9.7: Fricción de disco
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Preguntas Clave
- Seleccione la ecuación de fricción de disco adecuada entre aquellas para áreas circulares huecas, áreas sólidas y frenos de disco con un arco circular y
- Calcular el posible momento en que las fuerzas de fricción de la fricción del disco pueden resistir.
Fricción de disco
La fricción del disco es la fricción que existe entre un cuerpo giratorio y una superficie estacionaria. La fricción del disco ejerce un momento sobre los cuerpos involucrados que resiste la rotación relativa de cada uno de los cuerpos. La fricción del disco es aplicable a una amplia variedad de diseños, incluidos los rodamientos finales, los cojinetes de collar, los frenos de disco y los embragues.
Figura 9.7.1. Esta lijadora orbital hace girar un disco de lijado circular contra una superficie estacionaria. La fricción del disco entre el disco de lijado y la superficie ejercerá un momento tanto en la superficie como en la lijadora.
Rodamiento de collar con un área de contacto circular hueca
Para iniciar nuestro análisis de la fricción del disco utilizaremos el ejemplo de un rodamiento de collar, que tiene un área de contacto circular hueca entre el collarín giratorio y la superficie estacionaria (Figura 9.7.2). En este tipo de rodamientos, tendremos un eje giratorio que se desplaza a través de un agujero en una superficie. El eje soporta cierta fuerza de carga como se muestra y se usa un collar para soportar el propio eje.
Figura 9.7.2. Un cojinete de collar tiene un área de contacto en forma de rosquilla entre el collar giratorio y la superficie estacionaria. El eje transfiere la carga aplicada
La fuerza de fricción en cualquier punto del área de contacto será igual a la fuerza normal en ese punto por el coeficiente cinético de fricción en ese punto. Si asumimos una presión uniforme entre el collar y la superficie y un coeficiente de fricción uniforme, entonces tendremos la misma fuerza de fricción ejercida en todos los puntos. Esto no se traduce sin embargo en un momento igual ejercido por cada punto. Los puntos más alejados del centro de rotación ejercerán un momento mayor que los puntos más cercanos al centro de rotación porque tendrán un brazo de momento más grande.
Figura 9.7.3. Se supone que las fuerzas de fricción en cualquier elemento diferencial son las mismas (debido a una fuerza normal uniformemente distribuida), sin embargo, los elementos a lo largo del borde exterior del área de contacto causarán un momento mayor que los del borde interior debido a un radio mayor.
Para determinar el momento total ejercido por las fuerzas de fricción, necesitaremos integrar la fricción de todos los elementos del área de contacto. El momento de cada elemento (\(dM\)) será igual al producto del coeficiente cinético de fricción (\(\mu_k\)), la presión de fuerza normal (\(p\)), la distancia desde ese punto hasta el centro de rotación (\(r\)), y el área de cada elemento (\(dA\)).
\[ dM=\mu_k p r\; dA \nonumber \]
El momento de fricción total se puede encontrar integrando el momento de cada elemento sobre el área de contacto:
\[ M=\int_A dM=\int_A \mu_k p r \; dA \nonumber \]
Para simplificar la ecuación podemos mover el coeficiente constante de fricción y el término de presión de fuerza normal constante fuera de la integral. También podemos reemplazar el término de presión con la fuerza aplicada sobre el rodamiento sobre el área de contacto. Finalmente, para que podamos integrarnos sobre el rango de\(R\) valores, podemos reconocer que la tasa de cambio en el área (\(dA\)) para las áreas circulares huecas es simplemente la tasa de cambio del\(r\;dr\) término tiempo la circunferencia del círculo en\(r\text{.}\) Estos cambios conducen a la siguiente ecuación .
\[ M=\mu_k\left ( \frac{F}{\pi(r_\text{o}^{2}-r_\text{i}^{2})} \right )\int_{r_\text{i}}^{r_\text{o} }r\; (2\pi r)\;dr \nonumber \]
Finalmente, podemos evaluar la integral desde el radio interno hasta el radio exterior. Si evaluamos la integral y simplificamos terminaremos con la ecuación final a continuación.
\ begin {ecuación} M=\ frac {2} {3}\ mu_k F\ left (\ frac {r_\ text {o} ^ {3} -r_\ text {i} ^ {3}} {r_\ text {o} ^ {2} -r_\ text {i} ^ {2}}\ derecha)\ tag {9.7.1}\ end {ecuación}
Cojinete final con un área de contacto circular sólida
En los casos en los que tenemos un área de contacto circular sólida como con un eje circular sólido en un cojinete extremo o con la lijadora orbital mostrada en la parte superior de la página simplemente establecemos el radio interior en cero y podemos simplificar la fórmula. Si lo hacemos, la fórmula original se reduce a la siguiente ecuación.
\ begin {ecuación} M=\ frac {2} {3}\ mu_k F r_\ texto {o}\ tag {9.7.2}\ end {ecuación}
Figura 9.7.4. Un cojinete de extremo tiene un área de contacto circular sólida entre el eje giratorio y el rodamiento estacionario.
Frenos de disco con arco circular
Los frenos de disco tienen un área de contacto que parece una sección del área de contacto circular hueca que cubrimos anteriormente.
Figura 9.7.5. El área de contacto en los frenos de disco a menudo se aproxima como un arco circular (radio interior\(r_\text{i}\) y radio exterior\(r_\text{o}\)) con un ángulo de contacto dado (\(\theta\))
Sin embargo, los frenos de disco, debido a su menor área de contacto, tienen un área más pequeña sobre la cual ejercer fuerza de fricción y también una mayor presión para la misma fuerza aplicada. Al final, estos factores se cancelan entre sí y terminamos con la misma fórmula que teníamos para el área de contacto circular hueca (independiente de\(\theta\)).
Pastilla de freno en un lado:
\ begin {ecuación} M=\ frac {2} {3}\ mu_k F\ left (\ frac {r_\ text {o} ^ {3} -r_\ text {i} ^ {3}} {r_\ text {o} ^ {2} -r_\ text {i} ^ {2}}\ derecha)\ tag {9.7.3}\ end {ecuación}
La mayoría de los frenos de disco, sin embargo, tienen un par de pastillas (una a cada lado del disco giratorio), por lo que tendremos que duplicar el momento en nuestra ecuación para el par habitual de pastillas.
Pastillas de freno en cada lado:
\ begin {ecuación} M=\ frac {4} {3}\ mu_k F\ left (\ frac {r_\ text {o} ^ {3} -r_\ text {i} ^ {3}} {r_\ text {o} ^ {2} -r_\ text {i} ^ {2}}\ derecha)\ tag {9.7.4}\ end {ecuación}