10.1: Ecuaciones Impulso-Momento para una Partícula
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Los conceptos de impulso e impulso proporcionan un tercer método para resolver problemas cinéticos en la dinámica. Generalmente este método se llama Método Impulso-Momentum, y puede ser reducido a la idea de que el impulso ejercido sobre un cuerpo durante un tiempo dado será igual al cambio en el impulso de ese cuerpo. El impulso suele ser denotado por la variable\(J\) (que no debe confundirse con el momento polar de inercia, que también es J) y el impulso es la masa de un cuerpo multiplicada por su velocidad. Los impulsos y las velocidades son ambas cantidades vectoriales, dándonos la ecuación básica a continuación.
\[ \vec{J} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i \]
Para problemas bidimensionales, podemos romper la ecuación de un solo vector en dos componentes escalares para resolver. En este caso, simplemente necesitamos romper todas las fuerzas y velocidades en\(x\) y\(y\) componentes.
\[ J_x = m v_{f_x} - m v_{i_x} \]
\[ J_y = m v_{f_y} - m v_{i_y} \]
Impulso:
El concepto de impulso en su forma más básica es una fuerza integrada a lo largo de un tiempo. Para una fuerza con una magnitud constante, podemos encontrar la magnitud del impulso multiplicando la magnitud de la fuerza por el tiempo en que se ejerce esa fuerza. Si la fuerza no es constante, simplemente integramos la función force durante el periodo de tiempo establecido. La dirección del vector de impulso será la dirección del vector de fuerza y las unidades serán una fuerza veces por tiempo (Newton-segundos o libras-segundos, por ejemplo).
\ begin {align}\ text {Fuerza de Magnitud Constante:}\ quad &\,\ vec {J} =\ vec {F} * t\\\ text {Fuerza de Magnitud No Constante:}\ quad &\,\ vec {J} =\ int\ vec {F} (t)\, dt\ end {align}
En muchos casos, discutiremos las fuerzas impulsivas. Esta es una instancia en la que tenemos fuerzas muy grandes que actúan en un marco de tiempo muy corto. En casos de fuerzas impulsivas, a menudo es difícil medir la magnitud exacta de la fuerza o el tiempo. En estos casos sólo podremos deducir la magnitud del impulso en su conjunto a través del cambio observado en el impulso del cuerpo.
Momento:
El impulso de un cuerpo será igual a la masa del cuerpo multiplicada por su velocidad actual. Dado que la velocidad es un vector, el impulso también será un vector, teniendo tanto magnitud como dirección. A diferencia del impulso, que ocurre en algún tiempo establecido, el impulso se captura como una instantánea de un instante específico en el tiempo (generalmente justo antes y después de que se ejerza algún impulso). Las unidades para el impulso serán masa por unidad de distancia por unidad de tiempo. Esto suele ser kilogramos-metros por segundo en métricas, o slug feet por segundo en unidades inglesas.
Conservación del Momentum:
En instancias donde no hay impulso ejercido sobre un cuerpo, podemos usar la ecuación original para deducir que no habrá cambio en el impulso del cuerpo. En esta instancia, se conserva el impulso. Esto también se mantendrá para los sistemas de cuerpos, donde si no se ejercen impulsos externos sobre los cuerpos en un sistema, el impulso se conservará en su conjunto. Esta es la base de análisis para muchas colisiones, como se discute en los siguientes apartados.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Una pelota de tenis (0.06 kg) se sirve a un jugador de tenis a una velocidad de 10 m/s, luego el jugador devuelve la pelota a una velocidad de 36 m/s.
- ¿Cuál es el impulso que se ejerce sobre el balón?
- Si una cámara de alta velocidad revela que el impacto duró 0.02 segundos, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida sobre la pelota durante la colisión?
- Solución
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Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/WzD-ZyJy-T4.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Un avión con una masa de 80,000 kg viaja a una velocidad de 200 metros por segundo cuando los motores se cortan. Veinte segundos después, se nota que la velocidad ha bajado a 190 m/s Suponiendo que el avión no esté ganando o perdiendo altitud, ¿cuál es la fuerza promedio de arrastre en el avión?
- Solución
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Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/dzhIT3r3u3k.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
La siguiente gráfica muestra el empuje generado por el motor en un caza a reacción (masa de 2500 kg) a lo largo de diez segundos. Si el avión está partiendo del reposo en una pista, y la fricción y el arrastre son despreciables, determine la velocidad del avión al final de estos diez segundos.
- Solución
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Video\(\PageIndex{4}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{3}\), proporcionado por el Dr. Majid Chatsaz. Fuente de YouTube: https://youtu.be/XGxVjLa6wqQ.