5.4: Método Galerkin para resolver ecuaciones diferenciales no lineales

Beris Galerkin, científico, matemático e ingeniero ruso estuvo activo en los primeros cuarenta oídos del siglo XX. Es un ejemplo de profesor universitario que aplicó métodos de mecánica estructural para resolver problemas de ingeniería. En ese momento (Primera Guerra Mundial), el problema sin resolver eran las deflexiones moderadamente grandes de las placas. En 1915, desarrolló un método aproximado para resolver el problema anterior y al hacerlo hizo una contribución importante y eterna a la mecánica.

El fundamento teórico del método Galerkin se remonta al Principio de Trabajo Virtual. Ilustraremos su idea sobre el ejemplo de la teoría moderadamente grande de las vigas. Si volvemos al Capítulo 2 y seguimos la derivación de las ecuaciones de equilibrio a partir del principio variacional, la llamada forma “débil” del equilibrio viene dada por la Ecuación (2.5.10). Añadiendo el término no lineal que representa la contribución de rotaciones finitas, esta ecuación se puede reescribir como

\[\int_{0}^{l} (M^{\prime\prime} + N^{\prime\prime} + q) \delta w dx + \int_{0}^{l} N^{\prime} \delta u dx + \text{ Boundary terms}\]

donde

\[M = −EIw^{\prime\prime}\]

\[N = EA[u^{\prime} + \frac{1}{2}(w^{\prime})^2]\]

Del equilibrio débil (global) se puede derivar el equilibrio fuerte (local) considerando una clase infinita de variaciones. Pero, ¿qué pasa si, en lugar de una “clase”, consideramos solo una variación específica (forma) que satisface las condiciones de contorno cinemático? El equilibrio será violado localmente, pero puede satisfacerse globalmente en promedio

\[\int_{0}^{l} \left[ −EIw^{\mathrm{IV}} + EA \left( u^{\prime} + \frac{1}{2}(w^{\prime})^2 w^{\prime\prime} + q \right) \right] \delta w dx = 0 \label{6.45}\]

Considere el ejemplo de una viga simplemente soportada, restringida del movimiento axial. La solución exacta de este problema para la distribución sinusoidal de la carga se dio en la sección anterior. Supongamos ahora que la misma viga está cargada por una carga lineal uniforme\(q(x) = q\). No existe una solución exacta de este problema.

Resolvamos este problema aproximadamente por medio del método Galerkin. Como una forma desviada aproximada de ensayo, tomamos la misma forma que se encontró como una solución particular de la ecuación completa

\[w(x) = C \sin \frac{\pi x}{l}\]

\[\delta w(x) = \delta C \sin \frac{\pi x}{l}\]

Con la condición de extremos de fijación en la dirección axial,\(u = u^{\prime} = 0\), y Ecuación\ ref {6.45} rendimientos

\[\delta C \int_{0}^{l} \left[ −EIw^{\mathrm{IV}} + \frac{EA}{2}(w^{\prime})^2 w^{\prime\prime} + q \right] \sin \frac{\pi x}{l} dx = 0 \]

Evaluando las derivadas e integrando, se obtiene la siguiente expresión

\[\frac{l}{2} C + \frac{l}{8}\frac{C^3A}{2I} - \frac{q_1}{EI(\frac{\pi}{l})^4\pi}\frac{2l}{\pi} = 0\]

Después de la reorganización, la amplitud de deflexión adimensional\(\frac{C}{h} = \frac{w_o}{h}\) se relaciona con el resto

\[\frac{w_o}{h} + \frac{3}{2}\left( \frac{w_o}{h}\right)^3 = \left(\frac{q_1}{EI}\right) \frac{48}{\pi^5}\left(\frac{l}{h}\right)^4 \label{6.49}\]

La ecuación cúbica anterior tiene una solución simple.

Discutamos los dos casos limitantes. Sin el término no lineal, la ecuación\ ref {6.49} predice la siguiente deflexión de la viga bajo acción de flexión pura para la sección cuadrada

\[\frac{w_o}{h} = \left(\frac{q_1}{Eh}\right)\frac{48}{\pi^5} \left(\frac{l}{h}\right)^4\]

En la solución exacta del mismo problema, el coeficiente numérico es\(\frac{60}{384} = \frac{1}{6.4}\), que es sólo 1.5% menor que la solución aproximada actual\(\frac{48}{\pi^5} = \frac{1}{6.3}\). Si por otro lado la resistencia a la flexión es pequeña\(EI \rightarrow 0\), el primer término en la Ecuación\ ref {6.49} desaparece dando una relación cúbica carga-deflexión

\[\left( \frac{w_o}{h}\right)^3 = \frac{32}{\pi^5}\left(\frac{q_1}{EI}\right) \left(\frac{l}{h}\right)^4\]

No existe una solución de forma cerrada para la respuesta de membrana pura de la viga bajo presión uniforme. Sin embargo, la presente predicción se compara favorablemente con la Ecuación (5.3.28) para la deflexión moderadamente grande, si la carga total bajo la presión uniforme y sinusoidal es la misma

\[P = q_1l = q_o \int_{0}^{l} \sin \frac{\pi x}{l} dx = q_o \frac{2 l}{\pi}\]

Sustituyendo\(q_1\) por\(\frac{2}{\pi}q_o\), la solución de membrana pura toma la forma final

\[\left( \frac{w_o}{h}\right)^3 = \frac{6.4}{\pi^4}\left(\frac{q_o}{Eh}\right) \left(\frac{l}{h}\right)^4 \label{6.53}\]

Se puede ver que no sólo la forma adimensional de las soluciones exactas y aproximadas son idénticas, sino que también el coeficiente 6.4 en la Ecuación\ ref {6.53} es del mismo orden que el coeficiente 4 en la Ecuación (5.3.29).