5.3: Teorema de superposición
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La superposición permite el análisis de circuitos multifuente de CA serie-paralelo. La superposición solo se puede aplicar a redes que sean lineales y bilaterales. Afortunadamente, todos los componentes que hemos comentado; resistencias, capacitores e inductores, caen dentro de esa categoría. Además, la superposición no se puede utilizar para encontrar valores para funciones no lineales, como la potencia, directamente. Sin embargo, esto no es una limitación porque la potencia se puede calcular a partir de los valores de voltaje o corriente resultantes.
La idea básica es determinar la contribución de cada fuente por sí misma, y luego combinar los resultados para obtener la respuesta final. Las contribuciones son ya sea todas las tensiones o todas las corrientes, dependiendo de la necesidad. Podemos afirmar el teorema de superposición como:
Teorema\(\PageIndex{1}\): Superposition Theorem
Cualquier voltaje o corriente en una red bilateral lineal multifuente puede determinarse sumando las contribuciones causadas por cada fuente actuando sola, con todas las demás fuentes reemplazadas por su impedancia interna.
El proceso genera una serie de nuevos circuitos de fuente única, uno para cada fuente. Estos nuevos circuitos son luego analizados para determinar el parámetro o parámetros de interés.
Considera el circuito representado en la Figura\(\PageIndex{1}\).
Aquí vemos dos fuentes de voltaje,\(E1\) y\(E2\), impulsando una red serie-paralelo de tres elementos. Como hay dos fuentes, se deben crear dos circuitos derivados; uno usando solo\(E1\) y el otro usando solo\(E2\). Al considerar una fuente dada, todas las demás fuentes son reemplazadas por su impedancia interna ideal: para una fuente de voltaje, eso es un corto; y para una fuente de corriente, una abierta. Empezamos por considerar\(E1\). En el nuevo circuito\(E2\) se sustituye por un cortocircuito. Esto deja una red bastante sencilla donde\(X_C\) y\(X_L\) están en paralelo. Esta combinación está en serie con\(R\) y\(E1\). Usando técnicas básicas de serie-paralelo, podemos resolver las cantidades deseadas, como la corriente que fluye a través\(R\) o el voltaje\(v_b\). Es importante indicar la dirección de la corriente de referencia y la polaridad del voltaje con respecto a la fuente que se está considerando (aquí, es de izquierda a derecha y positiva, respectivamente). El proceso se repite entonces para\(E2\), cortocircuitando\(E1\) y dejándonos con\(R\) en paralelo con\(X_C\), que a su vez está en serie con\(X_L\) y\(E2\). Tenga en cuenta que aunque en esta versión\(V_b\) sigue siendo positiva, la dirección actual de referencia para ahora\(R\) es de derecha a izquierda. Los resultados numéricos de esta versión se suman a los de la\(E1\) versión (mentando polaridades y direcciones) para lograr el resultado final. Si se necesita energía, se puede calcular a partir de estas corrientes o voltajes. Tenga en cuenta que la superposición puede funcionar con una mezcla de fuentes de corriente y fuentes de voltaje. La desventaja práctica es que para los circuitos grandes que utilizan muchas fuentes, se necesitarán analizar numerosos circuitos derivados. Por ejemplo, si hay tres fuentes de voltaje y dos fuentes de corriente, entonces se crearán un total de cinco circuitos derivados.
También es posible utilizar la superposición para encontrar las corrientes o voltajes resultantes en un circuito que utiliza fuentes con diferentes frecuencias. En esta instancia, los circuitos equivalentes tendrán diferentes valores de reactancia. De hecho, se puede analizar una sola fuente no sinusoidal utilizando este método tratando la fuente como una serie de ondas sinusoidales superpuestas, produciendo cada fuente sinusoidal un nuevo circuito con sus propios valores de reactancia únicos.
Para resumir la técnica de superposición:
- Para cada fuente de voltaje o corriente en el circuito original, cree un nuevo subcircuito. Los subcircuitos serán idénticos al original excepto que todas las fuentes distintas de la que se esté considerando serán reemplazadas por su impedancia interna ideal. Esto significa que todas las fuentes de voltaje restantes estarán cortocircuitadas y todas las fuentes de corriente restantes se abrirán.
- Indicar las direcciones de corriente de referencia y las polaridades de voltaje en cada uno de los nuevos subcircuitos, generadas por la fuente bajo consideración.
- Resuelva cada uno de los subcircuitos para los voltajes y/o corrientes deseados utilizando técnicas estándar de análisis serie-paralelo. Asegúrese de anotar las polaridades de voltaje de referencia y las direcciones de corriente para estos elementos.
- Sumar todas las contribuciones de cada uno de los subcircuitos para llegar a los valores finales, asegurándose de tener en cuenta las direcciones de corriente y las polaridades de voltaje en el proceso.
Para ilustrar la técnica de superposición, reexaminemos el circuito de doble fuente mostrado en la Figura 5.2.12 (repetido en la Figura\(\PageIndex{2}\) para facilitar la referencia). Esto lo resolveremos usando superposición y compararemos los resultados con los del Ejemplo 5.2.3 que utilizó la conversión fuente.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\), determine\(v_b\) usando superposición. \(I = 2E−3\angle 90^{\circ}\)pico de amperios y pico de\(E = 10\angle 0^{\circ}\) voltios.
Como el circuito tiene dos fuentes, requerirá dos subcircuitos. Para la fuente de voltaje, la fuente de corriente será reemplazada por una fuente abierta. Para el segundo circuito que utiliza la fuente de corriente, la fuente de voltaje será reemplazada por un cortocircuito. Primero, usando la fuente de voltaje encontramos:
Para este circuito, se\(v_b\) puede determinar a través de un divisor de voltaje. Para proceder, necesitamos la impedancia del combo paralelo a la derecha.
\[Z_{right2} = \frac{R\times jX_C}{R − jX_C} \nonumber \]
\[Z_{right2} = \frac{5.6 k\Omega \times (− j 10 k\Omega )}{5.6 k\Omega − j 2k \Omega} \nonumber \]
\[Z_{right2} = 4886\angle −29.2^{\circ} \Omega \nonumber \]
Ahora para el divisor de voltaje para encontrar la contribución de la primera fuente a\(v_b\).
\[v_{b1} = E \frac{Z_{right2}}{Z_{right2} + R_1} \nonumber \]
\[v_{b1} = 10 \angle 0^{\circ} V \frac{4886\angle −29.2^{\circ} \Omega}{4886\angle −29.2^{\circ} \Omega +27 k \Omega} \nonumber \]
\[v_{b1} = 1.558\angle −24.88^{\circ} V \nonumber \]
Volvemos nuestra atención a la contribución de la fuente actual. Cortamos la fuente de voltaje y redibujamos:
Se trata de un circuito paralelo simple. Podemos encontrar\(v_b\) colocando las resistencias y condensadores en paralelo, y luego usando la ley de Ohm. Tenga en cuenta que la dirección de referencia de la fuente de corriente es hacia abajo, lo que significa que la corriente del componente es ascendente, lo que hace\(v_b\) negativo (es decir, + a − de abajo hacia arriba). La impedancia paralela es:
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{X_C} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \nonumber \]
\[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 10 k\Omega} + \frac{1}{27k \Omega} + \frac{1}{5.6k \Omega}} \nonumber \]
\[Z_{total} = 4208\angle −24.9 ^{\circ} \Omega \nonumber \]
Aplicamos la ley de Ohm para encontrar la contribución de esta fuente a\(v_b\).
\[v_{b2} = I\times Z_{total} \nonumber \]
\[v_{b2} =−2E-3\angle 90^{\circ} A\times 4208\angle −24.9^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[v_{b2} = 8.416\angle −114.9^{\circ} V \nonumber \]
El resultado final es la suma de las dos partes:
\[v_b = v_{b1} +v_{b2} \nonumber \]
\[v_b = 1.558\angle −24.88^{\circ} V +8.416\angle −114.9 ^{\circ} V \nonumber \]
\[v_b = 8.558\angle −104.4 ^{\circ} V \nonumber \]
Este es prácticamente el mismo valor obtenido usando la técnica de conversión de fuente en el ejemplo anterior.
Como se mencionó anteriormente, la superposición se puede utilizar para determinar los resultados incluso cuando las fuentes utilizan diferentes frecuencias. Esto se explorará en el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\), determinar\(v_b\).
Usando superposición, derivamos dos nuevos circuitos, cada uno con valores de reactancia únicos. El primer circuito se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\).
Los valores de reactancia son:
\[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]
\[X_L = j 2\pi 1kHz 50mH \nonumber \]
\[X_L\approx j 314.2\Omega \nonumber \]
\[X_C =− j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]
\[X_C =− j \frac{1}{2 \pi 1kHz 750 nF } \nonumber \]
\[X_C \approx − j 212.2\Omega \nonumber \]
Se puede utilizar un divisor de voltaje para encontrar esta porción de\(v_b\). El combo paralelo de la\(\Omega\) resistencia y el condensador de 2 k es\(211\angle −83.9^{\circ} \Omega\).
\[v_{b1} = E \frac{Z_{right2}}{Z_{right2} + X_L} \nonumber \]
\[v_{b1} = 10 \angle 0^{\circ} V \frac{211\angle −83.9^{\circ} \Omega}{211\angle −83.9^{\circ} \Omega +314.2\angle 90 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[v_{b1} = 19.78\angle −161.9 ^{\circ} V \nonumber \]
Recuerde, esta forma de onda está a una frecuencia de 1 kHz. Podemos repetir este proceso para la segunda fuente que utiliza 10 kHz. A esta nueva frecuencia la reactancia inductiva será diez veces mayor, o\(j3142 \Omega\), y la reactancia capacitiva será diez veces menor, o\(−j21.22 \Omega\). El nuevo circuito se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\).
Una vez más, se puede utilizar un divisor de voltaje para encontrar esta porción de\(v_b\). El combo paralelo de la\(\Omega\) resistencia de 2 k y el inductor es\(1687\angle 32.5^{\circ} \Omega\).
\[v_{b2} = E \frac{Z_{left2}}{Z_{left2} + X_C} \nonumber \]
\[v_{b2} = 2\angle 0^{\circ} V \frac{1687\angle 32.5^{\circ} \Omega}{1687\angle 32.5^{\circ} \Omega +21.22\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[v_{b2} = 2.01\angle 0.6^{\circ} V \nonumber \]
Esta contribución es a una frecuencia de 10 kHz. Por lo tanto, la combinación es un seno relativamente pequeño de 10 kHz a aproximadamente 2 voltios pico montado en un seno de 1 kHz que es casi diez veces mayor en amplitud. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\).
Simulación por Computadora
Para verificar la forma de onda de dos componentes del Ejemplo\(\PageIndex{2}\), el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\).
Se realiza un análisis transitorio. Los resultados se ilustran en la Figura\(\PageIndex{10}\).
Los resultados coinciden muy bien con los valores calculados. Podemos ver la onda sinusoidal de alta frecuencia de pequeña amplitud siguiendo de manera efectiva el contorno de la onda sinusoidal mucho más grande de 1 kHz.