18.3: A.3- Derivación de la Transformación de Laplace de una Integral Definida

Supongamos que una función\(f(t)\) tiene transformación de Laplace\(F(s)=L[f(t)]\), y que necesitamos la transformación de la integral definida\(\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\). Tenga en cuenta el límite inferior de\(\tau=-\infty\); solemos considerar\(f(t)\) solo para\(t \geq 0\), pero ocasionalmente la integral de\(f(t)\) más de tiempo anterior,\(t<0\), también es necesario.

\ [L\ left [\ begin {array} {l}
\ tau=t\ geq 0\\
\ iint_ {-\ infty} f (\ tau) d\ tau
\ end {array}\ right] =\ int_ {t=0} ^ {t=\ infty}\ overbrackets {\ left [\ int_ {\ tau = -\ infty} ^ {\ tenso = t\ q 0} f (\ tau) d\ tau\ derecha]} ^u\ overbrackets {e^ {-s t} d t} ^ {d v}\ label {eqn:a.8}\]

La integración por partes da

\[L\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right]=\left.\left\{\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right]\left(\frac{e^{-s t}}{-s}\right)\right\}\right|_{t=0} ^{t=\infty}-\left(\frac{1}{-s}\right) \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} \frac{d}{d t}\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right] d t\label{eqn:A.9} \]

La derivada de la integral definida en el segundo término del lado derecho de la ecuación\(\ref{eqn:A.9}\) es un caso especial de la regla de Leibnitz (Hildebrand, 1962, p. 360):

\[\frac{d}{d t}\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right]=f(t)\label{eqn:A.10} \]

Con la ecuación de resultado simple\(\ref{eqn:A.10}\), y con la evaluación de los límites del primer término del lado derecho, la ecuación\(\ref{eqn:A.9}\) se convierte en

\[L\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right]=\frac{1}{s} \int_{\tau=-\infty}^{\tau=0} f(\tau) d \tau+\frac{1}{s} \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} f(t) d t\label{eqn:A.11} \]

Así, la forma final de la transformación general requerida es

\[L\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right]=\frac{1}{s} F(s)+\frac{1}{s} \int_{\tau=-\infty}^{\tau=0} f(\tau) d \tau\label{eqn:A.12} \]

Para la mayoría de las aplicaciones, tenemos\(f(t)=0\) para\(t<0\), para lo cual la transformación más simple es:

\[L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=t \geq 0} f(\tau) d \tau\right]=\frac{1}{s} F(s)\label{eqn:A.13} \]

Si consideramos la integral de\(f(t)\) como la primera derivada “negativa” (antiderivada), entonces vemos que la ecuación de transformación\(\ref{eqn:A.12}\) es lógicamente consistente con la ecuación de transformación 2.2.9 para una derivada “positiva”, con respecto tanto a la potencia de\(s\) como al término del valor inicial.