9.3: Conservación de Energía para Sistemas de Partículas

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Así como usamos el método de energía para una sola partícula, también podemos usar el método de energía para un sistema de partículas. Como recordatorio, la ecuación de conservación de energía establece que el cambio en la energía de un cuerpo (incluyendo las energías cinéticas y potenciales) será igual al trabajo realizado a un cuerpo entre durante ese tiempo.

\[ W = \Delta KE _ \Delta PE \]

Para un sistema de partículas, la suma del trabajo realizado a todas las partículas será igual al cambio de energía de todas las partículas colectivamente, combinando esencialmente múltiples ecuaciones de conservación de energía en una sola.

\[ \sum W = \sum \Delta KE + \sum \Delta PE \]

Esto parecería hacer una ecuación compleja a partir de múltiples ecuaciones simples de conservación de energía (aplicando la conservación de energía por separado a cada cuerpo), pero hay una ventaja en que las fuerzas internas en el sistema se cancelarán. En el siguiente diagrama, podemos ver un sistema de dos partículas conectadas a través de un cable. Examinando los cuerpos por separado, tendríamos dos fuerzas de tensión y una fuerza de fricción todas haciendo trabajo a una caja u otra. En la ecuación única para el sistema de cajas, sin embargo, el trabajo realizado por las dos fuerzas de tensión (una positiva y otra negativa) sumará hasta cero. Esto será cierto para cualquier fuerza que se ejerza entre los cuerpos en el sistema, y fuerzas como estas se conocen como fuerzas internas. La fuerza de fricción, por otro lado, es un ejemplo de una fuerza externa, en el sentido de que existe entre la caja superior y la superficie (que no forma parte de nuestro sistema).

Una caja de 10 lb, etiquetada A, se asienta sobre una superficie plana. El lado derecho de la caja A está conectado a un cable, que pasa a través de una polea para soportar la caja B de 5 lb que cuelga hacia abajo. Una fuerza de tensión T tira de la caja A hacia la derecha y la caja B hacia arriba, mientras que la caja A también experimenta una fuerza de fricción que apunta hacia la izquierda. — Figura\(\PageIndex{1}\): Si contamos las dos casillas de este diagrama como nuestro sistema, entonces las fuerzas de tensión contarían como fuerzas internas y pueden ser ignoradas en nuestra ecuación de conservación de energía. Solo las fuerzas externas, como la fuerza de fricción, deben incluirse como parte del trabajo realizado en el sistema.

Al final, la suma del trabajo realizado por fuerzas externas será igual al cambio en la energía total para el sistema de partículas. Ya que solo tenemos una sola ecuación, sólo podemos resolver por un solo desconocido. A menudo tendremos que volver a nuestras ecuaciones cinemáticas para relacionar las velocidades y desplazamientos de los diversos cuerpos entre sí. Dado que estos sistemas a menudo consisten en cuerpos conectados entre sí a través de cables, el análisis de movimiento dependiente en particular a menudo entrará en juego.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/r1RBsxURcbY.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dos bloques están conectados por una cuerda sin masa y una polea sin fricción como se muestra a continuación. Si el coeficiente de fricción entre el bloque A y la superficie es 0.4, ¿cuál es la velocidad de los bloques después de que el bloque A se haya movido 6 pies?

La Caja A, que pesa 10 lbs, se asienta sobre una superficie plana. El lado derecho de la caja A está conectado a un cable que pasa a través de una polea para soportar la caja B de 5 lb, que de lo contrario cuelga libremente. — Figura\(\PageIndex{2}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{1}\). La caja B de 5 lb cuelga de un cable que se extiende sobre una polea y se conecta a la caja A de 10 lb que se asienta sobre una superficie plana.

Solución: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\). Fuente de YouTube: https://youtu.be/UW4HXJNId0A.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

El elevador que se muestra a continuación tiene una masa de 1500 kg y el contrapeso tiene una masa de 500 kg. En algún momento el cable conectado al motor se ajusta, haciendo que el elevador comience a caer. Después de caer 3 metros sin fuerzas externas, ¿cuál es la velocidad del elevador? Si entonces se aplica el freno de emergencia en este punto (3 m por debajo de la posición original), ejerciendo una fuerza constante de 15,000 N, ¿cuánto más caerá el elevador antes de detenerse?

El techo de un edificio tiene un motor unido a él. El motor normalmente está conectado por un cable en bucle a una polea en la parte superior de un elevador dentro del edificio, pero el cable se ha encajado actualmente. Otro cable va desde el techo a través de una segunda polea en la parte superior del elevador, luego a través de otra polea montada en la parte inferior del techo, luego hacia abajo para soportar un contrapeso colgado al lado del elevador. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas para Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Un elevador está unido al techo de un edificio solo por un solo cable, el cual está conectado por poleas a un contrapeso en su extremo libre.

Solución: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\). Fuente de YouTube: https://youtu.be/QWvh5wZt7jM.