6.4: Guía de ondas de placa paralela - Caja TE, Campo Magnético

En la Sección 6.2 se introdujo la guía de ondas de placa paralela. En la Sección 6.3, se determinó el componente TE del campo eléctrico. En esta sección, determinamos el componente TE del campo magnético. El lector debe estar familiarizado con la Sección 6.3 antes de intentar esta sección.

En la Sección 6.3, se determinó que el componente TE del campo eléctrico era:

\[\hat{\bf y}\widetilde{E}_y = \hat{\bf y}\sum_{m=1}^{\infty} \widetilde{E}_y^{(m)} \label{m0175_eEysum} \]

El componente TE del campo magnético se puede obtener de la ecuación de Maxwell-Faraday:

\[\nabla \times \widetilde{\bf E} = -j\omega\mu \widetilde{\bf H} \nonumber \]

Así:

\[\begin{aligned} \widetilde{\bf H} &= \frac{j}{\omega\mu}~\nabla \times \widetilde{\bf E} \nonumber \\ &= \frac{j}{\omega\mu}~\nabla \times \left(\hat{\bf y}\widetilde{E}_y\right) \end{aligned} \nonumber \]

La forma relevante del operador de rizo (Ver Apéndice 12.2) es

\ begin {alineado}\ nabla\ times {\ bf A} &= ~~\ hat {\ bf x}\ izquierda (\ frac {\ parcial a_Z} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial a_Y} {\ parcial z}\ derecha) &\ nonumber\\ &~~ +\ hat {\ bf y}\ izquierda (\ frac {\ parcial a_x} {parcial\ z} -\ frac {\ parcial a_Z} {\ parcial x}\ derecha) &\ nonumber\\ &~~ +\ hat {\ bf z}\ izquierda (\ frac {\ A_y parcial} {\ x parcial} -\ frac {\ parcial a_x} {\ parcial y}\ derecha) &\ etiqueta {m0139_ecurlCart}\ end {alineado}

Aunque la expresión completa consta de 6 términos, todos menos 2 de estos términos son cero porque los\(\hat{\bf z}\) componentes\(\hat{\bf x}\) y de\(\widetilde{\bf E}\) son cero. Los dos términos restantes son\(-\hat{\bf x}\partial \widetilde{E}_y/\partial z\) y\(+\hat{\bf z}\partial \widetilde{E}_y/\partial x\). Así:

\[\widetilde{\bf H} = \frac{j}{\omega\mu}~\left( -\hat{\bf x}\frac{\partial\widetilde{E}_y}{\partial z} +\hat{\bf z}\frac{\partial\widetilde{E}_y}{\partial x} \right) \label{m0175_eH} \]

Recordemos que\(\widetilde{E}_y\) es la suma de modos, como se indica en la Ecuación\ ref {M0175_EEYSUM}. Dado que la diferenciación (\(\partial/\partial z\)i.e., y\(\partial/\partial x\)) es un operador lineal, podemos evaluar la Ecuación\ ref {M0175_eh} para los modos uno a la vez, y luego sumar los resultados. Usando este enfoque, encontramos:

\[\begin{aligned} \frac{\partial\widetilde{E}_y^{(m)}}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial z} ~ E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \sin k_x^{(m)} x \nonumber \\ &= \left( E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \sin k_x^{(m)} x \right) \left(-jk_z^{(m)}\right) \end{aligned} \nonumber \]

y

\[\begin{aligned} \frac{\partial\widetilde{E}_y^{(m)}}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x} ~ E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \sin k_x^{(m)} x \nonumber \\ &= \left( E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \cos k_x^{(m)} x \right) \left(+k_x^{(m)}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Ahora podemos armar una solución para el campo magnético de la siguiente manera:

\[\begin{align} \hat{\bf x}\widetilde{H}_x+\hat{\bf z}\widetilde{H}_z =&~~~\hat{\bf x}\sum_{m=1}^{\infty} \widetilde{H}_x^{(m)} \nonumber \\ &+\hat{\bf z}\sum_{m=1}^{\infty} \widetilde{H}_z^{(m)} \label{m0175_eHsum}\end{align} \]

donde

\[\widetilde{H}_x^{(m)} = -\frac{k_z^{(m)}}{\omega\mu} E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \sin k_x^{(m)} x \label{m0175_eHx} \]

\[\widetilde{H}_z^{(m)} = +j\frac{k_x^{(m)}}{\omega\mu} E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \cos k_x^{(m)} x \label{m0175_eHz} \]

y los modos solo pueden existir en frecuencias mayores que las frecuencias de corte asociadas. Resumiendo:

El componente de campo magnético de la solución TE viene dado por la Ecuación\ ref {M0175_EHSUM} con componentes modales como lo indican las Ecuaciones\ ref {M0175_EHx} y\ ref {M0175_eHz}. Las advertencias relativas a las frecuencias de corte y las ubicaciones de las fuentes y estructuras continúan aplicándose.

Este resultado es bastante complejo, sin embargo, es posible obtener algunos conocimientos adicionales. En la superficie perfectamente conductora (PEC) en\(x=0\), vemos

\[\begin{aligned} \widetilde{H}_x^{(m)}(x=0) &= 0 \nonumber \\ \widetilde{H}_z^{(m)}(x=0) &= +j\frac{k_x^{(m)}}{\omega\mu} E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \end{aligned} \nonumber \]

De igual manera, en la superficie PEC en\(x=a\), vemos

\[\begin{aligned} \widetilde{H}_x^{(m)}(x=a) &= 0 \nonumber \\ \widetilde{H}_z^{(m)}(x=a) &= -j\frac{k_x^{(m)}}{\omega\mu} E_{y0}^{(m)} e^{-jk_z^{(m)} z} \end{aligned} \nonumber \]

Así, vemos que el vector de campo magnético en las superficies PEC es distinto de cero y paralelo a las superficies PEC. Recordemos que el campo magnético es idéntico cero dentro de un material PEC. También recuerde que las condiciones de contorno requieren que la discontinuidad en el componente de\({\bf H}\) tangente a una superficie debe ser soportada por una corriente de superficie. Concluimos que

Flujos de corriente en las superficies PEC de la guía de ondas.

Si esto parece sorprendente, tenga en cuenta que esencialmente sucede lo mismo en una línea de transmisión coaxial. Es decir, las señales en una línea de transmisión coaxial pueden describirse igualmente bien en términos de potenciales y corrientes en los conductores interno y externo, o los campos electromagnéticos entre los conductores. La guía de ondas de placa paralela es solo un poco más complicada porque el campo en un cable coaxial diseñado adecuadamente es un modo electromagnético transversal único (TEM), mientras que los campos en una guía de ondas de placa paralela son combinaciones de modos TE y TM.

Curiosamente, también encontramos que el vector de campo magnético apunta en diferentes direcciones dependiendo de la posición relativa a las superficies conductoras. Acabamos de determinar que el campo magnético es paralelo a las superficies conductoras en esas superficies. sin embargo, el campo magnético es perpendicular a esas superficies en\(m\) ubicaciones entre\(x=0\) y\(x=a\). Estas ubicaciones corresponden a máximos en el campo eléctrico.