12.3: Formulación del problema VLE

Suponemos que el sistema se encuentra en estado estacionario y en un estado de equilibrio. Adoptar estos dos supuestos es esencial para el desarrollo de las ecuaciones que utilizamos para resolver estos problemas. Estos supuestos son convenientes para modelar y han demostrado ser útiles para representar los fenómenos reales. En conclusión, afirmamos que los sistemas mantienen un estado que se asemeja al equilibrio y no se aleja mucho de él. ¿Y qué significa estado estacionario? En pocas palabras, decimos que un sistema está en estado estacionario cuando todo lo que entra en el sistema se apaga. Esto es, no se produce acumulación dentro del sistema.

Consideremos la celda de equilibrio que se muestra en la Figura 12.1. “F” moles de un pienso entran en nuestra celda de equilibrio con una composición “z _i” y “n _c” es el número de componentes que tenemos en la mezcla. Se realiza una vaporización flash a una presión y temperatura dadas, y salen dos corrientes: “V” moles de un vapor de composición “y _i” y “L” moles de un líquido de composición “x _i”. En estado estacionario, un simple balance general arroja:

Figura 12.1: El problema del flash

Ahora definimos las fracciones de gas y líquido para que sean, respectivamente:

y (12.1b) (12.1c)

Por lo tanto, si dividimos la ecuación (12.1a) por “F”, obtenemos:

(12.2)

La misma suposición de estado estacionario se aplica para la masa de cada componente por separado. Aquí repasamos un concepto que utilizamos en el Módulo 5, cuando estudiamos la regla de palanca. En ese punto, dijimos que el número de moles de un componente “i” por mol de mezcla en la fase líquida viene dado por el producto “x _i a _L”, mientras que el número de moles de “i” por mol de mezcla en el gas viene dado por “y _i a _G”. Dado que hay moles “z _i” del componente “i” por mol de mezcla que ingresa al sistema, la conservación de cada componente en el sistema impone:

donde i = 1, 2,... n _c (12.3)

La ecuación (12.3) es verdadera para cada uno de los componentes del sistema. La ecuación (12.2) se puede introducir en la ecuación (12.3) para producir:

(12.4)

Uno de los conceptos que normalmente utilizamos en los equilibrios vapor-líquido es el de la relación de equilibrio, K _i. De hecho, la mayoría de los cálculos del comportamiento de fase de las mezclas de gas natural se llevan a cabo a través del concepto de la relación de equilibrio. “Por definición, la relación de equilibrio de un componente “" i "” en una mezcla vapor-líquido se define como la relación de la composición molar de ese componente en la fase de vapor a la de la fase líquida,”

(12.5)

En la literatura anterior, este concepto se refería como la constante de equilibrio. En la actualidad, K _i no es constante sino una función de la presión, temperatura y composición del sistema. Sin embargo, las relaciones de equilibrio pueden ser bastante independientes de la composición cuando las condiciones de presión y temperatura están lejos de ser críticas.

Por lo tanto, hoy nos referimos a ella como la relación de equilibrio vapor-líquido, K _i. Podemos introducir este concepto en la balanza en (12.4), como se muestra:

(12.6)

Ahora, resolviendo para yi,

(12.7)

Una restricción que las fracciones molares deben satisfacer es que deben sumar a la unidad. Ya que resolvimos para y _i, podemos imponer que la suma de todas las fracciones molares de vapor debe ser igual a una, es decir,

(12.8)

Si ahora sustituimos (12.7) por (12.8), obtenemos:

(12.9)

Esta ecuación es importante para nosotros; la llamamos función objetiva porque podemos usarla como punto de partida para resolver los problemas de equilibrio vapor-líquido que nos hemos planteado.

Sin embargo, como tal vez estés pensando ahora mismo, esta no es la única opción que tenemos para una función objetiva. De hecho, podemos obtener otra función objetiva si repetimos los pasos anteriores, mientras resolvemos en su lugar para x _i. En este caso, podemos introducir el concepto de relación de equilibrio en (12.5) en (12.6) de la siguiente manera:

(12.10)

Ahora resolvemos para xi,

(12.11)

Si aplicamos la restricción de que todas las fracciones molares deben sumar a una,

(12.12)

Tanto (12.9) como (12.12) son funciones objetivas plausibles. Cualquiera de ellos nos permite resolver el problema de flash que estamos tratando. Las variables que componen ambas ecuaciones son:

n _c = Número de componentes,
z _i = Composición global, o composición de la alimentación,
K _i = Relaciones de equilibrio de cada uno de los componentes de la mezcla,
a _g = Fracción de vapor en el sistema.

¿Qué es lo que estamos buscando? Regresa y mira los tipos de problemas de VLE que nos gustaría resolver, tal y como los presentamos en la sección anterior. Si estamos interesados en resolver el problema del flash, queremos saber cuánto líquido y gas tendremos dentro de la celda de equilibrio flash. Esto es, dada una mezcla líquido-vapor de composición z _i, y n _c número de componentes, ¿qué porcentaje del número total de moles es líquido, y qué porcentaje es vapor? ¿Cómo lo dividimos? En este caso, nos gustaría llegar a un valor para α _l y α _g respectivamente.

Las ecuaciones (12.9) y (12.12) nos dicen que si somos capaces de llegar a los valores adecuados para las relaciones de equilibrio, K _i, que son funciones de la presión, temperatura y composición del sistema, lo único desconocido que queda por resolver sería α _g, ¡exactamente lo que queremos!

Bueno, no se apresure. Tendríamos que idear una forma de calcular los K _i primero, y esto puede no ser una tarea trivial. _{Por el momento, digamos que “sabemos” K i's. Quedan dos preguntas sin respuesta:}

1. Primero, ¿es “mejor” resolver el problema usando la ecuación (12.9) o (12.12)? (¡Recordemos, cualquiera de ellos nos llevaría a la respuesta!).
2. Segundo, ¿cómo resolvemos para α _g? Para una mezcla compleja de muchos componentes, “α _g” no se puede calcular explícitamente.

Abordaremos ambas preguntas en el siguiente módulo. Por ahora, déjanos darte una pista: ¡no usaremos ni la ecuación (12.9) ni (12.12) para resolver el problema del flash!

Colaboradores

•  Michael Adewumi (The Pennsylvania State University) Vice Provost for Global Program, Professor of Petroleum and Natural Gas Engineering