5.2: Conversiones de origen

En el análisis de CC, notamos que las fuentes del mundo real tienen límites prácticos: las fuentes de voltaje no pueden producir corriente infinita y las fuentes de corriente no pueden producir voltaje infinito. Una forma sencilla de crear un modelo más preciso para fuentes independientes es incluir una resistencia interna. Para las fuentes de voltaje de CC, se agrega una resistencia en serie con la fuente, y para las fuentes de corriente CC se agrega una resistencia en paralelo con la fuente. Si bien esto funciona lo suficientemente bien para fuentes típicas de CC, la situación de CA es un poco más complicada.

Modelos para fuentes de CA

Así como agregamos una resistencia simple a las fuentes de CC para hacer modelos mejorados, podemos agregar una impedancia compleja a las fuentes de CA para hacer lo mismo. Una vez más, es posible hacer modelos aún más involucrados que serán más precisos, pero para la mayoría de los trabajos, esta adición será suficiente. Generalmente, hay variaciones más amplias en los valores para el caso de CA que para el caso de CC.

Podemos pensar en las fuentes de AC como pertenecientes a una de dos categorías amplias. Primero, hay generadores de energía, es decir, sistemas diseñados para generar y entregar energía para otros dispositivos eléctricos. Esto incluiría el sistema de red de CA en una residencia o un generador de energía portátil. En el otro extremo del espectro se encuentran fuentes de señal como transductores y sensores. Estos dispositivos son generalmente de baja potencia y no están diseñados para producir corrientes particularmente altas, todo lo contrario de los generadores.

Figura\(\PageIndex{1}\): Modelo práctico de fuente de voltaje de CA.

El modelo para una fuente de voltaje de CA agrega una impedancia en serie, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Esta impedancia establece un límite superior en la salida de corriente de la fuente. Incluso si los terminales de salida están cortocircuitados, la corriente máxima se dictará a través de la ley de Ohm para que sea la tensión de la fuente dividida por la impedancia interna, o\(E/Z_{internal}\). Obviamente, esta impedancia interna creará algún efecto divisor de voltaje con la carga adjunta. Para minimizar este efecto, la impedancia debe ser lo más pequeña posible. Por lo tanto,

\[\text{The ideal internal impedance of a voltage source is zero ohms (a short).} \nonumber \]

No siempre es posible acercarse a este ideal. De hecho, en algunas situaciones la fuente de CA está muy alejada de la ideal.

Considere la fuente de señal que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Esta es una pastilla para un bajo eléctrico. Este dispositivo se utiliza para traducir los movimientos de las cuerdas de guitarra en un voltaje que puede ser alimentado a un amplificador. Consiste en unos pocos miles de vueltas de alambre magnético muy fino envuelto alrededor de un imán.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una pastilla para bajo eléctrico (cubierta quitada).

Cuando las cuerdas de guitarra de metal vibran, alteran el campo magnético circundante. A medida que cambia el campo magnético, induce una corriente, y por lo tanto una tensión, en la bobina. La señal resultante es un análogo eléctrico de las vibraciones de la cuerda. Es, literalmente, una fuente de señal de CA. Pero, ¿qué pasa con su impedancia interna? La bobina está hecha de alambre entre AWG 40 y 45, y puede tener más de 1000 pies (300 metros) de longitud. Consultando una tabla AWG ¹, encontramos que esto producirá 1000 o más ohmios de resistencia. Por supuesto, unos pocos miles de vueltas de alambre también crearán una inductancia considerable y pastillas como esta pueden exhibir una inductancia de unos pocos henries. Al juntar estas piezas, la impedancia interna equivalente podría parecerse a la que se muestra en la Figura 5.3.

Figura\(\PageIndex{3}\): Ejemplo de impedancia interna de pastilla de guitarra.

Claramente, valores como estos están muy lejos de los valores de ohmios fraccionarios que se encuentran en las fuentes de generación de energía, y presentan desafíos únicos. En el circuito de la Figura\(\PageIndex{3}\), el componente etiquetado\(Z_{in}\) representa la impedancia de entrada del amplificador asociado. Normalmente, sería altamente resistiva pero la magnitud puede variar bastante dependiendo de la aplicación. Un amplificador de guitarra o bajo puede exhibir 1 M\(\Omega\) o más, mientras que una entrada auxiliar en un estéreo doméstico podría ser de 10 k\(\Omega\). ¿Qué pasa si conectas una guitarra a tu equipo de alta fidelidad? Obviamente, este sistema crea un divisor de voltaje entre la impedancia interna del captador y la impedancia de entrada del amplificador, pero lo que es más importante, el divisor es una función de la frecuencia. A frecuencias bajas como 100 Hz, la reactancia inductiva es pequeña, alrededor\(j600 \Omega \), y la pérdida de señal a una\(\Omega\) entrada de 10 k no es tan grande. Por otro lado, a una frecuencia alta como 10 kHz, la reactancia inductiva estará sobre\(j60 k\Omega \) dando como resultado una pérdida de señal considerable. Así, las frecuencias altas se reducen en relación con las frecuencias bajas. El efecto sónico es similar a rechazar el control de agudos — todo parecerá amortiguado. Si la impedancia de entrada se incrementa considerablemente, digamos en un factor de 100, entonces el efecto divisor de voltaje en todas las frecuencias audibles será insignificante y el instrumento sonará verdadero para formar. Finalmente, aunque este ejemplo muestra una inductancia sustancial, es posible que las fuentes de CA tengan una capacitancia asociada, o incluso tengan una reactancia insignificante (es decir, ser puramente resistivas).

Para una fuente de corriente, el modelo mejorado agrega una impedancia en paralelo, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). Esta impedancia establece un límite superior en la salida de voltaje de la fuente. Si se abren los terminales de salida, el voltaje máximo ya no producirá un voltaje enorme. En cambio, está dictado por la ley de Ohm que sea la corriente fuente multiplicada por la impedancia interna, o\(I\cdot Z_{internal}\). Esta impedancia interna creará algún efecto divisor de corriente con la carga adjunta. Para minimizar este efecto, la impedancia interna debe ser lo más grande posible. Por lo tanto,

\[\text{The ideal internal impedance of a current source is infinite ohms.} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{4}\): Modelo práctico de fuente de corriente alterna.

A partir de aquí, cada vez que tratamos con fuentes prácticas de voltaje y corriente, entendemos que estas fuentes tienen alguna resistencia interna asociada, aunque no se muestren explícitamente en un diagrama esquemático. Además, siempre que hablamos de fuentes ideales, simplemente usamos un cortocircuito para la impedancia interna de una fuente de voltaje y un abierto para la impedancia interna de una fuente de corriente.

Equivalencias de origen

Para cualquier fuente de voltaje consistente en una fuente de voltaje ideal con una impedancia interna en serie, se puede crear una fuente de corriente equivalente. De manera similar, para cualquier fuente de corriente que consiste en una fuente de corriente ideal con una impedancia interna paralela, se puede crear una fuente de voltaje equivalente. Por “equivalente”, queremos decir que ambos circuitos producirán el mismo voltaje y corriente para cargas idénticas. Considere la fuente de voltaje simple en el lado izquierdo de la Figura\(\PageIndex{5}\). Su fuente de corriente equivalente se muestra a la derecha.

Figura\(\PageIndex{5}\): Una fuente simple de voltaje AC (izquierda) y fuente de corriente correspondiente (derecha).

Por razones que se harán evidentes bajo la sección sobre el teorema de Thévenin que sigue, las impedancias internas de estos dos circuitos deben ser idénticas para que se comporten de manera idéntica. Sabiendo eso, es un proceso sencillo encontrar los valores requeridos de la otra fuente. La característica de corriente/voltaje es lineal para estos circuitos, y una línea de trazado recta se puede definir por solo dos puntos. Los dos puntos obvios a utilizar son los casos de carga abiertos y cortocircuitados. Es decir, si el circuito es equivalente para estas dos situaciones, debe funcionar para cualquier carga. El caso de carga en cortocircuito produce una corriente de carga grande con voltaje de carga cero, y el caso de carga abierto produce un voltaje de carga grande con corriente de carga cero. No tendría sentido que la fuente equivalente pudiera producir una mayor corriente o voltaje bajo las mismas condiciones extremas que el original.

Por ejemplo, dada una fuente de voltaje, la corriente que se puede desarrollar cuando la carga está cortocircuitada es\(E/Z_{internal}\). Bajo esa misma condición de carga, toda la corriente de la versión de fuente actual debe estar fluyendo a través de la carga (de lo contrario, la carga no se cortocircuitará). Por lo tanto, el valor de la fuente de corriente equivalente debe ser la corriente de\(E/Z_{internal}\). Tenga en cuenta que la fuente resultante normalmente no tendrá el mismo ángulo de fase que la fuente original debido al ángulo de fase de la impedancia asociada.

Para continuar, si miramos el caso de carga abierto para la fuente de voltaje, la corriente de carga sería cero y el voltaje de carga sería el voltaje de fuente completo de\(E\). Para la fuente de corriente, la carga tampoco vería corriente y su voltaje sería el voltaje que aparece a través de su resistencia interna que es\(Z_{internal}\) veces la corriente\(E/Z_{internal}\), o simplemente\(E\). Así, los dos se comportan de manera idéntica en los límites de carga.

Del mismo modo, si comenzamos con una fuente de corriente, una carga abierta produce un voltaje de carga de\(I\cdot Z_{internal}\). Por lo tanto, la fuente de voltaje equivalente debe tener un valor de\(I\cdot Z_{internal}\). Para la fuente de corriente, una carga en cortocircuito produciría una corriente de carga igual al valor de la fuente, o\(I\). La versión de fuente de voltaje produciría una corriente de\(E/Z_{internal}\), donde el valor de recién se encontró que\(E\) era igual a\(I\cdot Z_{internal}\), y así la corriente de carga sería\(I\cdot Z_{internal}/Z_{internal}\), o simplemente\(I\). Una vez más, las dos versiones se comportan de manera idéntica en los límites de carga.

Cambiar la frecuencia de la fuente da como resultado diferentes valores tanto para la reactancia como para la tensión o corriente de fuente convertida, por lo que el equivalente es válido solo para la frecuencia en cuestión.

Para resumir el proceso de conversión de fuentes:

• La impedancia interna será la misma para ambas versiones.
• Si se convierte de una fuente de voltaje a una fuente de corriente, el valor de la fuente de corriente será la corriente de cortocircuito disponible de la fuente de voltaje (es decir, caso de carga en cortocircuito), y es igual a\(E/Z_{internal}\).
• Si se convierte de una fuente de corriente a una fuente de voltaje, el valor de la fuente de voltaje será el voltaje de circuito abierto disponible de la fuente de corriente (es decir, caja de carga abierta), y es igual a\(I\cdot Z_{internal}\).
• El equivalente es único a la frecuencia de la fuente.

Si se está convirtiendo una fuente múltiple (es decir, fuentes de voltaje en serie o fuentes de corriente en paralelo), primero combine las fuentes para llegar a la fuente más simple y luego haga la conversión. No convierta primero las fuentes y luego intente combinarlas ya que terminará con configuraciones serie-paralelo en lugar de fuentes simples.

El uso juicioso de las conversiones de fuentes a veces puede simplificar los circuitos multifuente al permitir que las fuentes convertidas se combinen, lo que resulta en una sola fuente

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Convertir la fuente de Figura\(\PageIndex{6}\) en su equivalente de fuente de corriente. \(E = 2 \angle 0^{\circ}\)voltios RMS.

Figura\(\PageIndex{6}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Primero, la impedancia existente de\(80 − j60 \Omega\) no cambia, simplemente se mueve a una posición paralela. Para encontrar el valor de la fuente de corriente, compute la corriente de cortocircuito que la fuente existente es capaz de producir.

\[I = \frac{E}{Z} \nonumber \]

\[I = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{80 − j 60\Omega} \nonumber \]

\[I = 0.02\angle 36.9^{\circ} A \nonumber \]

El resultado se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). La fuente de corriente es de 20 mA RMS con un ángulo de fase de avance de 36.9 grados.

Figura\(\PageIndex{7}\): Fuente de corriente equivalente a la fuente de la Figura\(\PageIndex{6}\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Convertir la fuente de Figura\(\PageIndex{8}\) en su fuente de voltaje equivalente. \(I = 0.1\angle 0^{\circ}\)pico de amperios.

Figura\(\PageIndex{8}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

Nuevamente, la impedancia interna de\(100 + j20 \Omega\) no cambia y simplemente la colocamos en serie. Para encontrar el valor de la fuente de voltaje, encuentre el voltaje de circuito abierto que la fuente existente es capaz de producir.

\[E = I\times Z \nonumber \]

\[E = 0.1\angle 0^{\circ} A\times (100 +j 20\Omega ) \nonumber \]

\[E \approx 10.2 \angle 11.3^{\circ} V \nonumber \]

El equivalente se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\). La fuente de voltaje\(E\) es de 10.2 voltios pico con un ángulo de fase principal de 11.3 grados.

Figura\(\PageIndex{9}\): Fuente de voltaje equivalente a la fuente de la Figura\(\PageIndex{8}\).

Simulación por Computadora

Para verificar este proceso, los circuitos de Figuras\(\PageIndex{8}\) y\(\PageIndex{9}\) son ingresados a un simulador. El circuito original simplemente especificó una reactancia inductiva por lo que se utilizó una frecuencia conveniente de 1 kHz y luego se creó un inductor apropiado que produciría la reactancia deseada de\(j20 \Omega\). Esto resultó en 3.183 Mh. Además, se seleccionó una resistencia de carga aleatoria (200\(\Omega\)) y se aplicó a ambos circuitos. El resultado se muestra en la Figura 5.10.

Figura\(\PageIndex{10}\): Los circuitos de Figuras\(\PageIndex{8}\) y\(\PageIndex{9}\) en un simulador.

Si estos dos circuitos son equivalentes, entonces los voltajes vistos a través de las 200 resistencias de\(\Omega\) carga deben ser idénticos. Estos voltajes corresponden a los voltajes de nodo 12 y 8. Un cálculo rápido del divisor de voltaje muestra que el voltaje de carga debe ser aproximadamente pico de\(6.785\angle 7.5^{\circ}\) voltios.

Se realiza un análisis transitorio, trazando los voltajes de carga. Los resultados se muestran en la Figura\(\PageIndex{11}\). La trama en sí se retrasa un milisegundo para superar el transitorio de encendido inicial. Además, el circuito de fuente de corriente se desplaza aproximadamente 2 microsegundos. Sin este ligero desplazamiento en el tiempo, los dos voltajes se superponen perfectamente para que aparezca que solo hay una traza. Al mirar cuidadosamente la gráfica se puede ver que efectivamente hay dos rastros. Las amplitudes de estas formas de onda coinciden perfectamente entre sí y también coinciden con el resultado calculado.

Figura\(\PageIndex{11}\): Resultados de simulación para la conversión de origen.

Ahora volvamos nuestra atención al uso de la conversión de fuentes para simplificar y resolver un circuito multifuente.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{12}\), determinar\(v_b\). \(I = 2E−3\angle 90^{\circ}\)pico de amperios y pico de\(E = 10\angle 0^{\circ}\) voltios.

Figura\(\PageIndex{12}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

Un método de solución es transformar la fuente de voltaje en una fuente de corriente. Al hacerlo, todo el circuito se reduce a una red paralela. Las dos fuentes de corriente se pueden sumar y los tres componentes restantes se pueden combinar en una impedancia paralela equivalente. En ese punto se puede utilizar la ley de Ohm para encontrar\(v_b\).

El valor de la fuente de corriente es:

\[I_c = \frac{E}{Z} \nonumber \]

\[I_c = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{27 k \Omega} \nonumber \]

\[I_c = 0.3704E-3\angle 0^{\circ} A \nonumber \]

El circuito convertido se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\) (en azul).

Figura\(\PageIndex{13}\): Circuito de Figura\(\PageIndex{12}\) con fuente convertida.

La combinación de las dos fuentes de corriente y el uso de una dirección de referencia ascendente produce:

\[I_{total} = I_c−I \nonumber \]

\[I_{total} = 0.3704E-3\angle 0^{\circ} A−2E-3\angle 90^{\circ} A \nonumber \]

\[I_{total} = 2.034E-3\angle −79.5^{\circ} A \nonumber \]

La impedancia combinada es:

\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{X_C} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \nonumber \]

\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 10 k\Omega} + \frac{1}{27k \Omega} + \frac{1}{5.6k \Omega}} \nonumber \]

\[Z_{total} = 4208\angle −24.9 ^{\circ} \Omega \nonumber \]

Y finalmente calculamos\(v_b\):

\[v_b = I_{total} \times Z_{total} \nonumber \]

\[v_b = 2.034E-3\angle −79.5^{\circ} A\times 4208\angle −24.9^{\circ} \Omega \nonumber \]

\[v_b = 8.56\angle −104.4 ^{\circ} V \nonumber \]

Podemos realizar una comprobación cruzada KCL en el nodo\(b\) para verificar los resultados en el circuito original. Dadas las direcciones de referencia, todas las corrientes fluyen fuera del nodo excepto la corriente suministrada por la fuente de voltaje.

\[i_{Esource} = \frac{E−v_b}{R_1} \nonumber \]

\[i_{Esource} = \frac{10\angle 0^{\circ} V−8.56\angle −104.4 ^{\circ} V}{27 k\Omega} \nonumber \]

\[i_{Esource} = 0.544E-3\angle 34.4^{\circ} A \nonumber \]

Las tres corrientes restantes deberían sumar a este valor.

\[i_{capacitor} = \frac{v_b}{X_C} \nonumber \]

\[i_{capacitor} = \frac{8.56 \angle −104.4 ^{\circ} V}{− j 10 k\Omega} \nonumber \]

\[i_{capacitor} = 0.856E-3\angle −14.4^{\circ} A \nonumber \]

\[i_{R2} = \frac{v_b}{R_2} \nonumber \]

\[i_{R2} = \frac{8.56 \angle −104.4 ^{\circ} V}{5.6k \Omega} \nonumber \]

\[i_{R2} = 1.53E-3\angle −104.4^{\circ} A \nonumber \]

Finalmente,\(0.856E−3\angle −14.4^{\circ} + 1.53E−3\angle −104.4^{\circ} + 2E−3\angle 90^{\circ}\) amperios de hecho iguala\(0.544E−3\angle 34.4^{\circ}\) amperios, dentro del error de redondeo llevado.

Referencias

¹ Como el que se encuentra en el Capítulo 2 del texto complementario, DC Electrical Circuit Analysis, un texto de REA libre complementario del autor.