int_a^b w (x)\ dx\ amp\ Delta M\ amp=\ int_a^b V (x)\ dx\ final {alinear*}
pero en lugar de encontrar áreas y pendientes usando geometría, integraremos la función de carga\(w(x)\) para encontrar el\(\Delta V\text{,}\) luego integrar ese resultado para encontrar el\(\Delta M\text{.}\)
Estos resultados son el cambio en el cizallamiento y el momento sobre un segmento; para encontrar las funciones reales de cizallamiento\(V(x)\) y momento y\(M(x)\) para toda la viga necesitaremos encontrar valores iniciales para cada segmento. Esto equivale a usar condiciones de límite para encontrar la constante de integración al resolver una ecuación diferencial. Los valores iniciales provienen ya sea del valor final del segmento anterior o de cargas puntuales o momentos puntuales. Debido al requisito de estos valores iniciales de segmento, ningún segmento se puede calcular de forma aislada de los otros segmentos. Físicamente esto significa que el cizallamiento y el momento a lo largo de una viga no se deben solo a la carga en un segmento, sino que también están relacionados con la carga en el resto de la viga.
Determinación de funciones de carga
Antes de que pueda encontrar funciones de cizallamiento y momento de flexión con integración debe conocer la ecuación para la carga en cada segmento de la viga. Estas ecuaciones se pueden dar en la declaración del problema si tienes suerte, o quizás tengas que determinarlas a partir de un diagrama de carga.
Al determinar ecuaciones para cargar segmentos, puede elegir ecuaciones globales, donde todos los segmentos usan el mismo origen, generalmente en el extremo izquierdo de la viga, o ecuaciones locales, donde cada segmento usa su propio origen, generalmente en el extremo izquierdo del segmento. A menudo, las ecuaciones locales son más fáciles porque simplemente puedes usar la variable\(x\) en tus ecuaciones en lugar de “\(x\)+ constante”, y no tienes que proyectar los valores\(y\) -interceptar de nuevo a un sistema de ejes que no es adyacente al segmento. Consulte la Figura 8.8.1 interactiva para explorar la diferencia entre ecuaciones locales y globales.
Al determinar ecuaciones para los segmentos de carga a partir del diagrama de carga, considere lo siguiente.
- Sin carga.
Siempre que no haya carga alguna en un segmento no habrá ningún cambio en la cizalla en el segmento. En tales secciones la función de carga es
\[ w(x) = 0\text{.} \nonumber \]
Tenga en cuenta que esto solo puede ocurrir cuando se descuida el peso de la viga en sí.
- Carga Distribuida Uniformemente.
Una carga uniformemente distribuida es constante sobre el segmento y da como resultado un diagrama de corte rectangular. La función de carga en tales secciones es
\[ w(x) = C \text{.} \nonumber \]
El valor constante es negativo si la carga apunta hacia abajo, y positivo si apunta hacia arriba.
- Carga que varía uniformemente.
En este caso la función de carga varía linealmente, y producirá una función de cizallamiento triangular o trapezoidal. La función de carga es una línea recta.
\[ w(x) = m x + b\text{.} \nonumber \]
La pendiente\(m\) y la intercepción se\(b\) deben determinar a partir de la declaración, y dependerá de si se está escribiendo una ecuación global o local.
- Carga Arbitraria.
La función de carga será una función dada de\(x\text{.}\)
\[ w(x) = f(x)\text{.} \nonumber \]
La mayoría de las cargas gravitacionales distribuidas se dibujan con las flechas apuntando hacia abajo y descansando sobre la viga. Si los deslizas a lo largo de su línea de acción para que sus colas estén en la viga, las puntas definen la ecuación de carga.
Este interactivo compara las ecuaciones locales y globales para un segmento de haz con una carga uniformemente variable.
Observe a medida que cambia la pendiente, la intercepción global y la ubicación del punto\(A\) que los únicos valores que se desplazan entre las ecuaciones locales y globales son los valores de\(y\) intercepción (\(b'\)vs.\(b'\)) y la\(x\) coordenada de\(A\text{.}\)
Aplicación del Método de Cálculo
Puedes o bien nosotros este método desde el principio o usar el método gráfico hasta que necesites áreas de formas más complicadas que rectángulos y triángulos.
- Necesitarás haber resuelto el segmento de carga a la izquierda de tu segmento deseado.
- Escribe una ecuación para la carga\(w\) en el segmento usando coordenadas locales o globales.
- Integre la ecuación de carga\(w(x)\) para encontrar el cambio en la cizalla\(\Delta V\) e incluya el valor de cizallamiento al comienzo de su segmento de carga, incluida la influencia de cualquier carga puntual en esa ubicación, que es equivalente a la constante de integración.
- Integre la ecuación de cizallamiento\(w(x)\) para encontrar el cambio en el momento de flexión\(\Delta M\) e incluya el valor de momento al comienzo de su segmento de carga, incluyendo la influencia de cualquier punto pareja-momentos en esa ubicación, equivalente a la constante de integración.
- Para encontrar valores máximos
- Para cizallamiento, utilice\(V(x)\) la ecuación.
- Por momento, use\(M(x)\text{.}\) Si el valor del momento máximo está en medio de un segmento de carga (a menudo donde el valor de cizallamiento es cero), establezca la\(V(x)=0\text{,}\) resolución para\(x\) y luego ponga ese valor de distancia en la\(M(x)\) ecuación de momento.
Ejemplo 8.8.2. Ejemplo.
Utilice el método de integración para encontrar las ecuaciones para cizallamiento y momento en función de\(x\text{,}\) para una viga simplemente soportada que lleva una carga\(w\) uniformemente distribuida en toda su longitud\(L\text{.}\)
- Contestar
-
\ start {alinear*} V (x)\ amp = w\ izquierda (\ frac {L} {2} -x\ derecha)\ amp M (x)\ amp =\ frac {w} {2} (Lx - x^2)\ end {alinear*}
- Solución
-
Esta viga tiene solo una sección de carga, y en esa sección la carga es constante por lo que,
\[ w(x)= w\text{.} \nonumber \]
Hay una conexión fija en la\(x=0\) que proporciona una fuerza vertical y ningún momento concentrado, por lo que las condiciones iniciales hay\(V(0) = wL/2\text{,}\) y\(M(0) = 0\text{.}\)
Integrando ecuaciones (8.6.2) y (8.6.4) tenemos.
\ begin {align*}\ Delta V\ amp = -\ int_0^x w (x)\ dx\\ V (x) - V_0\ amp = -w x\ V (x)\ amp =\ amp =\ frac {wL} {2} - wx\\ amp = w\ amp = w\ left (\ frac {L} {2} - x\ derecha)\ end {align*}
\ begin {alinear*}\ Delta M\ amp =\ int_0^x V (x)\ dx\ V (x) -\ cancelto {0} {M_0}\ amp =\ int_0^x w\ izquierda (\ frac {L} {2} - x\ derecha)\ dx\ V (x)\ amp =\ frac {w} {2} (Lx - x^2)\ end {alinear*}
