3.7: Fórmula de Estrés para Placas

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\) En la sección sobre vigas, se demostró que el perfil de tensión axial se puede determinar a partir del momento de flexión conocido\(M\) y la fuerza axial\(N\), ver Ecuación (3.4.8). Se puede desarrollar un procedimiento similar para placas comparando las Ecuaciones (3.6.10-3.6.29) con la Ecuación (3.6.1). La curva tensión-deformación para la tensión plana se puede expresar en términos del tensor de deformación de superficie media\(\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ}\) y el tensor de curvatura\(\kappa_{\alpha \beta}\) combinando las ecuaciones (3.6.1) y (3.6.5).

\[\sigma_{\alpha \beta} = \frac{E}{1 − \nu^2} [(1 − \nu)\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ} + \nu\epsilon_{\gamma \gamma}^{\circ}\delta_{\alpha \beta}] \\ + \frac{E}{1 − \nu^2} [(1 − \nu)\kappa_{\alpha \beta} + \nu\kappa_{\gamma \gamma}\delta_{\alpha \beta}] z \]

De la relación momento-curvatura, Ecuación (3.6.10):

\[(1 − \nu)\kappa_{\alpha \beta} + \nu\kappa_{\gamma \gamma}\delta_{\alpha \beta} = \frac{M_{\alpha \beta}}{D}\]

Del mismo modo, de la Ecuación (3.6.24)

\[(1 − \nu)\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ} + \nu\epsilon_{\gamma \gamma}^{\circ}\delta_{\alpha \beta} = \frac{N_{\alpha \beta}}{C}\]

donde\(D = \frac{Eh^3}{12(1 − \nu^2)}\) esta la rigidez a la flexion, y\(C = \frac{Eh}{1 − \nu^2}\) es la rigidez axial de la placa.

Del sistema anterior, uno obtiene

\[\sigma_{\alpha \beta} = \frac{Ez}{1 − \nu^2} \frac{M_{\alpha \beta}}{D} + \frac{E}{1 − \nu^2} \frac{N_{\alpha \beta}}{C}\]

o utilizando las definiciones de\(D\) y\(C\)

\[\sigma_{\alpha \beta} = \frac{N_{\alpha \beta}}{h} + \frac{zM_{\alpha \beta}}{h^3/12}\]

La ecuación anterior es dimensionalmente correcta, ya que ambos\(N_{\alpha \beta}\) y\(M_{\alpha \beta}\) son cantidades respectivas por unidad de longitud. En particular, la tensión en el caso de flexión cilíndrica es

\[\sigma_{xx} = \frac{N_{xx}}{h} + \frac{zM_{xx}}{h^3/12}\]

Multiplicar tanto los numeradores como los denominadores de los dos términos anteriores por\(b\) rendimientos

\[\sigma_{xx} = \frac{N_{xx}b}{hb} + \frac{zM_{xx}b}{bh^3/12}\]

Ahora, observando que\(N_{xx}b = N\) es la fuerza axial del haz,\(bM_{xx} = M\) es el momento de flexión de la viga,\(hb = A\) es la sección transversal de la viga de sección rectangular, y\(\frac{bh^3}{12}\) es el momento de inercia, se obtiene la fórmula familiar de tensión del haz

\[\sigma = \frac{N}{A} + \frac{Mz}{I}\]