11.5: Técnicas de solución para expresiones cúbicas y búsqueda de raíces
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Ojalá te hayamos convencido de que el uso de ecuaciones cúbicas de estado puede representar una manera muy significativa y ventajosa de modelar el comportamiento PVT de fluidos petrolíferos. Lo que necesitamos ahora son las herramientas que nos permitan sacar de ellas la información que queremos. A pesar de que las ecuaciones cúbicas de estado son explícitas en la presión, la presión no es lo común desconocido para ser calculado en el problema típico. En el problema más común, se conocen presión y temperatura y queremos ya sea volumen molar (o su recíproco, densidad molar) o factor de compresibilidad (el caso más probable). Por lo tanto, nos encontramos muy a menudo ante la necesidad de resolver por las raíces de una expresión cúbica. Aquí presentamos una serie de enfoques que se pueden seguir.
Esquema analítico
Dado el polinomio cúbico con coeficientes reales:\(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\), el primer paso es calcular los parámetros:
y
Ahora\(M = R^2 – Q^3\) déjese ser el discriminante. Luego consideramos los siguientes casos:
- Si\(M<0\left(R^{2}<Q^{3}\right)\), el polinomio tiene tres raíces reales. Para este caso, calcule\(\theta=\arccos \left(\frac{R}{\sqrt{Q^{3}}}\right)\) y calcule las tres raíces reales distintas como:
\[x_{1}=-\left(2 \sqrt{Q} \cos \frac{\theta}{3}\right)-\frac{a}{3} \label{11.6a}\]\[x_{2}=-\left(2 \sqrt{Q} \cos \frac{\theta+2 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3} \label{11.6b}\]\[x_{3}=-\left(2 \sqrt{Q} \cos \frac{\theta-2 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3} \label{11.6c}\]
Obsérvese que\(x_1\)\(x_2\),, no\(x_3\) se dan en ningún orden especial, y que se\(\theta\) tiene que calcular en radianes.
- Si\(M>0\left(R^{2}>Q^{3}\right)\), el polinomio tiene sólo una raíz real. Calcule: \[S=\sqrt[3]{-R+\sqrt{M}} \label{11.7a}\]\[T=\sqrt[3]{-R-\sqrt{M}} \label{11.7b}\] y calcule la raíz real de la siguiente manera: También se pueden encontrar\[x_{1}=S+T-\frac{a}{3} \label{11.7c}\] dos raíces complejas (conjugados complejos). No obstante, no son de interés para nuestros fines, y por lo tanto no se proporcionan fórmulas.
Tales fórmulas se pueden encontrar en las siguientes lecturas sugeridas:
- W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Recetas numéricas en Fortran, 2ª Edición, Cambridge Univ. Press, (1992), p. 179.
- Spiegel, M., Liu, J., Manual matemático de fórmulas y tablas, 2ª Edición, Schaum's Outline Series, McGraw Hill, p.10.
En ocasiones, las ecuaciones para\(S\) y\(T\) enumeradas anteriormente causan problemas durante la programación. Esto suele suceder siempre que la computadora/calculadora realiza la raíz cúbica de una cantidad negativa. Si quieres evitar tal situación, puedes computar\(S’\) y\(T’\) en su lugar:
\[S^{\prime}=-\operatorname{sign}(R) \sqrt[3]{a b s(R)+\sqrt{M}}\]
\[T^{\prime}=Q / S^{\prime}\]
(haciendo\(T’=0\) cuando\(S’=0\))
donde:
\(abs(R)\) is the Absolute value of \(R\) and \(sign(R)\) is (+1) or (– 1) if \(R\) is positive or negative respectively.
Se puede definir como:
\[sign(R) = R/Abs(R)\]
y entonces la verdadera raíz es:
\[x_{1}=S^{\prime}+T^{\prime}-\frac{a}{3}\]
Tenga en cuenta las siguientes relaciones útiles entre las raíces de cualquier expresión cúbica:
\[x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a \label{11.8a}\]
\[x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}=+b \label{11.8b}\]
\[x_{1} x_{2} x_{3}=-c \label{11.8c}\]
Pon a prueba tu comprensión de los cálculos de raíz cúbica por medios analíticos resolviendo los siguientes ejemplos.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Con expresiones cúbicas generales,
\ [\ begin {alineado}
&x^ {3} -6 x^ {2} +11 x-6=0\ Rightarrow\\
&x_ {1} =1\\
&x_ {2} =2\\
&x_ {3} =3
\ end {alineado}\]
\ [\ begin {alineado}
&x^ {3} +7 x^ {2} +49 x+343=0\\
&x_ {1} =-7\\
&x_ {2} =0+7 i\\
&x_ {3} =0-7 i
\ end {alineado}\]
\ [\ begin {alineado}
&x^ {3} +2 x^ {2} +3 x+4=0\ Rightarrow\\
&x_ {1} =-1.65063\\
&x_ {2} =-0.174685+1.54687 i\\
&x_ {3} =-0.174685-1.54687 i
\ end {alineado}\]
con EOS en términos de volumen (\(v\)), para un componente puro,
\[v^{3}-7.8693 v^{2}+13.3771 v-6.5354=0 \nonumber\]
Solo una raíz real (una fase) con
\[v_{1}=5.7357 \nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
\[v^{3}-15.6368 v^{2}+30.315 v-14.8104=0\]
Solución
Dos fases posibles (tres raíces reales),
\ [\ begin {alineado}
&v_ {1} =0.807582\ text {(fase líquida)}\\
&v_ {2} =1.36174\ text {(rechazado)}\\
&v_ {3} =13.4675\ texto {(fase gaseosa)}
\ end {alineado}\]
con EOS en términos del factor de compresibilidad (z), para un componente puro,
\[z^{3}-1.0595 z^{2}+0.2215 z-0.01317=0 \nonumber\]
=> Una fase:
\[z=0.8045 \nonumber\]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
\[z^{3}-z^{2}+0.089 z-0.0013=0\]
Solución
Dos fases posibles,
\ [\ begin {alineado}
&z_ {\ texto {líquido}} =0.0183012\\
&z_ {x} =0.0786609\ texto {(inútil)}\\
&\ mathrm {Z} _ {\ mathrm {vapor}} =0.903038
\ end {alineado}\]
Esquema Numérico
El método Newton-Raphson proporciona un esquema útil para resolver una variable no explícita a partir de cualquier forma de ecuación (no solo las cúbicas). Newton-Raphson es un procedimiento iterativo con una convergencia rápida, aunque no siempre es capaz de dar una respuesta —porque se debe proporcionar una primera conjetura lo suficientemente cercana a la respuesta real.
Al resolver para “x” en cualquier ecuación del tipo f (x) =0, el método proporciona una nueva estimación (nueva conjetura) más cercana a la respuesta real, basada en la estimación anterior (conjetura antigua). Esto está escrito de la siguiente manera:
\[x_{n e w}=x_{o l d}-\frac{f\left(x_{o l d}\right)}{f^{\prime}\left(x_{o l d}\right)} \label{11.9}\]
Considerando una ecuación cúbica\(f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c=0\), la ecuación anterior toma la forma:
\[x_{n e w}=x_{o l d}-\frac{x_{o l d}^{3}+a x_{o l d}^{2}+b x_{o l d}+c}{3 x_{o l d}^{2}+2 a x_{o l d}+b} \label{11.10}\]
Las iteraciones continúan hasta que no se logra una mejora significativa para “\(x_{new}\)”, es decir,\(| x_{new} – x_{old} |\) < tolerancia. Se debe proporcionar una conjetura educada como valor inicial para las iteraciones. Si está resolviendo una ecuación cúbica en Z (factor de compresibilidad), generalmente se recomienda tomar\(Z = bP/RT\) como suposición inicial para la compresibilidad de la fase líquida y\(Z = 1\) para la raíz de vapor.
Esquema Semianalítico
Si utilizaste el enfoque numérico anterior para calcular una de las raíces de la expresión cúbica, el esquema semianalítico puede darte las otras dos raíces reales (cuando existen). Al usar las relaciones dadas anteriormente, con el valor 'x 1 'como la raíz ya conocida, las otras dos raíces se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones:
\[x_{2}+x_{3}=-a-x_{1} \label{11.11a}\]
\[x_{2} x_{3}=-c / x_{1} \label{11.11b}\]
lo que lleva a una expresión cuadrática.
Este procedimiento se puede reducir a los siguientes pasos:
- Dejar\(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) ser el polinomio cúbico original y “\(E\)” la raíz que ya se conoce (\(x_1 = E\)). Entonces, podemos factorizar una expresión cúbica como:\[(x-E)\left(x^{2}+F x+G\right)=0 \label{11.12a}\] donde\[F = a + E \label{11.12b}\]\[G = – c / E \label{11.12c}\]
- Resolver para\(x_2\),\(x_3\) usando las fórmulas de la ecuación cuadrática, \[x_1 = E \label{11.13a}\]\[x_{2}=\frac{-F+\sqrt{F^{2}-4 G}}{2} \label{11.13b}\]\[x_{3}=\frac{-F-\sqrt{F^{2}-4 G}}{2} \label{11.13c}\]
Colaboradores y Atribuciones
Michael Adewumi (The Pennsylvania State University) Vice Provost for Global Program, Professor of Petroleum and Natural Gas Engineering