5.5:5.5 Bloqueo de modo activo con formación de soliton

Los resultados experimentales con láseres de fibra [8, 9, 11] y láseres de estado sólido [10] indicaron que la conformación del solitón en el régimen GDD negativo conduce a la estabilización del pulso y a un cortocircuito considerable del pulso. Con suficiente dispersión negativa y modulación de autofase en el sistema y pulsos de picosegundos o incluso femtosegundos, es posible que la conformación del pulso debido a GDD y SPM sea mucho más fuerte que debido a la modulación y filtrado de ganancia, ver Figura 5.8. La ecuación maestra resultante para este caso es

\[T_R \dfrac{\partial A}{\partial T} = \left [g + (D_g - j |D|) \dfrac{\partial ^2}{\partial t^2} - l - M (1 - \cos (\omega_M t)) - j \delta |A|^2 \right ] A.\label{eq5.5.1} \]

Para el caso, que la formación de solitones se hace cargo, la solución de estado estacionario un solitón más una contribución continua

\[A(T, t) = (a(x) e^{jpt} + a_c (T, t)) e^{-j \theta}\label{eq5.5.2} \]

con

\[a(x) = A \text{sech} (x), \text{ and } x = \dfrac{1}{\tau} (t + 2 D \int_0^T p (T') dT' - t_0) \nonumber \]

donde\(a_c\) está la contribución continua. La fase está determinada por

\[\theta (T) = \theta_0 (T) - \dfrac{D}{T_R} \int_0^T \left (\dfrac{1}{\tau (T')^2} - p(T')^2 \right ) dT', \nonumber \]

por lo que siempre asumimos que se mantiene la relación entre la energía del solitón y la anchura del solitón (3.3.7)

\[\dfrac{|D|}{\tau (T)^2} = \dfrac{\delta A(T)^2}{2} \nonumber \]

También permitimos un cambio continuo en la amplitud\(A\) o energía del solitón\(W = 2A^2 \tau\) y las variables de fase\(\theta_0\), frecuencia portadora\(p\) y temporización del solitón\(t_0\). \(\phi_0\)es el desplazamiento de fase del solitón por ida y vuelta

\[\phi_0 = \dfrac{|D|}{\tau^2}. \nonumber \]

Sin embargo, suponemos que los cambios en la frecuencia portadora, sincronización y fase permanecen pequeños. Introduciendo (\(\ref{eq5.5.2}\)) en (\(\ref{eq5.5.1}\)) se obtiene de acuerdo con la teoría de perturbación de solitones desarrollada en el capítulo 3.5

\[\begin{array} {ll} \ & {T_R \left [\dfrac{\partial a_c}{\partial T} + \dfrac{\partial W}{\partial T} \text{f}_{\omega} + \dfrac{\partial \Delta \theta}{\partial T} \text{f}_{\theta} + \dfrac{\partial \Delta p}{\partial T} \text{f}_{p} + \dfrac{\partial \Delta t}{\partial T} \text{f}_{t} \right ]} \\ = & {\phi_0 L(a_c + \Delta p \text{f}_p) + R(a + \Delta p \text{f}_p + ac) - M \omega_M \sin (\omega_M \tau x) \Delta t a(x)} \end{array}\label{eq5.5.7} \]

El último término surge porque el modelocker activo rompe la invarianza temporal del sistema y conduce a una fuerza restauradora que empuja al solitón de nuevo a su posición de equilibrio. \(L, R\)son los operadores del NSE linealizado y del esquema de bloqueo de modo activo, respectivamente

\[R = g\left ( 1 + \dfrac{1}{\Omega_g^2 \tau^2} \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \right ) - l - M (1 - \cos (\omega_M \tau x)), \nonumber \]

Los vectores\(\text{f}_{\omega}\),\(\text{f}_{\theta}\),\(\text{f}_p\) y\(\text{f}_t\) describen el cambio en el solitón cuando la energía del solitón, la fase, la frecuencia portadora y el tiempo varían.

Condición de Estabilidad

Queremos mostrar, que un solitón estable puede existir en presencia del modelocker y dispersión de ganancia si la relación entre el GDD negativo y la dispersión de ganancia es suficientemente grande. De (\(\ref{eq5.5.7}\)) obtenemos las ecuaciones de movimiento para los parámetros del solitón y el continuo mediante la realización del producto escalar con las funciones anexas correspondientes. En concreto, para la energía solitón obtenemos

\[T_R \dfrac{\partial W}{\partial T} = 2 \left (g - l - \dfrac{g}{3\Omega_g^2 \tau^2} - \dfrac{\pi^2}{24} M\omega_M^2 \tau^2 \right ) W + < \text{f}_{\omega}^{(+)}| Ra_c>. \nonumber \]

Vemos que la saturación de ganancia no conduce a un acoplamiento entre el solitón y el continuo a primer orden en la perturbación, porque son o- thogonales entre sí en el sentido del producto escalar (3.5.23). Esto también significa que para primer orden la energía total de campo está contenida en el solitón.

Así, para el orden cero la energía de solitón estacionario\(W_0 = 2A_0^2 \tau\) se determina por la condición de que la ganancia saturada es igual a la pérdida total debida a la pérdida lineal\(l\), filtrado de ganancia y pérdida de modulador

\[g - l = \dfrac{\pi^2}{24} M \omega_M^2 \tau^2 + \dfrac{g}{3 \Omega_g^2 \tau^2}\label{eq5.5.10} \]

con la ganancia saturada

\[g = \dfrac{g_0}{1 + W_0/E_L}. \nonumber \]

La linealización alrededor de este valor estacionario da para las perturbaciones del solitón

\[T_R \dfrac{\partial \Delta W}{\partial T} = 2 \left (-\dfrac{g}{(1 + W_0/E_L)} \left (\dfrac{W_0}{E_L} + \dfrac{1}{3\Omega_g^2 \tau^2} \right ) + \dfrac{\pi^2}{12} M \omega_M^2 \tau^2 \right ) \Delta W + < \text{f}_{\omega}^{(+)} | Ra_c>\label{eq5.5.12} \]

\[T_R \dfrac{\partial \Delta \theta}{\partial T} = <\text{f}_{\theta}^{(+)} | Ra_c>\label{eq5.5.13} \]

\[T_R \dfrac{\partial \Delta p}{\partial T} = -\dfrac{4g}{3\Omega_g^2 \tau^2} \Delta p + < \text{f}_{p}^{(+)} | Ra_c> \nonumber \]

\[T_R \dfrac{\partial \Delta t}{\partial T} = -\dfrac{\pi^2}{6} M \omega_M^2 \tau^2 \Delta t + 2|D| \Delta p + <\text{f}_{t}^{(+)} | Ra_c>\label{eq5.5.15} \]

y para el continuum obtenemos

\[\begin{array} {rcl} {T_R \dfrac{\partial g(k)}{\partial T}} & = & {j \Phi_0 (k^2 + 1) g(k) + <\text{f}_k^{(+)} | Ra_c >} \\ {} & + & {< \text{f}_k^{(+)} | R(a_0(x) + \Delta \omega \text{f}_{\omega} + \Delta p f_p) >} \\ {} & - & {< \text{f}_k^{(+)} | M \omega_M \sin (\omega_M \tau x) a_0 (x)> \Delta t} \end{array}\label{eq5.5.16} \]

Así, la acción del modelocker activo y la dispersión de ganancia tiene varios efectos. Primero, el modelocker conduce a una fuerza restauradora en el tiempo del solitón (\(\ref{eq5.5.15}\)). En segundo lugar, la dispersión de ganancia y el modelocker activo conducen al acoplamiento entre el solitón perturbado y el continuo, lo que da como resultado una excitación constante del continuo.

Sin embargo, como veremos más adelante, el ancho de pulso del solitón, que puede ser estabilizado por el modelocker, no está muy lejos del ancho de pulso gaussiano por solo bloqueo de modo activo. Entonces relación

\[\omega_M \tau \ll 1 \ll \Omega_g \tau \nonumber \]

se cumple. La dispersión de ganancia débil y el modelocker activo débil solo acoplan el solitón al continuo, pero a primer orden el continuo no se acopla de nuevo al solitón. Despreciando términos de orden superior en los elementos de la matriz de la eq. (\(\ref{eq5.5.16}\)) [6] resulta en un desacoplamiento de las perturbaciones solitónicas del continuo en (\(\ref{eq5.5.12}\)) a (\(\ref{eq5.5.16}\)). Para un láser muy por encima del umbral, es decir\(W_0/E_L \gg 1\), la saturación de ganancia siempre estabiliza la perturbación de amplitud y eqs. (\(\ref{eq5.5.13}\)) a (\(\ref{eq5.5.15}\)) indican fluctuaciones de fase, frecuencia y sincronización. Esto contrasta con la situación en un anillo de almacenamiento de solitones donde el amplificador láser que compensa la pérdida en el anillo está por debajo del umbral [14].

Por transformación inversa de Fourier de (\(\ref{eq5.5.16}\)) y acoplamiento débil, obtenemos para la función asociada del continuo

\[T_R \dfrac{\partial G}{\partial T} = \left [ g - l + j \Phi_0 + \dfrac{g}{\Omega_g^2} (1 - jD_n) \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - M(1 - \cos (\omega_M t)) \right ] G + \mathcal{F}^{-1} \left \{<\text{f}_k^{(+)} | Ra_0 (x)> - <\text{f}_k^{(+)} |M \omega_M \sin (\omega_M \tau x) a_0 (x) > \Delta t\right \}\label{eq5.5.18} \]

donde\(D_n\) se normaliza la dispersión a la dispersión de ganancia

Obsérvese, que la parte homogénea de la ecuación de movimiento para el continuum, que gobierna la decadencia del continuum, es la misma que la parte homogénea de la ecuación para el ruido en un anillo de almacenamiento de solitones en la posición donde no hay ningún solitón o bit presente [14]. Así, la decadencia del continuum no se ve afectada por la no linealidad, sino que existe una excitación continua del continuum por el solitón cuando los elementos perturbadores son pasados por el solitón. Así, bajo las aproximaciones anteriores, la cuestión de la estabilidad de la solución solitónica se rige completamente por la estabilidad del continuum (\(\ref{eq5.5.18}\)). Como podemos ver en (\(\ref{eq5.5.18}\)) la evolución del continuo obedece a la ecuación de bloqueo de modo activo con GVD pero con un valor para la ganancia determinada por (\(\ref{eq5.5.10}\)). En la aproximación parabólica del coseno, obtenemos nuevamente a los gaussianos hermitas como las soluciones propias para el operador de evolución pero el ancho de estas soluciones propias viene dado ahora por

\[\tau_c = \tau_a \sqrt[4] {(1 - j D_n)}. \nonumber \]

y los valores propios asociados son

\[\lambda_m = j\Phi_0 + g - l - M \omega_M^2 \tau_a^2 \sqrt{(1 - j D_n)} (m + \dfrac{1}{2}).\label{eq5.5.20} \]

La ganancia se sujeta al valor de estado estacionario dado por condition (\(\ref{eq5.5.10}\)) y obtenemos

\[\lambda_m = +j \Phi_0 + \dfrac{1}{3} \sqrt{D_g M_s} \left [\left (\dfrac{\tau_a}{\tau} \right)^2 + \dfrac{\pi^2}{4} \left (\dfrac{\tau_a}{\tau} \right)^{-2} - 6\sqrt{(1 - j D_n)} (m + \dfrac{1}{2}) \right ].\label{eq5.5.21} \]

La estabilidad se logra cuando todos los modos continuos ven una pérdida neta por ida y vuelta,\(\text{Re} \{ \lambda_m \} < 0\) para\(m \ge 0\), es decir, obtenemos de (\(\ref{eq5.5.21}\))

\[\left (\dfrac{\tau_a}{\tau} \right)^2 + \dfrac{\pi^2}{4} \left (\dfrac{\tau}{\tau_a} \right)^2 < 3 \text{Re} \{\sqrt{(1 - j D_n)} \}.\label{eq5.5.22} \]

Relation (\(\ref{eq5.5.22}\)) establece una desigualdad cuadrática para la relación de reducción de ancho de pulso\(\xi = (\tau_a/\tau)^2\), que es una medida para la reducción de ancho de pulso debido a la formación de solitones

\[\xi^2 - 3 \text{Re} \{ \sqrt{(1 - j D_n)} \} \xi + \dfrac{\pi^2}{4} < 0.\label{eq5.5.23} \]

Como es de esperar, esta desigualdad solo puede satisfacerse si tenemos una cantidad mínima de dispersión normalizada negativa para que se pueda formar un solitón en absoluto

\[D_{n, crit} = 0.652. \nonumber \]

Por lo tanto, nuestra perturbación ansatz solo da resultados significativos más allá de esta cantidad crítica de dispersión negativa. Dado que\(\xi\) compara el ancho de un gaussiano con el de un hiperbólico secante es más relevante comparar el ancho medio máximo completo de los perfiles de intensidad [?] de los pulsos correspondientes que viene dada por

\[R = \dfrac{1.66}{1.76} \sqrt{\xi}. \nonumber \]

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Kaertner, F., D. Kopf, y U. Keller. “Estabilización de pulsos solitarios y acortamiento en láseres activamente bloqueados en modo”. Revista de la Sociedad Óptica de América B 12, núm. 3 (marzo de 1995): 486.

Figura 5.9: Reducción del ancho de pulso en función de la dispersión normalizada. Por debajo\(D_{n, crit} = 0.652\) no se puede formar un solitón estable.

La Figura 5.9 muestra la reducción máxima de ancho de pulso\(R\) permitida por el criterio de estabilidad (\(\ref{eq5.5.23}\)) en función de la dispersión normalizada. El valor crítico para la reducción de ancho de pulso es\(R_{crit} \approx 1.2\). Para dispersión normalizada grande La Figura 1 muestra que el solitón puede mantenerse estable a un ancho de pulso reducido hasta en un factor de 5 cuando la dispersión normalizada puede alcanzar un valor de 200. Incluso a una dispersión negativa moderada de\(D_n = 5\), podemos lograr una reducción del ancho de pulso por un factor de 2. Para una dispersión normalizada grande el criterio de estabilidad (\(\ref{eq5.5.23}\)) se aproxima asintóticamente al comportamiento

\[\xi , \sqrt{\dfrac{9D_n}{2}} \text{ or } R< \dfrac{1.66}{1.76} \sqrt[4]{\dfrac{9D_n}{2}}.\label{eq5.5.26} \]

Así, las posibles escalas de reducción de ancho de pulso con la cuarta raíz de la dispersión normalizada indicando la necesidad de una cantidad excesiva de dispersión necesaria para mantener un solitón estable mientras se suprime el continuo. La razón física de esto es que el filtrado de ganancia y el modelocker activo continuamente arrojan energía desde el solitón hacia el continuo. Para el solitón la acción de GVD y SPM siempre está en equilibrio y mantiene la forma del pulso. Sin embargo, como puede verse en (\(\ref{eq5.5.18}\)), el continuum, que puede verse como un pulso de fondo débil, no experimenta SPM una vez que se genera y por lo tanto se propaga por GVD. Esta es también la razón por la que los estados propios del continuum consisten en pulsos gorjeados largos que escalan también con la cuarta raíz de la dispersión (\(\ref{eq5.5.20}\)). Entonces, los pulsos continuos largos sufren una pérdida mucho mayor en el modulador activo en contraste con el solitón corto que sufre ganancia reducida al pasar el medio de ganancia debido a su espectro más amplio. El solitón es estable siempre y cuando el continuo vea menos ganancia de ida y vuelta que el solitón.

En principio, al introducir una gran cantidad de dispersión negativa la teoría predeciría pulsos arbitrariamente cortos. Sin embargo, la ecuación maestra (\(\ref{eq5.5.1}\)) solo describe el sistema láser correctamente cuando los cambios no lineales del pulso por pasada son pequeños. Esto da un límite superior al desplazamiento de fase no lineal\(\Phi_0\) que puede sufrir el solitón durante un viaje de ida y vuelta. Se da con una estimación conservadora de este límite superior\(\Phi_0 = 0.1\). Entonces la acción de los operadores individuales en (\(\ref{eq5.5.1}\)) todavía puede considerarse como continua. Incluso si se consideran valores mayores para el desplazamiento de fase máximo permitido, ya que en los láseres de fibra la acción de GVD y SPM ocurre simultáneamente y por lo tanto la eq. (\(\ref{eq5.5.1}\)) puede describir el láser correctamente incluso para grandes desplazamientos de fase no lineales por ida y vuelta, uno se encontrará con inestabilidades intrínsecas de solitón y banda lateral para\(\Phi_0\) acercarse\(2\pi\) [30, 31]. Bajo la condición de un desplazamiento de fase limitado por ida y vuelta obtenemos

\[\tau^2 = \dfrac{|D|}{\Phi_0}.\label{eq5.5.27} \]

Así, a partir de (5.2.11), la definición de\(\xi\), (\(\ref{eq5.5.26}\)) y (\(\ref{eq5.5.27}\)) obtenemos para la máxima reducción posible en el ancho de pulso

\[R_{\max} = \dfrac{1.66}{1.76} \sqrt[12]{\dfrac{(9\Phi_0 /2)^2}{D_gM_s}}\label{eq5.5.28} \]

y por lo tanto para el ancho de pulso mínimo

\[\tau_{\min} = \sqrt[6] {\dfrac{2D_g^2}{9\Phi_0 M_s}} \nonumber \]

La cantidad necesaria de GVD negativa normalizada viene dada por

\[D_n = \dfrac{2}{9} \sqrt[3] {\dfrac{(9\Phi_0/2)^2}{D_gM_s}}\label{eq5.5.30} \]

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Cuadro 5.1: Reducción máxima del ancho de pulso y GVD normalizado necesario para diferentes sistemas láser. En todos los casos se utilizó para la ganancia saturada\(g = 0.1\) y el desplazamiento de fase del solitón por ida y vuelta\(\Phi_0 = 0.1\). Para los materiales de ganancia de banda ancha, la última columna indica tiempos transitorios bastante largos que requieren bloqueo de modo regenerativo.

Eqs. (\(\ref{eq5.5.28}\)) a (\(\ref{eq5.5.30}\)) constituyen los principales resultados de este trabajo, ya que permiten calcular la posible reducción de ancho de pulso y el GVD negativo necesario para un sistema láser determinado. En el cuadro (5.1) se muestra la evaluación de estas fórmulas para varios medios de ganancia y parámetros típicos del láser.

El Cuadro 5.1 muestra que la formación de solitones en láseres de modo activo bloqueado puede conducir a un acortamiento considerable del pulso, hasta un factor de 10 en Ti:zafiro. Debido a la raíz 12 en (\(\ref{eq5.5.28}\)) el acortamiento depende principalmente del ancho de banda del material de ganancia que puede cambiar en varios órdenes de magnitud para los diferentes materiales láser. La cantidad de dispersión negativa para lograr este acortamiento adicional del pulso está en un rango que se puede lograr mediante rejillas, interferómetros Gires-Tournois o prismas.

Por supuesto, en el experimento uno tiene que mantenerse alejado de estos límites para suprimir suficientemente el continuum. Sin embargo, como muestran las simulaciones numéricas, la transición de un comportamiento estable a un comportamiento inestable es notablemente nítida. La razón de esto se puede entender a partir de la estructura de los valores propios para el continuum (\(\ref{eq5.5.20}\)). La escala de tiempo para la decadencia de los transitorios viene dada por la inversa de la parte real del modo continuo fundamental que diverge en la transición a la inestabilidad. Sin embargo, una buena estimación para este tiempo transitorio viene dada por el término principal de la parte real de (\(\ref{eq5.5.20}\))

\[\dfrac{\tau_{trans}}{T_R} = \dfrac{1}{\text{Re} \{ \lambda_0 \}} \approx \dfrac{3}{\sqrt{D_g M_s} R^2}\label{eq5.5.31} \]

Este tiempo transitorio también se muestra en la Tabla (5.1) para diferentes sistemas láser. De esta manera, estos transitorios decaen, si no demasiado cerca del borde de inestabilidad, en escalas de tiempo de aproximadamente 1,000 hasta alrededor de 100,000 viajes de ida y vuelta, dependiendo fuertemente del ancho de banda de ganancia y la intensidad de modulación. En consecuencia, para primer orden los valores propios de los modos continuos, que son excitados por el lado derecho de (\(\ref{eq5.5.16}\)), son puramente imaginarios e independientes del número de modo, es decir\(\lambda_n \approx j \Phi_0\). Por lo tanto, mientras el continuo sea estable, la solución a (\(\ref{eq5.5.16}\)) viene dada por

\[G(x) = \dfrac{-j}{\Phi_0} \mathcal{F}^{-1} \left \{ < \text{f}_k^{(+)}|Ra_0 (x) > - M_s \tau^2 < \text{f}_k^{(+)}|x a_0 (x) > \dfrac{\Delta t}{\tau} \right \}. \nonumber \]

Así, en estado estacionario el continuum está en el orden de

\[|G(x)| \approx \dfrac{A_0}{\Phi_0} \dfrac{D_g}{\tau^2} = \dfrac{A_0}{D_n}.\label{eq5.5.33} \]

lo que demuestra nuevamente la dispersión del continuum por la dispersión. La ecuación (\(\ref{eq5.5.33}\)) muestra que el desplazamiento de fase no lineal del pulso solitario por ida y vuelta tiene que elegirse lo más grande posible. Esto también maximiza la dispersión normalizada, de manera que la radiación derramada desde el solitón hacia el continuo cambia la fase lo suficientemente rápido como para que el continuo en estado estacionario permanezca pequeño. Tenga en cuenta que el tamaño del continuo generado según (\(\ref{eq5.5.33}\)) es bastante independiente de la parte real del valor propio más bajo del modo continuo. Por lo tanto, la frontera a la inestabilidad está muy definida. Sin embargo, la escala de tiempo de los transitorios en la transición a la inestabilidad puede llegar a ser arbitrariamente larga. Por lo tanto, las simulaciones numéricas solo son confiables si las escalas de tiempo para transitorios en el sistema se conocen a partir de consideraciones teóricas como las derivadas anteriormente en (\(\ref{eq5.5.31}\)). El tiempo de simulación para un láser dado debe ser al menos del orden de 10 veces\(\tau_{trans}\) o incluso más largo, si se opera cerca del punto de inestabilidad, como veremos en la siguiente sección.

Simulaciones numéricas

El Cuadro 5.1 muestra que la formación de solitones en láseres de modo activo bloqueado puede conducir a un acortamiento considerable del pulso, hasta un factor de 10 en Ti:zafiro. Queremos ilustrar eso en el ejemplo de un\(\ce{Nd:YAG}\) láser, que se elige debido a su ancho de banda de ganancia moderada, y por lo tanto, su gran dispersión de ganancia. Esto limitará la reducción de ancho de pulso posible a aproximadamente 3, pero el tiempo de decaimiento del continuo (\(\ref{eq5.5.31}\)) (ver también Tabla 5.1) se encuentra entonces en un rango de 700 viajes de ida y vuelta para que el estado estacionario del láser de modo bloqueado se pueda alcanzar con un tiempo moderado de computadora, mientras que las aproximaciones involucradas siguen siendo satisfecho. Los parámetros del sistema utilizados para la simulación se muestran en la tabla 5.2. Para la simulación de eq. (\(\ref{eq5.5.1}\)) utilizamos el método estándar de transformada de Fourier de paso dividido. Aquí se incluye la acción discreta de SPM y GDD por ida y vuelta al elegir el tamaño de paso de integración para que la\(T\) integración sea el tiempo de ida y vuelta\(T_R\). Se utilizó una discretización de 1024 puntos sobre el ancho de banda de\(1THz\), lo que corresponde a una resolución en el dominio del tiempo de\(1ps\). Las siguientes figuras, muestran sólo una décima parte de la ventana simulada en tiempo y frecuencia.

Tabla 5.2: Parámetros utilizados para simulaciones numéricas

parámetro	valor
\(l\)	0.1
\(g_0\)	1
\(P_L\)	1\(W\)
\(\Omega_g\)	\(2\pi \cdot 60 GHz\)
\(\omega_M\)	\(2\pi \cdot 0.25 GHz\)
\(T_R\)	\(4ns\)
\(M\)	0.2
\(\delta\)	\(1.4 \cdot 10^{-4} W^{-1}\)
\(D\)	\(-17 ps^2 / -10 ps^2\)

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Figura 5.10: Evolución temporal de la intensidad del pulso en un\(\ce{Nd:YAG}\) láser para los parámetros del Cuadro 5.2,\(D = −17ps^2\), para los primeros 1,000 viajes de ida y vuelta en la cavidad del láser, comenzando con un pulso gaussiano de 68ps de largo.

La Figura 5.10 muestra el resultado de la simulación comenzando con un pulso gaussiano de 68 ps de longitud con una energía de pulso de\(W = 40\) nJ para\(D_n = 24\), i.e\(D = -17 \text{ps}^2\). Para el coeficiente SPM dado esto debería conducir a un acortamiento estable del pulso por un factor de\(R = 2.8\). Por lo tanto, después de al menos unos pocos miles de viajes de ida y vuelta el láser debería volver a estar en estado estacionario con un ancho de pulso FWHM de 24 ps. La Figura 5.10 muestra la evolución del pulso durante los primeros mil viajes de ida y vuelta, es decir, 4μs en tiempo real. El pulso gaussiano largo al inicio contiene una cantidad apreciable de continuo. La parte continua de la solución no experimenta el desplazamiento de fase no lineal debido a SPM en contraste con el solitón. Así, el solitón interfiere con el continuo periódicamente con el período solitón de\(T_{soliton}/T_R = 2\pi /\phi_0 = 20\pi\). Esta es la razón de las oscilaciones de la amplitud del pulso observadas en la Figura 5.10 que desaparecen con la decadencia del continuo. Obsérvese también que el pulso solitario se forma rápidamente, debido al gran desplazamiento de fase no lineal por ida y vuelta. La Figura 5.11 muestra la simulación en el dominio del tiempo y la frecuencia en 10 mil viajes de ida y vuelta El láser alcanza el estado estacionario después de cerca de 4,000 viajes de ida\(6 \times \tau_{trans}\) y vuelta que corresponde y el ancho de pulso final es de 24 ps en concordancia exacta con las predicciones de las fórmulas analíticas derivadas anteriormente.

Dispersión normalizada más baja de\(D_n = 15\) o\(D = -10 \text{ps}^2\) solo permite una reducción en el ancho de pulso por\(R = 2.68\). Sin embargo, usando la misma cantidad de SPM que antes dejamos el rango de generación de solitones estables.

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Figura 5.11: Evolución temporal de la intensidad (a) y espectro (b) para los mismos parámetros que la Figura 2 en 10 mil viajes de ida y vuelta. El láser alcanza el estado estacionario después de cerca de 4,000 redondeos.

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Figura 5.12: (a) Evolución temporal de la intensidad en un\(\ce{Nd:YAG}\) láser para los parámetros del Cuadro 5.2 en los primeros 1,000 viajes de ida y vuelta. La cantidad de dispersión negativa se reduce a\(D = −10ps^2\), comenzando de nuevo a partir de un pulso de 68ps de largo. El continuo en este caso no se desintegra como en la Figura 5.2 y 5.3 debido a la dispersión insuficiente. b) Misma simulación en 50 mil viajes de ida y vuelta.

La Figura 5.12 (a) muestra similar a la Figura 5.10 los primeros mil viajes de ida y vuelta en ese caso. Nuevamente el pulso solitario se forma rápidamente a partir del pulso inicial gaussiano largo. Pero en contraste con la situación de la Figura 5.10, el continuum ya no decae en esta escala de tiempo. La dispersión es demasiado baja para extender el continuo lo suficientemente rápido. El continuum luego se acumula en muchos viajes de ida y vuelta como se puede ver en la Figura 5.12 (b). Después de cerca de 10 mil viajes de ida y vuelta el continuo ha crecido tanto que extrae una cantidad apreciable de energía del solitón. Pero sorprendentemente los modos continuos dejan de crecer después de cerca de 30 mil viajes de ida y vuelta y se alcanza un nuevo estado cuasi estacionario.

Verificación Experimental

La teoría anterior explica muy bien los experimentos ps TI:Saphire [10] en el régimen donde los pulsos son estabilizados solo por el modelocker activo. Se utilizaron interferómetros Gires-Tournois para obtener grandes cantidades de GDD negativo para operar el láser en el régimen de solitón estable derivado anteriormente. Aquí queremos discutir con más detalle los resultados experimentales obtenidos recientemente con un láser Nd: vidrio de modo regenerativo y activamente bloqueado [7], resultando en 310 fs. Si se pudiera descuidar SPM y GVD, el modelocker débil produciría pulsos gaussianos con un FWHM de\(\tau_{a,FWHM} = 10\) ps. Sin embargo, el SPM fuerte evita la formación estable de pulsos. La dispersión negativa disponible en el experimento es demasiado baja para lograr una formación estable de solitones, debido a que el ancho de pulso del solitón a este nivel de potencia viene dado por\(\tau = 4|D|/(\delta W) = 464\) fs, para el ejemplo discutido. La dispersión normalizada no es lo suficientemente grande como para permitir una reducción de ancho de pulso tan grande. Proporcionar suficiente dispersión negativa da como resultado un pulso de 310 fs perfectamente en forma de sech, como se muestra en la Figura 5.13. Una simulación numérica de este caso requeriría millones de viajes de ida y vuelta por la cavidad hasta alcanzar un estado estacionario. Eso significa milisegundos de tiempo real, pero requeriría días de tiempo de computadora. También se ha observado la transición al comportamiento inestable, que es la ocurrencia característica de un pulso fs-solitario corto junto con un pulso ps largo debido al continuo inestable como hemos encontrado en la simulación numérica para el caso de un\(\ce{Nd:YAG}\) láser (ver Figura 5.12 (b)). La Figura 5.14 muestra la señal de un diodo detector rápido en el osciloscopio de muestreo. El detector tiene un ancho de banda general de\(25GHz\) y por lo tanto no puede resolver el pulso fs, pero puede resolver el ancho del siguiente pulso de aproximadamente 100ps de largo.

Imagen eliminada debido a restricciones de derechos de autor.

Por favor vea:
Kaertner, F., D. Kopf, y U. Keller. “Estabilización de pulsos solitarios y acortamiento en láseres activamente bloqueados en modo”. Revista de la Sociedad Óptica de América B 12, núm. 3 (marzo de 1995): 486.

Figura 5.13: Autocorrelación del pulso activamente bloqueado en modo (línea continua) y el\(sech^2\) ajuste correspondiente (línea discontinua) con formación adicional de solitones.

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Por favor vea:
Kaertner, F., D. Kopf, y U. Keller. “Estabilización de pulsos solitarios y acortamiento en láseres activamente bloqueados en modo”.

Revista de la Sociedad Óptica de América B 12, núm. 3 (marzo de 1995): 486.

Figura 5.14: Señal de muestreo del detector rápido cuando el láser de modo bloqueado opera en la transición a la inestabilidad. El pulso corto fs no puede ser resuelto por el detector y por lo tanto resulta en un pico agudo correspondiente al tiempo de respuesta del detector. Antes del pulso fs-viaja un pulso más o menos\(100ps\) largo.