5.5: Generalización a problemas arbitrarios no lineales en placas y conchas

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La sección anterior se sintió con la aplicación del método Galerkin para resolver la ecuación diferencial ordinaria no lineal para la respuesta de flexión/membrana de haces. El nombre de Galerkin está siempre unido a la solución analítica o numérica de la ecuación diferencial parcial, como describir la respuesta de placas y conchas. En la literatura a menudo encontrarás expresiones como el método Galerkin-Bubnov, el método Petrov-Galerkin, el método Galerkin discontinuo o el método residual ponderado. La esencia de este método se esboza a continuación.

Denotar por\(F(w, \boldsymbol{x})\) el operador no lineal (el lado izquierdo de la ecuación diferencial parcial) se define sobre un cierto dominio fijo en el espacio 2-D\(S\). Ahora, se hace una distinción entre la solución exacta\(w^* (\boldsymbol{x})\) y la solución aproximada\(w(\boldsymbol{x})\). La solución aproximada a menudo se conoce como una función de prueba. La solución exacta hace que el operador\(F\) se desvanezca

\[F(w^*, \boldsymbol{x}) = 0\]

La solución aproximada no satisface exactamente la ecuación gobernante, así que en lugar de cero, hay un residuo en la mano derecha de la Ecuación\ ref {6.55}

\[F(w, \boldsymbol{x}) = R(\boldsymbol{x}) \label{6.55}\]

El residuo puede ser positivo sobre parte\(S\) y negativo en otros lugares. Si es así, podemos imponer una condición más débil sobre la que el residuo se convierta en cero “en promedio”\(S\), cuando se multiplique por una función de ponderación\(w(\boldsymbol{x})\)

\[\int_{S} R(\boldsymbol{x})w(\boldsymbol{x}) dS = 0 \label{6.56}\]

Matemáticamente decimos que estas dos funciones son ortogonales. En general, también hay términos límite en la formulación de Galerkin. Por ejemplo, en la teoría de la desviación moderadamente grande de las placas, la ecuación\ ref {6.56} toma la forma

\[\int_{S} (D\nabla^4w − N_{\alpha \beta}w_{,\alpha \beta})w dS = 0 \label{6.57}\]

La contraparte de la Ecuación\ ref {6.57} en la teoría de la desviación moderadamente grande de haces es la Ecuación (5.4.7) que se resolvió en la sección anterior de las notas. La solución de ecuaciones diferenciales parciales para problemas tanto lineales como no lineales está ampliamente cubierta en libros de texto sobre el método de elementos finitos y, por lo tanto, no se cubrirá aquí.