2.9: Placas Circulares

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Es relativamente fácil derivar la ecuación de equilibrio de una placa circular a partir del principio del trabajo virtual. Las respuestas de flexión y en el plano se consideran por separado

\[\int_{R_1}^{R_2} (M_r \delta \kappa_r + M_{\theta} \delta \kappa_{\theta}) dr + \int_{R_1}^{R_2} p \delta w r dr + r \bar{M}_{r} \delta w^{\prime} |_{R_1}^{R_2} + r \bar{V}_{r} \delta w |_{R_1}^{R_2} \label{2.9.1}\]

donde las curvaturas radiales y circunferenciales y sus variaciones se definen (sin pruebas) por

\[\kappa_r = \frac{\partial^2 w}{\partial r^2}, \; \delta \kappa_r = \frac{\partial^2 (\delta w)}{\partial r^2}\]

\[\kappa_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial w}{\partial r}, \; \delta \kappa_{\theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial (\delta w)}{\partial r}\]

Integrando el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {2.9.1} por partes y usando argumentos similares como en el caso de una viga, se obtiene equilibrio:

\[ \frac{d}{dr}\left( r \frac{dM_r}{dr}\right) + \frac{dM_r}{dr} - \frac{dM_{\theta}}{dr} = pr\]

y condiciones de contorno

\[ (M_r - \bar{M}_r) \delta w^{\prime} = 0 \]

\[ (V_r - \bar{V}_r) \delta w = 0\]

donde

\[V_r = \frac{d}{dr}(rM_r)\]

Cuando\(R_1 = 0\), tenemos una placa circular. De lo contrario la placa es anular con el radio interior y exterior\(R_1\) y\(R_2\), respectivamente.

Cuando la placa circular se carga solo en la dirección en el plano, permanece plana y los componentes de las extensiones de superficie media y sus variaciones son

\[\epsilon_r^{\circ} = \frac{du_r}{dr}, \; \delta \epsilon_r^{\circ} = \frac{d}{dr} (\delta u_r)\]

\[\epsilon_{\theta}^{\circ} = \frac{u_r}{r}, \; \delta\epsilon_{\theta}^{\circ} = \frac{\delta u_r}{r}\]

El principio del trabajo virtual se puede establecer fácilmente en la forma

\[\int_{R_1}^{R_2} (N_r \delta \epsilon_r^{\circ} + N_{\theta} \delta \epsilon_{\theta}^{\circ} ) r dr = rN_r\delta u_r |_{R_1}^{R_2} \]

La ecuación de equilibrio en la dirección en el plano se deriva fácilmente integrando por partes

\[\frac{d}{dr} (rN_r) − N_{\theta} = 0 \]

sujeto a la condición de límite

\[(N_r − \bar{N}_r) \delta u_r |^{R_2}_{R_1} = 0\]

Tenga en cuenta que\(\bar{N}_{\theta}\) es cero en los límites, asegurando que no habrá fuerza de corte en el plano\(N_{r \theta}\) y que las fuerzas radiales y de la membrana circunferencial sean fuerzas principales.