6.2: Base de dislocación de rendimiento y fluencia

Introducción

Los tratamientos fenomenológicos como los descritos en el Módulo sobre Rendimiento y Flujo de Plástico (Módulo 20) son muy útiles para las predicciones de ingeniería, pero proporcionan una visión limitada de los mecanismos moleculares subyacentes al rendimiento. La comprensión molecular es un mayor nivel de conocimiento, y también guía los ajustes de procesamiento que pueden optimizar el material. Como se discutió en el Módulo sobre Atomística de Elasticidad (Módulo 2), el alto nivel de orden presente en los materiales cristalinos conduce a buenos modelos atomísticos para la rigidez. Los primeros trabajadores buscaron naturalmente un tratamiento atomístico del proceso de rendimiento también. Esto resultó ser un problema mucho más sutil de lo que podría haberse anticipado, y requirió plantear la hipótesis de un tipo de defecto cristalino —la “dislocación ”— para explicar los resultados observados experimentalmente. La teoría de la dislocación permite una valiosa comprensión intuitiva del rendimiento en materiales cristalinos y explica cómo se puede controlar el rendimiento mediante aleación y tratamiento térmico. Es uno de los principales triunfos del último siglo de la ciencia de los materiales.

Fuerza de fluencia teórica

En rendimiento, los átomos se deslizan tangencialmente de una posición de equilibrio a otra. Las fuerzas requeridas para lograr esto vienen dadas por la función de energía de enlace, que es la curva anarmónica resultante del equilibrio de fuerzas atómicas atractivas y repulsivas descritas en el Módulo 2. La fuerza necesaria para desplazar el átomo del equilibrio es la derivada de la función energética, siendo cero en la posición de equilibrio (Figura 1). Como suposición simplificadora, aproximemos la función de fuerza con una expresión armónica, y escribamos

\(\tau = \tau_{\max} \sin (2\pi \dfrac{x}{a})\)

donde\(a\) está el espaciamiento interatómico. El esfuerzo alcanza un máximo de una cuarta parte de la distancia entre las dos posiciones, cayendo a cero en la posición metaestable a medio camino entre ellas. Después de eso, el estrés cambia de signo, lo que significa que se requiere fuerza para retener al átomo mientras trata de caer hacia la nueva posición de equilibrio. Usando\(\gamma = x/a\) como la deformación cortante, la tensión cortante máxima se\(τ_{max}\) puede relacionar con el módulo de cizallamiento\(G\) como

\(\dfrac{d\tau}{d\gamma} = \dfrac{d\tau}{dx}\dfrac{dx}{d\gamma} = a \dfrac{d\tau}{dx} = a \tau_{\max} \dfrac{2\pi}{a} \cos \dfrac{2\pi x}{a}\)

Figura 1: Funciones de energía atomística y estrés.

\(G = \dfrac{d\tau}{d\gamma}|_{\gamma \to 0} = \tau_{\max} \cdot 2 \pi\)

Esto implica un esfuerzo cortante al rendimiento de\(\tau_{\max} = G/2\pi \approx G/10\), que sería del orden de 10 GPa. Los valores medidos son 10—100 MPa, por lo que el valor teórico es de 2 a 3 órdenes de magnitud demasiado grande. Derivaciones más elaboradas dan un valor algo menor para el límite de fluencia teórico, pero aún mucho mayor que lo que se observa experimentalmente.

Borde, tornillo y dislocaciones mixtas

Taylor, Polyani y Orowan propusieron independientemente una justificación para los valores experimentales aparentemente bajos para los límites de elasticidad de materiales cristalinos en 1934. Estos trabajadores se dieron cuenta de que no era necesario deslizarse planos enteros de átomos unos a otros para deformar el material plásticamente, proceso que requeriría romper todos los enlaces que conectaban los planos simultáneamente. El estrés necesario para hacer esto sería muy alto, del orden de\(G/10\) como se ha descrito anteriormente. Pero no es necesario mover todos los átomos a la vez; solo unos pocos a la vez necesitan moverse, requiriendo un estrés mucho menor. Análogamente a la forma en que se mueve una lombriz, solo aquellos átomos que se encuentran en un plano por encima de una sola línea podrían ser desplazados un espaciado atómico. Esto obligaría al plano de átomos previamente allí a una posición intermedia como se muestra en la Figura 2, creando un plano “extra” de átomos a medio camino entre las posiciones de equilibrio normales. La terminación de este plano constituye entonces un defecto de línea en el cristal conocido como dislocación (Para una discusión extendida de los aspectos geométricos de las dislocaciones cristalinas, véase S.M. Allen y E.L. Thomas, The Structure of Materials, John Wiley & Sons, Nueva York, 1999.).

Figura 2: La dislocación del borde

Visto de extremo como se ve en la Figura 3, se puede apreciar que el plano extra de átomos crea una región de compresión cerca del plano pero por encima de la línea de dislocación, y una región de tracción debajo de él. En un cristal “blando” cuyos enlaces interatómicos son relativamente conformes, la distorsión se extiende una distancia apreciable desde la dislocación. Por el contrario, en los cristales “duros” con enlaces más rígidos la distorsión se limita a una región más pequeña cerca de la dislocación. Los metales cúbicos (fcc) centrados en la cara como el cobre y el oro tienen planos muy empaquetados (aquellos con (111) índices Miller), lo que corresponde a grandes distancias entre esos planos. Esto da lugar a enlaces interplanares relativamente blandos, de manera que el ancho de dislocación es grande. El ancho de dislocación es sustancialmente menor en los metales cúbicos centrados en el cuerpo (bcc) como el hierro y el acero, más pequeño aún en las cerámicas unidas iónicamente, e incluso más pequeño en las cerámicas unidas covalentemente.

Figura 3: Movimiento de dislocación.

La dislocación asociada a este plano extra de átomos se puede mover fácilmente, ya que solo se requiere un pequeño ajuste de posición para romper los enlaces en el siguiente plano y permitir que se formen en el plano originalmente “extra”. Ahora el tercer plano es el extra, y la dislocación se habrá movido en una posición atómica. El deslizamiento obviamente se hace mucho más fácil si el movimiento de dislocación está disponible para el material. De hecho, primero parece que el concepto de dislocación hace un trabajo demasiado bueno al explicar la plasticidad cristalina, ya que la luxación se encuentra en una posición metaestable equilibrada y debe ser capaz de ser movida ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha con una fuerza que desaparece. Si esto fuera cierto, el cristal esencialmente no tendría resistencia al cizallamiento.

Sin embargo, a medida que la dislocación se mueve arrastra con ella las regiones de distorsión compresiva y de tracción en la celosía que la rodea. Esto va acompañado de una especie de arrastre friccional, dando lugar a una resistencia al movimiento de dislocación conocida como la fuerza Peierls. Esta fuerza depende de factores tales como el tipo de cristal y la temperatura, y esto juega un papel importante en la determinación del límite elástico del material. Como se ve en el Cuadro 1, los materiales con dislocaciones amplias tienen fuerzas Peierls bajas, ya que la distorsión se extiende sobre un gran volumen y es mucho menos intensa en su núcleo.

El Cuadro 1 también indica que el efecto de la temperatura sobre la fuerza de los Peierls es bajo para materiales fcc que tienen dislocaciones amplias, y esto da como resultado una pequeña dependencia de la temperatura del límite elástico. Por el contrario, los materiales con campos de dislocación estrechos e intensos tienen altas fuerzas de Peierls con una gran sensibilidad a la temperatura del límite elástico, con temperaturas más altas facilitando la movilidad de la dislocación y reduciendo así el límite elástico. Entre las consecuencias importantes de estos factores se encuentra la peligrosa tendencia del acero a volverse quebradizo a bajas temperaturas; a medida que se baja la temperatura, el límite elástico puede elevarse a niveles tan altos que interviene la fractura quebradiza.

Cuadro 1: Relación entre el ancho de dislocación y la sensibilidad a la temperatura del límite elástico (de R.W. Hertzberg, Deformación y Fractura Mecánica de Materiales de Ingeniería, John Wiley & Sons, 1976).

Material	Tipo de Cristal	Ancho de dislocación	Estrés Peierls	Sensibilidad a la temperatura del límite
Metal	fcc	ancho	muy pequeño	despreciable
Metal	bcc	estrecho	moderado	fuerte
Cerámica	iónico	estrecho	grande	fuerte
Cerámica	covalente	muy estrecho	muy grande	fuerte

Las dislocaciones pueden tener geometrías distintas de la simple dislocación de borde que se muestra en la Figura 3. Se proporciona una vista más general al considerar desplazar una porción de los átomos en un “plano de deslizamiento”\(acfg\) una distancia\(\bar{b}\), como se muestra en la Figura 4. El vector\(\bar{b}\) es también una medida de la magnitud y dirección de la dislocación cristalina, y se conoce como el vector de Burger. El límite entre los átomos deslizados y no deslizados en el plano de deslizamiento es la línea de dislocación, que se muestra como una línea punteada. En la posición\(e\), la línea de dislocación es perpendicular al vector de Burger, por lo que estas dos cantidades se encuentran en el plano de deslizamiento. Una dislocación así situada se denomina dislocación de borde, y se restringe a moverse solo en el plano de deslizamiento definido por la línea de dislocación y el vector de Burger.

Figura 4: La luxación mixta.

En la posición\(b\), se forma un defecto en forma de espiral de tal manera que un tránsito circular alrededor de la línea de dislocación termina en un plano a una\(\bar{b}\) distancia del punto de partida. Ahora el defecto se conoce como una dislocación de tornillo. La línea de dislocación ahora es paralela al vector de Burger, por lo que estas dos cantidades no definen un plano de deslizamiento único como lo hace una dislocación de borde. Por lo tanto, una dislocación de tornillo puede deslizarse hacia otro plano de fácil deslizamiento que pasa a través de la línea de dislocación, y este mecanismo permite que las dislocaciones de tornillo maniobren alrededor de obstáculos que de otro modo podrían impedir su movimiento. Las dislocaciones de borde son más fáciles de fijar, ya que deben “trepar” por difusión de vacantes para superar obstáculos como se ilustra en la Figura 5.

A medida que la línea de dislocación curva se recorre de un punto\(b\) a otro\(e\), la dislocación cambia gradualmente de un carácter de tornillo a borde. En puntos intermedios la dislocación tiene carácter tanto de borde como de tornillo, y se conoce como dislocación mixta.

Figura 5: Subida de dislocación por difusión de vacantes.

Rendimiento controlado por dislocación

Los cristales individuales tienden a deslizarse en sus planos más estrechamente empaquetados, y en direcciones de distancia mínima de separación atómica. Las distancias entre los planos son máximas para los planos bien empaquetados, por lo que estos son los que están más ligados. El deslizamiento en direcciones compactas minimiza la distancia que las tensiones necesitan para desplazar los átomos deslizantes. Ambos actúan para minimizar la energía necesaria para el deslizamiento. Hay 12 sistemas de deslizamiento de este tipo en los sistemas cúbicos (fcc) centrados en la cara; usando índices Miller, estos son los planos {111} y las\(\langle 110 \rangle\) direcciones. Hay 4 planos independientes no paralelos (111), y 3 direcciones independientes [110] en cada plano.

Cuadro 2: Esfuerzo de cizallamiento crítico Resuelto para monocristales de diversos materiales.

Material	tipo de cristal	sistema de deslizamiento	\(\tau_{crss}\), MPa
Níquel	fcc	{111}\(\langle 110 \rangle\)	\ (\ tau_ {crss}\), MPa">5.7
Cobre	fcc	{111}\(\langle 110 \rangle\)	\ (\ tau_ {crss}\), MPa">0.98
Oro	fcc	{111}\(\langle 110 \rangle\)	\ (\ tau_ {crss}\), MPa">0.90
Plata	fcc	{111}\(\langle 110 \rangle\)	\ (\ tau_ {crss}\), MPa">0.60
Magnesio	hcp	{1101}\(\langle 001 \rangle\)	\ (\ tau_ {crss}\), MPa">0.81
NaCl	cúbico	{110}\(\langle 110 \rangle\)	\ (\ tau_ {crss}\), MPa">0.75

El deslizamiento ocurre cuando el esfuerzo cortante en el plano de deslizamiento, y en la dirección de deslizamiento, alcanza un valor\(\tau_{crss}\), el esfuerzo cortante resuelto crítico; los valores experimentales para\(\tau_{crss}\) se enumeran en la Tabla 2 para una serie de materiales monocristalinos. La tensión cortante resuelta correspondiente a un estado de tensión arbitraria se puede calcular utilizando las relaciones de transformación del Módulo 10. En una simple prueba de tensión se puede escribir mediante inspección de la Figura 6 como

\(\tau_{rss} = \dfrac{P \cos \theta}{A_s} = \dfrac{P \cos \theta}{A_0/\cos \phi} = \sigma (\cos \theta \cos \phi) \equiv \dfrac{\sigma}{m}\)

donde\(m\) es un factor de estructura dependiente de la orientación del sistema de deslizamiento en relación con la tensión de tracción aplicada. Para cristales individuales de alineación arbitraria, el límite elástico será entonces de la forma

\[\sigma_Y = \tau_{crss} \cdot m\]

Esto se conoce como “Ley de Schmid”, y\(m\) es el “factor Schmid”.

Figura 6: Esfuerzo de cizallamiento crítico resuelto.

El límite elástico generalmente será mayor en materiales policristalinos, ya que muchos de los granos estarán orientados desfavorablemente (tienen altos factores Schmid). La ecuación 6.2.1 puede modificarse para sistemas policristalinos como

\(\sigma_Y = \tau_{crss} \cdot \bar{m}\)

donde\(\bar{m}\) es un factor Schmid equivalente que generalmente es algo mayor que un promedio simple sobre todos los granos individuales; para sistemas fcc y bcc\(\bar{m} \approx 3\).

Energía de tensión en dislocaciones

Muchos cálculos en la mecánica de dislocación se hacen más fácilmente con conceptos energéticos que con enfoques newtonianos de fuerza-desplazamiento. Como se ve en la Figura 7, la deformación cortante asociada con una dislocación de tornillo es la deflexión\(\bar{b}\) dividida por la circunferencia de una trayectoria circular alrededor del núcleo de dislocación:

\[\gamma = \dfrac{\bar{b}}{2\pi r}\]

donde\(r\) está la distancia desde el núcleo de la dislocación.

Figura 7: Esfuerzo cortante asociado a una dislocación de tornillo.

Suponiendo elasticidad Hookean, la energía de deformación correspondiente por unidad de volumen es

\(U = \int \tau d \gamma = \dfrac{1}{2} r \gamma = \dfrac{G\gamma^2}{2} = \dfrac{G \bar{b}^2}{8\pi^2 r^2}\)

La energía de deformación total asociada con la dislocación del tornillo se obtiene ahora integrando esta sobre el volumen alrededor de la dislocación:

\(U_{screw} = \int U\ dV = l \cdot \int_{r_0}^{r} \dfrac{G \bar{b}^2}{8\pi^2 r^2} 2 \pi r \ dr\)

donde aquí\(l\) está la longitud de la línea de dislocación y\(r_0\) es el radio del “núcleo” de dislocación dentro del cual se descuida la energía. (Matemáticamente, la densidad de energía aumenta sin atarse dentro del núcleo; sin embargo, su volumen se vuelve muy pequeño). Tomando\(l = 1\) para obtener energía por unidad de longitud y llevar a cabo la integración,

\[U_{screw} = \dfrac{G \bar{b}^2}{4\pi} \ln \dfrac{r}{r_0} \approx G \bar{b}^2\]

Esta última aproximación debe leerse “escalas como”, ya que es arbitrario seleccionar el valor limitante\(r\) para que\(\ln \dfrac{r}{r_0} \approx 4\pi\). La conclusión importante es que la energía de dislocación aumenta linealmente con el módulo de cizallamiento\(G\) y cuadráticamente con el vector de Burger\(\bar{b}\). Se puede obtener una expresión similar para la energía de deformación por unidad de longitud de dislocación de borde; se puede demostrar que

\[U_{edge} = \dfrac{G \bar{b}^2}{1 - v}\]

donde\(v\) está la proporción de Poisson.

La energía de dislocación representa un incremento en la energía total del sistema, que el material intentará eliminar si es posible. Por ejemplo, dos dislocaciones de signo opuesto serán atraídas entre sí, ya que sus campos de tensión tenderán a cancelar y bajar la energía. Por el contrario, dos dislocaciones de un mismo signo se repelerán entre sí. La fuerza de esta atracción o repulsión escalará como

\(F\ dr = dU \Rightarrow F_{screw} \approx \dfrac{G\bar{b}^2}{r}\)

donde aquí\(r\) está la distancia entre las dislocaciones.

Movimiento de dislocación y endurecimiento

La ductilidad de los materiales cristalinos está determinada por la movilidad de la dislocación, y los factores que impiden el movimiento de la dislocación pueden producir aumentos dramáticos en el límite elástico del material. Esta mayor resistencia al flujo de plástico también eleva la dureza de indentación del material, por lo que el fortalecimiento de este tipo se conoce como endurecimiento. Los elementos de aleación, los límites de grano e incluso las propias dislocaciones pueden proporcionar este impedimento, y estos proporcionan los medios por los cuales el tecnólogo de materiales controla el rendimiento. Un tratamiento minucioso de estos importantes conceptos debe dejarse a sujetos de metalurgia física, pero los siguientes párrafos proporcionarán una breve introducción a algunos de ellos.

Cuando una dislocación, moviéndose sobre su plano de deslizamiento bajo la influencia de una tensión cortante impulsora, pasa a través de otra, se creará un “trote” en la segunda dislocación como se muestra en la Figura 8.

Figura 8: Un trote de luxación.

La porción de la línea de dislocación en el trote ya no está en su plano de deslizamiento original, y está “anclada” en posición. Si la concentración de dislocación es grande, estos trotes se convierten en un poderoso impedimento para el flujo de plástico por el movimiento de dislocación. Paradójicamente, las mismas dislocaciones que permiten el flujo de plástico en primer lugar pueden impedirlo si se vuelven demasiado numerosas.

Figura 9: Inflexión de luxación.

Cuando una dislocación en movimiento se fija por trotes u otros impedimentos, el esfuerzo cortante\(\tau\) que había estado impulsando la dislocación ahora hace que el segmento de línea entre los obstáculos se incline hacia adelante como se muestra en la Figura 9, con un ángulo\(\phi\) entre segmentos adyacentes. La longitud extra de la línea arqueada representa un aumento en la energía de deformación de la dislocación, y si el esfuerzo cortante no estuviera presente, la línea se enderezaría para reducir esta energía. La línea actúa de manera similar a una banda elástica, con una “tensión de línea”\(T\) que actúa para devolver la línea a una trayectoria recta de menor distancia entre puntos de fijación. Las unidades de energía de dislocación por unidad de longitud (N-m/m) son las mismas que la tensión simple, y podemos escribir

\(T = \dfrac{\partial E}{\partial l} \approx Gb^2\)

Figura 10: Equilibrio de fuerzas en el segmento de dislocación.

Como se muestra en la Figura 10, un diagrama de cuerpo libre del segmento de línea entre dos puntos de fijación proporciona un equilibrio de fuerzas de la forma

\(2 T \sin \dfrac{d \theta}{2} = r \bar{b} \cdot r \ d\theta\)

donde aquí\(r\) está el radio de curvatura de la línea (no la distancia desde la dislocación, como en la Ecuación 6.2.2). Reorganizar y cancelar el\(d \theta\) factor,

\[r = \dfrac{G \bar{b}}{r}\]

Esta relación da la curvatura de la dislocación en términos del esfuerzo cortante que actúa sobre ella. El esfuerzo cortante máximo es el necesario para doblar la dislocación en un semicírculo (el más pequeño\(r\)), después de lo cual la dislocación se expande espontáneamente. Cuando los bucles se encuentran, la aniquilación ocurre en ese punto, generando una nueva línea de dislocación incrustada en un bucle circular. El proceso también se puede repetir con la nueva luxación, y por este mecanismo se puede generar un gran número de dislocaciones como se muestra en la Figura 11. Esta es la fuente “Frank-Read”, y es un medio importante por el cual las dislocaciones pueden multiplicarse durante la deformación plástica. El creciente número de dislocaciones conduce a cada vez más enredos, con trotes que actúan como puntos de fijación.

Figura 11: La fuente de dislocación Frank-Read.

La ecuación 6.2.5 también proporciona una estimación de la influencia de la densidad de dislocación en el límite elástico. Si los obstáculos que fijan el movimiento de dislocación son “suaves”, la dislocación podrá superarlos a una tensión de conducción relativamente baja, correspondiente a un ángulo crítico bajo\(\phi_c\). Pero a medida que el obstáculo se vuelve “más duro”, es decir, proporciona más resistencia al movimiento de dislocación, el ángulo se acerca a cero y el radio de curvatura se vuelve del orden del espaciamiento entre obstáculos\(L\). El esfuerzo cortante necesario para superar tales obstáculos es entonces

\(\tau \approx \dfrac{G\bar{b}}{L}\)

Cuando los obstáculos duros surgen de trotes creados por intersecciones con otras dislocaciones, el espaciamiento entre obstáculos se\(L\) puede escribir en términos de la densidad de dislocación. Si el número de dislocaciones que pasan por una unidad de área es\(\rho\), el número de dislocaciones encontradas al moverse a lo largo de una línea recta será proporcional a\(\sqrt{\rho}\). El espaciamiento entre ellos es proporcional al recíproco de esto, entonces\(\tau \propto G\bar{b} \sqrt{\rho}\). El límite elástico es entonces el estrés\(\tau_0\) necesario para mover las dislocaciones en ausencia de dislocaciones interferentes, más el necesario para romper los obstáculos; esto puede escribirse como

\[\tau_{\Gamma} = \tau_0 + AG\bar{b} \sqrt{\rho}\]

donde\(A\) es una constante que se ha encontrado que varía entre 0.3 y 0.6 para un número de metales fcc, bcc y policristalinos así como algunos cristales iónicos. La corroboración experimental de esta relación se proporciona en la Figura 12.

Por lo tanto, la acción del flujo de plástico crea nuevas dislocaciones por Frank-Read y otras fuentes, lo que hace que el material sea cada vez más duro, es decir, cada vez más resistente al flujo de plástico adicional

Figura 12: Efecto de la densidad de dislocación\(\rho\) sobre el esfuerzo cortante resuelto crítico (para monocristales y policristalinos de cobre, de T.H. Courtney, Mechanical Behavior of Materials, McGraw-Hill, 1990).

Finalmente, el límite elástico para la deformación continua se vuelve más grande que el esfuerzo de fractura, y el material ahora se romperá antes de que se deforme aún más. Si se desea continuar el trabajo del material, se debe reducir el número de dislocaciones, por ejemplo mediante recocido térmico. El recocido puede producir recuperación (ascenso de dislocación alrededor de obstáculos por difusión de vacantes) o recristalización de nuevos granos libres de dislocación.

Los límites de grano actúan para impedir el movimiento de dislocación, ya que los sistemas de deslizamiento en los granos adyacentes generalmente no se alinean; los aumentos en el límite elástico que surgen de este mecanismo se denominan fortalecimiento de límites. Los metales de grano fino tienen mayor área límite de grano y, por lo tanto, tienen mayores límites de rendimiento que los de grano grueso. La influencia del tamaño de grano a menudo puede describirse mediante la fórmula Hal-Petch

\[\sigma_Y = \sigma_0 + k_Y d^{-1/2}\]

donde\(\sigma_0\) es el esfuerzo de fricción de celosía necesario para mover las dislocaciones y\(K\) es una constante. Esta relación es esencialmente empírica, pero se puede racionalizar viendo el segundo término como relacionado con el estrés necesario para activar una nueva dislocación móvil en el grano orientado desfavorablemente.

Figura 13: Apilamiento de dislocación en un límite de grano.

A medida que las dislocaciones se amontonan contra el límite en el grano originalmente deformante, actúan como una grieta cuya longitud escala con el tamaño de grano\(d\) como se muestra en la Figura 13: cuanto mayor es el grano, más dislocaciones en el apilamiento, mayor es la grieta virtual. Dado que la tensión frente a una grieta aguda de longitud\(a\) escala como\(\sqrt{a}\), la tensión frente a la grieta que contiene el apilamiento de dislocación se incrementa en un factor que escala con la necesaria para generar una nueva dislocación el grano desfavorablemente orientado comienza a deformarse por movimiento de dislocación. Este estrés disminuye de acuerdo a\(d^{-1/2}\) medida que se reduce el tamaño del grano original, fortaleciendo así el metal de acuerdo con la relación Hall-Petch. El tamaño de grano está determinado por el equilibrio entre las tasas de nucleación y crecimiento a medida que el metal se solidifica, y estas son a su vez controlables por las velocidades de enfriamiento impuestas. Este es un ejemplo importante de control de procesamiento-estructura-propiedad disponible para el tecnólogo de materiales.

Un fenómeno relacionado explica las resistencias muy altas (\(\approx\)4 GPa, o 600 kpsi) del alambre de piano, un acero eutectoide que ha sido dibujado a través de una secuencia de troqueles reductores para obtener un diámetro final pequeño. La estructura “perlítica” obtenida al enfriar este acero a través de la temperatura eutectoide es una mezcla bifásica de Fe\(_3\) C (“cementita”) en hierro bcc (“ferrita”). A medida que el diámetro se reduce durante el estirado, las celdas de ferrita también se reducen, formando una estructura análoga a un metal de grano fino. Los límites de celda restringen el movimiento de dislocación, lo que lleva a los límites de elasticidad muy altos

Los átomos de impureza en solución sólida también pueden servir para endurecer un material cristalino al impedir el movimiento de dislocación; esto se llama fortalecimiento de la solución. Un átomo de impureza más pequeño que los átomos de la red huésped creará un campo de tracción aproximadamente esférico alrededor de sí mismo que atraerá las regiones de compresión alrededor de las dislocaciones móviles, y un átomo de impurezas más grande tenderá a atrapar la región de tracción de las dislocaciones cercanas. En promedio, la población de dislocaciones maniobrará para disminuir sus energías de deformación asociándose con los campos de deformación no uniformes alrededor de las impurezas. Esta asociación impide el movimiento de dislocación, lo que inhibe el flujo de plástico y aumenta el límite elástico.

El endurecimiento en solución no suele ser un mecanismo de fortalecimiento especialmente efectivo en materiales comerciales, en gran parte porque la solubilidad de los átomos de impurezas no es suficiente para generar un número apreciable de obstáculos. Una excepción importante a esto es el sistema de hierro-carbono, o acero. Si el acero a aproximadamente la composición de carbono eutectoide (0.8%\(C\)) se enfría rápidamente desde arriba de la temperatura eutectoide de 723\(^{\circ}C\), los átomos de carbono pueden quedar atrapados en la red de hierro a concentraciones mucho más altas que las que normalmente permitiría la solubilidad de carbono en equilibrio del hierro bcc. (Esta tendencia al atrapamiento puede potenciarse aleando elementos como el cromo y el molibdeno, que tienen afinidad por el carbono y así reducen su capacidad de difundirse). Para acomodar estos átomos de impurezas metaestables, la red de hierro se transforma en una forma tetragonal centrada en el cuerpo llamada martensita (ver Figura 14), con un fuerte campo de tensión no esférico alrededor de los átomos de carbono. Estas distorsiones tetragonales son impedimentos muy efectivos para el movimiento de dislocación, haciendo de la martensita una fase extremadamente dura. El agua periódica que usa un herrero durante la metalurgia se realiza (quizás sin que el herrero sepa por qué funciona) para adaptar la dureza del material mediante el desarrollo de inclusiones martensíticas en el acero.

La martensita es tan dura y quebradiza que el acero rápidamente templado generalmente debe templarse calentándolo a aproximadamente 400\(^{\circ}C\) durante una hora más o menos. Esto permite que se produzca la difusión del carbono, creando una dispersión de inclusiones de cementita; también permite la recuperación de las dislocaciones presentes en la martensita. El material resultante es mucho más duro que el acero martensítico conformado, pero aún conserva un alto nivel de resistencia debido al efecto fortalecedor de las inclusiones de carburo.

Figura 14: Estructura tetragonal centrada en el cuerpo de la martensita.

Cinética de fluencia en materiales cristalinos

“Creep” es el término utilizado para describir la tendencia de muchos materiales a exhibir deformación continua a pesar de que la tensión se mantiene constante. Los polímeros viscoelásticos presentan fluencia, como se discutió en el Módulo 19. Sin embargo, la fluencia también ocurre en sistemas policristalinos metálicos y cerámicos, lo que es más importante cuando la temperatura es superior a aproximadamente la mitad de su temperatura de fusión absoluta. Esta fluencia a alta temperatura puede ocurrir con tensiones menores que la tensión de fluencia, pero está relacionada con la discusión de este módulo sobre el rendimiento controlado por dislocación, ya que el movimiento de dislocación a menudo subyace también al proceso de fluencia.

La fluencia a altas temperaturas es motivo de preocupación en aplicaciones tales como motores a reacción o reactores nucleares. Esta forma de fluencia a menudo consiste en tres regímenes distintos como se ve en la Figura 15: fluencia primaria, en la que el material parece endurecerse por lo que la tasa de fluencia disminuye con el tiempo; fluencia secundaria o en estado estacionario, en la que los mecanismos de endurecimiento y ablandamiento parecen equilibrarse para producir una tasa de fluencia constante. \(\dot{\epsilon}_{II}\); y fluencia terciaria en la que el material se ablanda hasta que se produce la ruptura por fluencia. Toda la curva de fluencia refleja una competencia entre los mecanismos de endurecimiento como el apilamiento de dislocación, y mecanismos como la subida de dislocación y el deslizamiento cruzado que se denominan recuperación y que aumentan la movilidad de la dislocación.

Figura 15: Las tres etapas de fluencia.

En la mayoría de las aplicaciones el régimen secundario consume la mayor parte del tiempo hasta el fracaso, por lo que gran parte del esfuerzo de modelización se ha dirigido a esta etapa. La velocidad de fluencia secundaria a menudo se\(\dot{\epsilon}_{II}\) puede describir mediante una expresión general no lineal de la forma

\[\dot{\epsilon}_{II} = A \sigma^m \exp \dfrac{-E_c^*}{RT}\]

donde\(A\) y\(m\) son constantes ajustables,\(E_c^*\) es una energía de activación aparente para fluencia,\(\sigma\) es la tensión,\(R\) es la Constante de Gas (para ser reemplazada por la constante de Boltzman si no se usa una base molar) y\(T\) es la temperatura absoluta. Esto se conoce como la ecuación de Weertman-Dorn.

Figura 16: Movimiento de dislocación y velocidad de fluencia.

El caudal de plástico está relacionado directamente con la velocidad de dislocación, la cual se puede visualizar considerando una sección de material de altura\(h\) y anchura\(L\) como se muestra en la Figura 16. Una sola dislocación, habiendo viajado en la dirección de la anchura para la distancia completa\(L\) producirá una deformación transversal de\(\delta_i = \bar{b}\). Si la dislocación se ha propagado a través del cristal solo una fracción\(x_i/L\) del ancho, la deformación se puede reducir en esta misma fracción:\(\delta_i = \bar{b}(x_i/L)\). La deformación total en el cristal es entonces la suma de las deformaciones aportadas por cada dislocación:

\(\delta = \sum_i \delta_i = \sum_i \bar{b} (x_i/L)\)

La deformación por cizallamiento es la relación entre la deformación transversal y la altura sobre la que se distribuye:

\(\gamma = \dfrac{\delta}{h} = \dfrac{\bar{b}}{Lh} \sum_i x_i\)

El valor\(\sum_i x_i\) puede ser reemplazado por la cantidad\(N_{\bar{x}}\), donde\(N\) es el número de dislocaciones en el segmento de cristal y\(\bar{x}\) es la distancia de propagación promedio. Entonces podemos escribir

\(\gamma = \rho \bar{b}\bar{x}\)

donde\(\rho = N/Lh\) está la densidad de dislocación en el cristal. La velocidad de deformación por cizallamiento\(\dot{\gamma}\) se obtiene entonces por diferenciación:

\[\dot{\gamma} = \rho \bar{b} v\]

donde\(v = \dot{\bar{x}}\) es la velocidad promedio de dislocación. De ahí que la velocidad de fluencia escale directamente con la velocidad de dislocación.

Para investigar la dependencia de la temperatura y el estrés de esta velocidad, consideramos que la velocidad a la que las dislocaciones pueden superar obstáculos es otro ejemplo más de un proceso de velocidad asistida por estrés activado térmicamente y escribimos una ecuación de Eyring para la velocidad de fluencia:

 

donde\(V^*\) es un volumen de activación aparente. El segundo término aquí indica que la barrera de activación para el movimiento en la dirección del estrés es aumentada por la tensión, y disminuida para los movimientos en la dirección opuesta. Cuando discutimos el rendimiento, el estrés era lo suficientemente alto como para que el movimiento en la dirección opuesta al flujo pudiera ser descuidado. Aquí nos interesa que la fluencia se produzca a tensiones relativamente bajas y a altas temperaturas, de manera que el flujo inverso pueda ser apreciable. Factoraje,

 

Ya que\(\sigma V^* \ll RT\), podemos descuidar términos cuadráticos y de orden superior en la expansión de la serie\(e^x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + \cdots \) para dar

\(\dot{\epsilon} = A (\dfrac{\sigma V^*}{RT}) \exp \dfrac{-(E_d^*)}{RT}\)

Si ahora descuidamos la dependencia de la temperatura en el factor preexponencial en comparación con la dependencia de temperatura mucho más fuerte del propio exponencial, este modelo predice una tasa de fluencia de acuerdo con la ecuación de Weertman-Dorn con\(m = 1\).

El deslizamiento de fluencia por dislocación ocurre en todo el rango de temperaturas desde cero absoluto hasta la temperatura de fusión, aunque la ecuación específica desarrollada anteriormente contiene aproximaciones válidas solo a temperaturas más altas. Las tensiones necesarias para impulsar el deslizamiento de dislocación son del orden de una décima parte de la resistencia teórica al cizallamiento de\(G/10\). A tensiones más bajas, la tasa de fluencia es menor y se ve limitada por la velocidad a la que las dislocaciones pueden superar los obstáculos por difusión de vacantes. Esto se insinúa en la similitud de las energías de activación para fluencia y autodifusión como se muestra en la Figura 17. (Tenga en cuenta que estos valores también se correlacionan con la estanqueidad de las funciones de energía de unión, como se discute en el Módulo 1; la difusión se impide en celosías más unidas). La difusión de vacantes es otro proceso de tasa de activación térmica asistida por estrés, que nuevamente conduce a modelos de acuerdo con la ecuación de Weertman-Dorn.

Figura 17: Correlación de energías de activación para difusión y fluencia.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Los esfuerzos de fluencia se\(\sigma_Y\) han medido utilizando probetas de acero y aluminio de diversos tamaños de grano, de la siguiente manera:

Material	d,\(\mu\)	\(\sigma_Y, MPa\)
acero	\ (\ mu\) ">60,5	\ (\ Sigma_y, MPa\) ">160
	\ (\ mu\) ">136	\ (\ Sigma_y, MPa\) ">130
aluminio	\ (\ mu\) ">11.1	\ (\ Sigma_y, MPa\) ">235
	\ (\ mu\) ">100	\ (\ Sigma_y, MPa\) ">225

1. Determinar los coeficientes\(\sigma_0\) y\(k_Y\) en la relación Hall-Petch (Ecuación 6.2.7) para estos dos materiales.
2. Determinar el límite elástico en cada material para un tamaño de grano de\(d = 30\mu\).