3.1: Momento de una Fuerza alrededor de un Punto (Cálculo Escalar)

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El momento de una fuerza es la tendencia de algunas fuerzas a provocar la rotación. Cualquier manera fácil de visualizar el concepto es establecer una caja sobre una superficie lisa. Si aplicara una fuerza al centro de la caja, simplemente se deslizaría por la superficie sin girar. Si en cambio tuvieras que empujar un lado de la caja, ésta comenzará a girar a medida que se mueve. A pesar de que las fuerzas tienen la misma magnitud y la misma dirección, provocan diferentes reacciones. Esto se debe a que la fuerza descentrada tiene un punto de aplicación diferente, y ejerce un momento alrededor del centro de la caja, mientras que la fuerza sobre el centro de la caja no ejerce un momento sobre el punto central de la caja.

El lado izquierdo de un gráfico muestra una caja que se desliza a través de una superficie empujando contra el punto medio de uno de sus lados. El lado derecho muestra la misma caja siendo girada, así como deslizada hacia adelante, empujando contra una de sus esquinas. — Figura\(\PageIndex{1}\): Si empujamos una caja en el centro, simplemente comenzará a deslizarse. Si empujamos una caja descentrada, vamos a ejercer un momento y la caja girará además de deslizarse.

Al igual que las fuerzas, los momentos tienen una magnitud (el grado de rotación que causaría) y una dirección (el eje sobre el que giraría el cuerpo). Determinar la magnitud y dirección de estos momentos sobre un punto dado es un paso importante en el análisis de los sistemas de cuerpos rígidos (cuerpos que son rígidos y que no experimentan fuerzas concurrentes). El método escalar a continuación es la forma más fácil de hacer esto en problemas bidimensionales simples, mientras que los métodos vectoriales alternativos, que se cubrirán más adelante, funcionan mejor para sistemas tridimensionales más complejos.

El Método Escalar en 2 Dimensiones

Al discutir cómo calcular el momento de una fuerza alrededor de un punto a través de cantidades escalares, comenzaremos con el ejemplo de una fuerza sobre una palanca simple como se muestra a continuación. En esta simple palanca hay una fuerza en el extremo de la palanca,\(d\) distancia del centro de rotación para la palanca (punto A) donde la fuerza tiene una magnitud\(F\).

Dibujo de un joystick montado en una pared vertical, con el eje totalmente perpendicular a la pared. Existe una distancia d entre el punto de contacto de la pared con el joystick (punto A) y el centro de masa del extremo esférico del joystick (punto B); se aplica una fuerza ascendente de magnitud F en el punto B. — Figura\(\PageIndex{2}\): La magnitud del momento en que la fuerza\(F\) ejerce sobre el punto A sobre esta palanca será igual a la magnitud de la fuerza por distancia\(d\).

Al usar cantidades escalares, la magnitud del momento será igual a la distancia perpendicular entre la línea de acción de la fuerza y el punto sobre el que estamos tomando el momento. \[ M \, = \, F * d \]

Para determinar el signo del momento, determinamos qué tipo de rotación provocaría la fuerza. En este caso, podemos ver que la fuerza provocaría que la palanca rotara en sentido antihorario alrededor del punto A. Las rotaciones en sentido antihorario son causadas por momentos positivos mientras que las rotaciones en sentido horario son provocadas por momentos negativos.

Otro factor importante a recordar es que el valor\(d\) es la distancia perpendicular desde la fuerza hasta el punto sobre el que estamos tomando el momento. Podríamos medir la distancia desde el punto A hasta la cabeza del vector de fuerza, o la cola del vector de fuerza, o realmente cualquier punto a lo largo de la línea de acción de fuerza\(F\). La distancia que necesitamos utilizar para el cálculo del momento escalar, sin embargo, es la distancia más corta entre el punto y la línea de acción de la fuerza. Esta siempre será una línea perpendicular a la línea de acción de la fuerza, yendo al punto sobre el que estamos tomando el momento.

Se muestra el mismo joystick de la figura anterior con el punto B empujado considerablemente hacia adelante desde su punto original. La distancia d es ahora la distancia más corta que conecta el punto A con la línea extendida desde ambos extremos del vector de fuerza aplicada. — Figura\(\PageIndex{3}\): La distancia\(d\) siempre tiene que ser la longitud más corta entre la línea de acción de la fuerza y el punto sobre el que estamos tomando el momento. Esta distancia será perpendicular a la línea de acción de la fuerza.

El modelo escalar en 3 dimensiones

Para los cálculos escalares tridimensionales, aún encontraremos la magnitud del momento de la misma manera, multiplicando la magnitud de la fuerza por la distancia perpendicular entre el punto y la línea de acción de la fuerza. Esta distancia perpendicular nuevamente es la distancia mínima entre el punto y la línea de acción de la fuerza. En algunos casos, encontrar esta distancia puede ser muy difícil.

Un rectángulo bidimensional, dibujado en un plano de coordenadas tridimensional y que ocupa el plano xy. Se aplica una fuerza F en su esquina inferior izquierda, empujando hacia la izquierda y hacia atrás. Un punto sobre el cual se calcula el momento se marca a mitad de la longitud del rectángulo, con la distancia d marcada como la longitud del segmento de línea que conecta perpendicularmente este punto a la línea de acción de F. — Figura\(\PageIndex{4}\): Para momentos en tres dimensiones, el vector momento siempre será perpendicular tanto al vector de fuerza como al vector\(\vec{F}\) de distancia\(\vec{d}\).

Otro factor difícil en los problemas escalares tridimensionales es encontrar el eje de rotación, ya que este es ahora más complejo que solo “en sentido horario o antihorario”. El eje de rotación será una línea que recorre el punto sobre el que estamos tomando el momento, y perpendicular tanto al vector de fuerza como al vector de desplazamiento perpendicular (el vector va desde el punto sobre el que se tomó el momento hasta el punto de aplicación de la fuerza). Si bien esto es posible en cualquier situación, se vuelve muy difícil si los vectores de fuerza o desplazamiento no se encuentran en una de las tres direcciones de coordenadas.

Para encontrar aún más la dirección del vector de momento (que actuará a lo largo de la línea establecida para el eje de rotación), utilizaremos la regla de la derecha en una forma modificada. Envuelve los dedos de tu mano derecha alrededor del eje de la línea de rotación con las yemas de los dedos curvadas en la dirección en la que giraría el cuerpo. Si haces esto, tu pulgar debe apuntar a lo largo de la línea en la dirección del vector momento. Este es un último paso importante, ya que podemos girar en sentido horario o antihorario alrededor de cualquier eje de rotación dado. Con el vector de momento final, conocíamos no sólo el eje de rotación, sino en qué dirección giraría el cuerpo alrededor de ese eje.

Dibujo de la mano derecha de una persona, rizada en demostración de la regla de la mano derecha tal como se aplica a la rotación. — Figura\(\PageIndex{5}\): Para usar la regla de la derecha, alinee su mano derecha como se muestra para que su pulgar se alinee con el eje de rotación por el momento y sus dedos rizados apunten en la dirección de rotación para su momento. Si haces esto, tu pulgar estará apuntando en la dirección del vector momento. Adaptado de la imagen de Dominio Público por Schorschi2.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/15h8bIQDjGE.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuál es el momento que ejerce la Fuerza A sobre el punto A? ¿Cuál es el momento que ejerce la Fuerza B sobre el Punto A?

Una palanca de 2 metros de largo y uniformemente delgada tiene su base, punto A, unida a una pared. Al extremo libre se le aplican dos fuerzas: A con una magnitud de 100 N recto hacia abajo, B con una magnitud de 200 N apuntando hacia arriba y hacia la izquierda, haciendo un ángulo de 30 grados con la horizontal. — Figura\(\PageIndex{6}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{1}\); una palanca se fija a una pared con dos fuerzas ejercidas sobre el extremo libre de la palanca.

Solución: Video\(\PageIndex{7}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/E9Xq1fXdcyE.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál es el momento en que esta fuerza ejerce sobre el punto A? ¿Cuál es el momento en que esta fuerza ejerce sobre el punto B?

Un triángulo rectángulo con el punto B, la intersección de las dos patas, en la esquina superior izquierda y el punto A, la intersección de la hipotenusa y la pierna más corta, 6 pies directamente debajo de B. En la esquina superior derecha del triángulo y perpendicular a la hipotenusa, una fuerza con magnitud 80 lbs apunta hacia arriba y hacia la izquierda, haciendo un ángulo de 60 grados por encima de la horizontal. — Figura\(\PageIndex{2}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{2}\); se ejerce una fuerza sobre una esquina de un triángulo rectángulo.

Solución: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/9nb2q3EN5gs.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

¿Cuáles son los momentos que cada una de las tres fuerzas de tensión ejerce sobre el punto A (el punto donde se juntan las vigas)?

Dos vigas, cada una de 12 pies de largo, están tendidas en el suelo. Uno yace horizontalmente, intersectando la otra viga, que yace verticalmente, a 4 pies de un extremo de esa viga vertical. El extremo libre de la viga horizontal experimenta una fuerza de tensión ascendente, A, de 30 lbs; el extremo de la viga vertical más lejos del punto de intersección experimenta una fuerza de tensión ascendente, B, de 40 lbs; el extremo de la viga vertical más cerca de la intersección experimenta una fuerza de tensión ascendente, C, de 50 lbs. — Figura\(\PageIndex{8}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{3}\); se ejercen tres fuerzas de tensión sobre los extremos libres de dos vigas que se encuentran perpendiculares entre sí.

Solución: Video\(\PageIndex{4}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{3}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/2W9-K2KsTMU.