10.3: Potencia disipada por un dipolo eléctrico corto
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La potencia entregada a una antena por una fuente conectada a los terminales es nominalmente radiada. Sin embargo, es posible que alguna fracción de la potencia entregada por la fuente se disipe dentro de la antena. En esta sección, consideramos la disipación debido a la conductividad finita de los materiales que componen la antena. Específicamente, determinamos la potencia total disipada por una antena de dipolo eléctrico corto (ESD) en respuesta a una corriente sinusoidalmente variable aplicada a los terminales de la antena. (La EDS se introduce en la Sección 9.5, y se sugiere una revisión de esa sección antes de intentar esta sección.) El resultado nos permite determinar la eficiencia de radiación y es un paso hacia la determinación de la impedancia de la ESD.
Considere una ESD centrada en el origen y alineada a lo largo del\(z\) eje. En la Sección 9.5, se muestra que la distribución actual es:
\[\widetilde{I}(z) \approx I_0 \left(1-\frac{2}{L}\left|z\right|\right) \label{m0208_eI} \]
donde\(I_0\) (Unidades base SI de A) es una constante de valor complejo que indica la magnitud y fase de corriente máxima, y\(L\) es la longitud de la ESD. Esta distribución de corriente puede interpretarse como un conjunto de segmentos discretos muy cortos de corriente de magnitud constante (a veces denominados “dipolos hertzianos”). En esta interpretación, el segmento\(n^{th}\) actual se ubica en\(z=z_n\) y tiene magnitud\(\widetilde{I}(z_n)\).
Ahora supongamos que el material que comprende el ESD es un buen conductor homogéneo. Entonces cada segmento exhibe la misma resistencia\(R_{seg}\). Posteriormente, la potencia disipada en el\(n^{th}\) segmento es
\[P_{seg}(z_n) = \frac{1}{2}\left|\widetilde{I}(z_n)\right|^2 R_{seg} \label{m0208_ePseg1} \]
La resistencia del segmento se puede determinar de la siguiente manera. Supongamos que el cable que comprende el ESD tiene una sección transversal circular de radio\(a\). Dado que el cable es un buen conductor, la resistencia del segmento se puede calcular usando la Ecuación 4.2.17 (Sección 4.2, “Impedancia de un Cable”):
\[R_{seg} \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}} \cdot \frac{\Delta l}{a} \nonumber \]
donde\(\mu\) es permeabilidad,\(f\) es frecuencia,\(\sigma\) es conductividad, y\(\Delta l\) es la longitud del segmento. La sustitución en Ecuación\ ref {M0208_EpSeg1} rinde:
\[P_{seg}(z_n) \approx \frac{1}{4a} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}} \left|\widetilde{I}(z_n)\right|^2 \Delta l \nonumber \]
Ahora la potencia total disipada en la antena,\(P_{loss}\), se puede expresar como la suma de la potencia disipada en cada segmento:
\[P_{loss} \approx \sum_{n=1}^N { \left[ \frac{1}{4a} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}} \left|\widetilde{I}(z_n)\right|^2 \Delta l \right] } \nonumber \]
donde\(N\) es el número de segmentos. Esto puede ser reescrito de la siguiente manera:
\[P_{loss} \approx \frac{1}{4a} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}} \sum_{n=1}^N { \left|\widetilde{I}(z_n)\right|^2 \Delta l } \nonumber \]
Reduciendo\(\Delta l\) a la longitud diferencial\(dz'\), podemos escribir esto en la siguiente forma integral:
\[P_{loss} \approx \frac{1}{4a} \sqrt{\frac{\mu f}{\pi \sigma}} \int_{z'=-L/2}^{+L/2} { \left|\widetilde{I}(z')\right|^2 dz' } \nonumber \]
Vale la pena señalar que la expresión anterior se aplica a cualquier antena de cable recto de longitud\(L\). Para la ESD específicamente, la distribución actual viene dada por la Ecuación\ ref {M0208_EI}. Haciendo la sustitución:
\ begin {align} P_ {pérdida} &\ approx\ frac {1} {4a}\ sqrt {\ frac {\ mu f} {\ pi\ sigma}}\ int_ {z'=-L/2} ^ {+L/2} {\ izquierda|i_0\ izquierda (1-\ frac {2} {L}\ izquierda|z'\ derecha|\ derecha)\ derecha |^2 dz'}\ nonumber\\ &\ approx\ frac {1} {4a}\ sqrt {\ frac {\ mu f} {\ pi\ sigma}}\ izquierda|i_0\ derecha|^2\ int_ {z'=-L/2} ^ {+L/2} {\ izquierda|1-\ frac {2} {L}\ izquierda|z' \ derecha|\ derecha|^2 dz'}\ end {align}
La integral es sencilla de resolver, aunque un poco tediosa. Se encuentra que la integral es igual a\(L/3\), por lo que obtenemos:
\ begin {align} P_ {pérdida} &\ approx\ frac {1} {4a}\ sqrt {\ frac {\ mu f} {\ pi\ sigma}}\ izquierda|i_0\ derecha|^2\ cdot\ frac {L} {3}\ nonumber\\ &\ approx\ frac {L} {12a}\ sqrt {\ frac {\ frac {\ mu f} {\ pi\ sigma}}\ izquierda|I_0\ derecha|^2\ etiqueta {M0208_ploss2}\ end {align}
Ahora volvamos a la interpretación de la ESD como componente de circuito. Hemos encontrado que aplicar la corriente\(I_0\) a los terminales da como resultado la potencia disipada indicada en la Ecuación\ ref {M0208_PloS2}. Una fuente de corriente que impulsa el ESD no percibe la distribución de corriente de la ESD ni percibe la potencia variable a lo largo de la ESD. En cambio, la fuente de corriente percibe solo una resistencia neta\(R_{loss}\) tal que
\[P_{loss} = \frac{1}{2}\left|I_0\right|^2 R_{loss} \label{m0208_Pnet} \]
Comparando Ecuaciones\ ref {M0208_PloS2} y\ ref {M0208_PNet}, encontramos
\ begin {align}\ boxed {R_ {loss}\ approx\ frac {L} {6a}\ sqrt {\ frac {\ mu f} {\ pi\ sigma}}}\ label {m0208_erloss}\ end {align}
La potencia disipada dentro de una ESD en respuesta a una corriente sinusoidal\(I_0\) aplicada en los terminales es\(\frac{1}{2}\left|I_0\right|^2 R_{loss}\) donde\(R_{loss}\) (Ecuación\ ref {M0208_erloss}) es la resistencia percibida por una fuente aplicada a los terminales de la ESD.
Tenga en cuenta que no\(R_{loss}\) es la impedancia de la ESD. \(R_{loss}\)es simplemente la contribución de la pérdida interna a la impedancia de la ESD. La impedancia de la ESD también debe tener en cuenta las contribuciones de la resistencia a la radiación (una contribución adicional de valor real) y el almacenamiento de energía (percibida como una reactancia). Estas cantidades se abordan en otras secciones de este libro.
Un dipolo mide 10 cm de longitud, 1 mm de radio y está rodeado de espacio libre. La antena se compone de aluminio que tiene conductividad\(\approx 3.7 \times 10^7\) S/m y\(\mu\approx\mu_0\). Una corriente sinusoidal que tiene frecuencia 30 MHz y magnitud pico 100 mA se aplica a los terminales de antena. ¿Cuál es la potencia disipada dentro de esta antena?
Solución
La longitud de onda\(\lambda=c/f \cong 10\) m, entonces\(L = 10~\mbox{cm} \cong 0.01\lambda\). Esto ciertamente califica como eléctricamente corto, por lo que podemos usar la ecuación\ ref {M0208_erloss}. En el presente problema,\(a=1\) mm y\(\sigma\approx 3.7 \times 10^7\) S/m. Así, encontramos que la resistencia a la pérdida\(R_{loss} \approx 9.49~\mbox{m}\Omega\). Posteriormente, la potencia disipada dentro de esta antena es
\[P_{loss} = \frac{1}{2}\left|I_0\right|^2 R_{loss} \approx \underline{47.5~\mu\mbox{W}} \nonumber \]
Concluimos esta sección con una advertencia adicional: Mientras que esta sección se centra en la conductividad limitada del alambre, otros mecanismos físicos pueden contribuir a la resistencia a la pérdida de la ESD. En particular, los materiales utilizados para recubrir la antena o para proporcionar soporte mecánico cerca de los terminales pueden absorber y disipar potencialmente la energía que de otro modo podría irradiarse.