3.5: Cálculo de la capacitancia electrostática

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Marc Baldo
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Conductores puntuales aislados

Para conductores pequeños como moléculas individuales o puntos cuánticos, a veces es conveniente calcular\(C_{ES}\) asumiendo que el conductor es una esfera de radio R. De la ley de Gauss, el potencial en un punto con radio r desde el centro de la esfera es:

\[ V = \frac{Q}{4\pi \epsilon r} \nonumber \]

donde r > R,\(\epsilon\) es la constante dieléctrica y Q es la carga neta en la esfera.

Si tomamos el potencial en el infinito para ser cero, entonces el potencial de la esfera es\(V = Q/4\pi \epsilon R\) y la capacitancia es

\[ C_{ES} = \frac{Q}{V} = 4\pi \epsilon R \nonumber \]

El aspecto notable de la Ecuación (3.5.2) es que la capacitancia electrostática se escala con el tamaño del conductor. En consecuencia, la energía de carga de un conductor pequeño puede ser muy grande. Por ejemplo, la Ecuación (3.5.2) predice que la capacitancia de una esfera con un radio de R = 1nm es aproximadamente\(C_{ES}=10^{-19}F\). La energía de carga es entonces\(U_{C} = 1.6eV\) por carga.

Conductores colocados entre los electrodos de fuente y drenaje

En general, el perfil potencial para una distribución arbitraria de cargos debe calcularse utilizando la ley de Gauss. Pero muchas veces podemos hacer algunas aproximaciones. Los contactos de fuente y drenaje a veces se pueden modelar como un condensador de placa paralela con

\[ C = \frac{\epsilon A}{d} \nonumber \]

donde A es el área de cada contacto y d es su separación. Esta aproximación equivale a asumir un campo eléctrico uniforme entre los electrodos fuente y drenaje. Esto es válido si A\ gg d y no hay ningún cargo neto entre los contactos. Para los electrodos de fuente y drenaje separados por una distancia l, las capacitancias de fuente y drenaje a una distancia z de la fuente son:

\[ C_{S}(z) = \frac{\epsilon A}{z}, \ C_{D}(z) = \frac{\epsilon A}{l - z} . \nonumber \]

El potencial varía linealmente como se esperaba para un campo eléctrico uniforme.

\[ U(z) = -qV_{DS} \frac{1/C_{s}(z)}{1/C_{D}(z)+1/C_{S}(z)} = -qV_{DS}\frac{z}{l} \nonumber \]

Captura de pantalla 2021-04-24 a las 16.32.00.png — Figura\(\PageIndex{1}\): (a) La capacitancia de un conductor 0-d aislado se calcula asumiendo que el potencial al infinito es cero. b) Un campo eléctrico uniforme entre la fuente y el drenaje produce un potencial linealmente variable. Los condensadores de fuente y drenaje se pueden modelar mediante placas paralelas.