4.4: Condiciones de continuidad, un ejemplo

En la Sección 4.4 se formularon los requisitos de continuidad, pero no se resolvió el sistema de ocho ecuaciones algebraicas. Aquí se presentará una solución completa para una viga cargada por una fuerza puntual que actúa en una ubicación arbitraria\(x = a\).

Las fuerzas de reacción se calculan a partir del equilibrio de momento:

\[R_A = P \frac{l − a}{l}\]

\[R_B = P \frac{a}{l}\]

La suma de las fuerzas de reacción es igual a\(P\). Los momentos de flexión y las fuerzas de cizallamiento correspondientes son

\[M(x) = \begin{cases} R_Ax = \frac{P(l − a)x}{l}, \\ R_B(l-x) = \frac{Pa(l − x)}{l}, \end{cases}, \quad V (x) = \begin{cases} \frac{P(l − a)}{l}, & 0 < x < a \\ −\frac{P a}{l}, & a < x < l \end{cases} \label{4.4.3}\]

El salto en la fuerza cortante a través del punto de discontinuidad\(x = a\) es

\[[V] = V^+ − V^− = \frac{P(l − a)}{l} − (−\frac{P a}{l}) = P\]

Los momentos de flexión son continuos en ambos lados,\([M] = 0\). Por lo tanto, las condiciones de continuidad estática se satisfacen automáticamente en\(x = a\). Las condiciones de continuidad cinemática, formuladas en Ecuaciones (4.2.6-4.2.7) requieren que los desplazamientos y pendientes sean continuos. Integrar las ecuaciones gobernantes (4.3.1) con\ ref {4.4.3} en dos regiones da

\[−EIw^{\mathrm{I}} = \frac{P(l − a)x^3}{6l} + C_1x + C_2 \quad 0 < x < a\]

\[−EIw^{\mathrm{II}} = \frac{P a}{l} (\frac{lx^2}{2} − \frac{x^3}{6}) + C_3x + C_4 \quad a < x < l\]

Las cuatro constantes de integración se encuentran a partir de dos condiciones de límite y dos condiciones de continuidad

\[w(0) = w(l) = 0, \; w^{\mathrm{I}} (a) = w^{\mathrm{II}}(a), \; \left. \frac{dw^{\mathrm{I}}}{dx}\right|_{x=a} = \left. \frac{dw^{\mathrm{II}}}{dx}\right|_{x=a}\]

Esto da lugar al sistema de cuatro ecuaciones algebraicas lineales no homogéneas para\(C_1\),\(C_2\),\(C_3\), y\(C_4\)

\[\begin{cases} C_2 = 0 \\ \frac{Pal^2}{3} + C_3l + C_4 = 0 \\ \frac{Pba^3}{6l} + C_1a = \frac{Pa}{l} \left(\frac{la^2}{2} - \frac{a^3}{6} \right) + C_3a + C_4 \\ \frac{Pba^2}{2l} + C_1 = \frac{Pa}{l} \left(la - \frac{1}{2}a^2 \right) + C_3 \end{cases} \label{4.4.8}\]

Un problema sencillo ha llevado a un álgebra bastante complejo. Ahora bien, entiendes por qué el ejemplo anterior con ocho coeficientes desconocidos solo se formuló pero no se resolvió. La solución al sistema\ ref {4.4.8} es

\[C_1 = − \frac{P a(a^2 − 3al + 2l^2)}{6l}\]

\[C_2 = 0 \]

\[C_3 = -\frac{P a(a^2 + 2l^2)}{6l} \]

\[C_4 = \frac{P a^3}{6} \]

y la solución final del haz cargado asimétricamente es

\[w^{\mathrm{I}}(x) = \frac{P x [a^3 - 3a^2l - lx^2 + a(2l^2 + x^2)]}{6EIl} \quad 0 < x < a\]

\[w^{\mathrm{II}}(x) = - \frac{P a (l - x) [a^2 + x(-2l + x)]}{6EIl} \quad a < x < l \]

Se puede verificar fácilmente que las condiciones de continuidad se cumplen en\(x = a\). El ejemplo anterior nos enseña que la simetría en la naturaleza y la ingeniería no sólo significa belleza, sino que también aporta simplicidad.