2.1: Ecuaciones de Maxwell

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Franz X. Kaertner
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por

\[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}, \nonumber \]

\[\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \label{eq2.1.2} \]

\[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho, \nonumber \]

\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \nonumber \].

Las ecuaciones materiales que acompañan a las ecuaciones de Maxwell son:

\[\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}, \nonumber \]

\[\vec{B} = \mu_0 \vec{H} + \vec{M}. \nonumber \]

Aquí,\(\vec{E}\) y\(\vec{H}\) están el campo eléctrico y magnético,\(\vec{D}\) el flujo dieléctrico,\(\vec{B}\) el flujo magnético,\(\vec{j}\) la densidad de corriente de los acargas libres,\(\rho\) es la densidad de carga libre,\(\vec{P}\) es la polarización, y\(\vec{M}\) la magnetización. Al tomar el rizo de la Ecuación\ ref {eq2.1.2} y considerando\(\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \vec{E}) - \Delta \vec{E}\), obtenemos

\[\Delta \vec{E} - \mu_0 \dfrac{\partial}{\partial t} \left (\vec{j} + \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t} \right ) = \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) \nonumber \]

y por lo tanto

\[\left (\Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) \vec{E} = \mu_0 \left ( \dfrac{\partial vec{j}}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P} \right ) + \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E}).\label{eq2.1.8} \]

La velocidad de vacío de la luz es

\[c_0 = \sqrt{\dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}}. \nonumber \]