2.8: Equilibrio de Placas Rectangulares

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Una derivación paso a paso de la ecuación de equilibrio y condiciones de límite para placas rectangulares se presenta en las notas de clase del curso 2.081 Placas y Conchas. Esta ecuación toma la siguiente forma en la notación tensora

\[M_{\alpha \beta,\alpha \beta} + p = 0 \]

y en la notación extendida

\[\frac{\partial^2 M_{xx}}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 M_{xy}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 M_{yy}}{\partial y^2} + p = 0 \label{3.82}\]

Recordemos que las dimensiones de los momentos de flexión en las placas son\([\text{Nm/m}] = [N ]\). En el caso de la flexión cilíndrica la torsión\(M_{xy}\) y\(M_{yy}\) se desvanecen. Multiplicando la ecuación\ ref {3.82} por el ancho\(b\), se obtiene

\[\frac{d^2}{dx^2} [bM_{xx}] + q = 0\]

que es idéntico al equilibrio de ecuación previamente derivado de un haz, Ecuación (2.6.20). Por lo tanto, las vigas anchas son una clase especial de placas rectangulares.

Las condiciones de contorno para las placas son similares a las de las vigas en el sistema de coordenadas local en los bordes\((n, t)\),, Figura (\(\PageIndex{1}\)).

2.8.1.png — Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema de coordenadas locales en el borde de la placa con fuerzas generalizadas aplicadas.

Por lo tanto, las ecuaciones (2.5.13-2.5.15) para vigas deben leer ahora

\[ (M_n - \bar{M}_n) \delta w^{\prime} = 0 \]

\[ (V_n - \bar{V}_n) \delta w = 0\]

\[ (N_n - \bar{N}_n) \delta u_n = 0\]

\[ (N_t - \bar{N}_t) \delta u_t = 0\]