10.5: Momento polar de inercia

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Preguntas Clave

¿Cómo son los momentos polares de inercia similares y diferentes a los momentos de inercia de área alrededor de un eje horizontal o vertical?

El momento polar de inercia se define por la cantidad integral

\ begin {ecuación} J_O =\ int_a r^2 dA\ text {,}\ tag {10.5.1}\ end {ecuación}

donde\(r\) es la distancia desde el punto de referencia a un elemento diferencial de área\(dA\text{.}\)

El momento polar de inercia describe la distribución del área de un cuerpo con respecto a un punto en el plano del cuerpo. Como alternativa, se puede considerar que el punto es donde un eje perpendicular cruza el plano del cuerpo. El subíndice en el símbolo\(j\) indica el punto o eje.

Existe una relación particularmente sencilla entre el momento polar de inercia y los momentos rectangulares de inercia. Refiriéndose a la figura, aplicar el teorema de Pitágoras\(r^2 = x^2 +y^2\) a la definición de momento polar de inercia para obtener

\ begin {align*} J_O & =\ int_a r^2\ dA\ notag\\ & =\ int_a (x^2 + y^2)\ dA\ notag\\ &=\ int_a x^2 dA +\ int_a y^2 dA\ notag\\ j_O & = i_x + i_y\ texto {.} \ label {Jo}\ tag {10.5.2}\ end {align*}

Pensar más profundo 10.5.1. Estrés Torsional.

El momento polar de inercia es un factor importante en el diseño de los ejes de transmisión. Cuando un eje es sometido a torsión, experimenta fuerzas de corte distribuidas internas a lo largo de su sección transversal que contrarrestan la carga de torsión externa.

Esta fuerza de cizallamiento distribuida se denomina esfuerzo cortante, y generalmente se le da el símbolo tau, El esfuerzo\(\tau\text{.}\) cortante es cero en el eje neutro y aumenta linealmente con\(r\) hasta un valor máximo,\(\tau_\text{max}\) en la superficie exterior donde\(r=c\text{,}\) así

\[ \tau = \tau_\text{max}\frac{r}{c} \nonumber \]

Figura 10.5.2. Vista en sección de un eje, que muestra las fuerzas de corte desarrolladas para soportar la torsión externa\(T\text{.}\)

La fuerza en cualquier punto es\(dF = \tau\ dA\text{,}\) y el momento\(dM\) ejercido en cualquier punto es\(dF\) veces el momento brazo, que es\(r\text{.}\) El momento total es la integral de esta cantidad sobre el área de la sección transversal, y es proporcional al momento polar de inercia.

\ begin {align*} T &=\ int dM\\ & =\ int r\ dF\\ &=\ int_a r\\ tau_\ text {max}\ frac {r} {c}\ dA\\ &=\ frac {\ tau_\ text {max}} {c}\ int_a r^2\ dA\\ T & =\ frac {\ tau_\ text {max}} {c} J\\\ tau_\ texto {max} & =\ frac {Tc} {J}\ final {alinear*}

Esta es la relación entre la tensión máxima en un eje circular y el par aplicado\(T\) y las propiedades geométricas del eje,\(J_O\) y\(c\text{.}\)