6.3: Equivalencia de Placas Cuadradas y Circulares

En la sección del Capítulo 6 sobre placas rigidizadas, se aprovechó la analogía entre la respuesta de las placas circulares y cuadradas para demostrar la efectividad de los rigidizadores. Se afirmó que la rigidez de estos dos tipos de placas es similar si la superficie arial era idéntica. Ahora estamos en condiciones de evaluar la exactitud de la aseveración anterior.

Considera una placa cuadrada sujeta\(2a \times 2a\), uniformemente cargada por la presión\(p_o\). La energía potencial total del sistema\(\prod\) es

\[\prod = \frac{D}{2} \int_{S} [(\kappa_x^2 + \kappa_y^2) + 2(1 − \nu)\kappa_G] ds − \int_{S} −q_ow ds\]

Se puede mostrar (Shames & Dign 1985) que para las condiciones de límite completamente afianzadas, la integral de la curvatura gaussiana se\(\kappa_G\) desvanece. La expresión de\(\prod\) simplifica a

\[\prod = \frac{D}{2} \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \left[ \frac{d^2w}{dx^2} + \frac{d^2w}{dy^2} \right] dx dy − a^2 q \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} w dx dy \label{7.37}\]

Por simplicidad solo se considera una cuarta parte de la placa con el origen en el centro de la placa. Como una forma de deflexión de prueba, asumimos

\[w(x, y) = C(x^2 − a^2 )^2 (y^2 − a^2 )^2 \label{7.38a}\]

\[\frac{dw}{dx} = C2(x^2 − a^2 )2x(y^2 − a^2 )^2 \]

\[\frac{dw}{dy} = C(x^2 − a^2 )^2 2(y^2 − a^2 )2y \label{7.38c}\]

Se observa que tanto las deflexiones como las pendientes son cero en el límite sujeto. Además, las pendientes en el centro de la placa se\(x = y = 0\) desvanece, como deberían debido a la simetría. La amplitud máxima está en el centro y es igual a\(Ca^8 = w_o\). Así, las condiciones de límite cinemáticas se satisfacen de manera idéntica para cualquier valor de la constante desconocida\(C\). Sustituyendo la expresión\ ref {7.38a} -\ ref {7.38c} en Ecuación\ ref {7.37} y realizando rendimientos de integración

\[\prod = 9a^4DC^2 − 0.384q_oC\]

Según el método de Ritz, se mantiene el equilibrio si

\[\delta \prod = \frac{\partial \prod}{\partial C} \delta C = 0 \]

Esto significa que para una intensidad de carga dada y la función de forma normalizada supuesta, la amplitud de deflexión verdadera se elige por la condición

\[\frac{\partial \prod}{\partial C} = 0 \quad \text{ or } \quad 18a^4DC − 0.383q_o = 0 \]

Habiendo encontrado la amplitud\(C\), la relación carga-desplazamiento de la placa cuadrada se convierte

\[w_o = \frac{p_oa^4}{47D} \label{7.42}\]

La solución correspondiente para la placa circular sujeta es

\[w_o = \frac{p_oR^4}{64D}\]

Las rigideces de ambas placas son idénticas si\(\frac{R^4}{64} = \frac{a^4}{47}\) o si\(a = 0.92R\). La equivalencia de área\(4a^2 = \pi R^2\) da un resultado similar\(a = 0.88R\). Por simplicidad en el análisis cualitativo a lo largo de las notas de la presente conferencia se puede asumir aproximadamente\(a = R\). La diferencia entre la solución exacta y aproximada del área y la equivalencia de rigidez sí existe, pero es pequeña. Es interesante que la solución aproximada obtenida por el método Ritz esté muy cerca de la solución de serie exacta donde el coeficiente 47 en la Ecuación\ ref {7.42} debe ser reemplazado por 49.5.