1.8: Paredes Eléctricas y Magnéticas

Los límites impuestos por los conductores y la interfaz entre los dieléctricos definen la estructura de modo (es decir, orientación de los campos) soportada por una línea de transmisión. Comprender los campos en las interfaces proporciona la intuición requerida para comprender los límites de frecuencia operativa de estructuras distribuidas como las líneas de transmisión.

1.8.1 Pared eléctrica

Una pared eléctrica está formada por un conductor ideal, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), donde hay cargas eléctricas en la superficie del conductor. Considerar que el conductor de la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) lleva una corriente de densidad\(J\) y carga de densidad\(\rho_{V}\). A medida que la conductividad del conductor llega al infinito, el conductor se convierte en un conductor perfecto y forma una pared eléctrica, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). La corriente y la carga ahora ocupan la piel misma del conductor en la interfaz a la región por encima de la cual hay espacio libre o un dieléctrico. Se puede entender el comportamiento de los campos en la interfaz

Figura\(\PageIndex{1}\): Propiedades de una pared eléctrica: (a) el campo eléctrico es perpendicular a un conductor y el campo magnético es paralelo a éste y es ortogonal a la corriente; (b) un conductor puede ser aproximado por una pared eléctrica; (c) cilindro utilizado para derivar el campo eléctrico normal; (d) cilindro utilizado para mostrar que el campo eléctrico tangencial es cero; (e) contorno utilizado para derivar el campo magnético tangencial en la\(y\) dirección; y (f) contorno utilizado para derivar los campos magnéticos\(z\) - y\(x\) -dirigidos (son cero).

considerando las superficies y volúmenes de integración mostrados en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c y d). El cilindro de la Figura\(\PageIndex{1}\) (c) con altura\(h\) y diámetro\(d\) permite aplicar la ley de Gauss (Ecuación (1.6.6)). Como\(h\longrightarrow 0\) (\(h\)acercándose a cero), la ecuación (1.6.6) rinde

\[\label{eq:1}\oint_{s}\overline{\mathcal{D}}d\mathbf{s}=D_{z}\frac{1}{4}\pi d^{2}=\int_{v}\rho_{v}dv=Q_{\text{enclosed}}=\rho_{S}\frac{1}{4}\pi d^{2} \]

donde\(\rho_{S}\) está la densidad de carga superficial (en unidades SI de\(\text{C/m}^{2}\)) y así

\[\label{eq:2}D_{z}=\rho_{S} \]

Ahora considerando el cilindro en la Figura\(\PageIndex{1}\) (d), nuevamente como\(h\longrightarrow 0\),

\[\begin{align} \oint_{s}\overline{\mathcal{D}}d\mathbf{S}&=D_{x}\frac{1}{4}\pi d^{2}=\int_{v}\rho_{v}dv=Q_{\text{enclosed}} \nonumber \\ \label{eq:3}&=\rho_{S}\pi dh\longrightarrow 0\end{align} \]

Es decir,

\[\label{eq:4}D_{x}=0 \]

Cambiando la orientación del cilindro, se puede ver que

\[\label{eq:5}D_{y}=0 \]

Por lo que el campo eléctrico es normal a la superficie del conductor.

Las propiedades del campo magnético en la pared eléctrica pueden deducirse de la ley circuital de Faraday y la ley Biot—Savart (Ecuación (1.6.5)). Considera el contorno rectangular que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (e) con altura\(h\) y ancho\(w\). Con\(h\longrightarrow 0\), sólo el componente\(y\) -dirigido del campo magnético contribuirá al campo magnético estático integral de la ley de Faraday, por lo que a partir de la Ecuación (1.6.8),

\[\label{eq:6}\oint_{\ell}\overline{H}\cdot d\ell =H_{y}w =I_{\text{enclosed}}=J_{S}w \]

donde\(J_{S}\) está la densidad de corriente superficial (con unidades SI de\(\text{A/m}\)) y

\[\label{eq:7}H_{y}=J_{S} \]

Para el campo orientado en la\(x\) dirección, se puede utilizar el contorno rectangular que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (f), pero ahora no hay corriente encerrada por el contorno, de manera que con\(h\longrightarrow 0\),

\[\label{eq:8}\oint_{\ell}=\overline{H}\cdot d\ell =H_{x}w=I_{\text{enclosed}}=0 \]

y

\[\label{eq:9}H_{x}=0 \]

\(H_{z}\)aún no ha sido considerado. Nuevamente, usando el rectángulo de la Figura\(\PageIndex{1}\) (f) y con\(w\longrightarrow 0\),

\[\label{eq:10}\oint_{\ell}\mathbf{H}\cdot d\ell =H_{z}h=I_{\text{enclosed}}=0 \]

y

\[\label{eq:11}H_{z}=0 \]

Esto también podría haberse derivado de la ley Biot—Savart (Ecuación (1.6.5)). Inmediatamente por encima de la pared eléctrica\(R\longrightarrow 0\) y sólo contribuye el filamento de corriente inmediatamente por debajo del campo magnético. Así\(a_{R}\) es normal a la superficie por lo que\(\mathbf{H}\) será perpendicular a la corriente, pero en el plano de la corriente.

Al reunir los resultados, los campos EM inmediatamente encima de la pared eléctrica tienen las siguientes propiedades:

Nota

El campo E es perpendicular a la pared eléctrica.

\[D_{\text{normal}}=\rho_{S},\text{ the surface charge density.}\nonumber \]

El campo H es paralelo a la pared eléctrica.

\[H_{\text{parallel}}=J_{S},\text{ the surface current densty.}\nonumber \]

1.8.2 Pared Magnética

No existe una verdadera pared magnética, pero se aproxima por la interfaz entre dos dieléctricos (como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\)) cuando la permitividad de los dieléctricos difiere de manera que\(\varepsilon_{2} ≫ \varepsilon_{1}\). Considerando la región dieléctrica superior, el modelo de pared magnética puede entonces introducirse en la interfaz entre los dos dieléctricos, completo con cargas magnéticas y densidad de corriente magnética,\(M\). La situación es análoga a la situación de la pared eléctrica con los papeles de los campos eléctrico y magnético intercambiados. Los campos EM inmediatamente encima de la pared magnética tienen las siguientes propiedades:

Nota

El campo H es perpendicular a la pared magnética.

\[H_{\text{normal}}=\rho_{mS},\text{ the surface magnetic charge density.}\nonumber \]

El campo E es paralelo a la pared magnética.

\[E_{\text{parallel}}=J_{mS},\text{ the surface magnetic current density.}\nonumber \]

Figura\(\PageIndex{2}\): Propiedades del campo EM en una pared magnética: (a) la interfaz de dos dieléctricos de permitividades contrastantes se aproxima a una pared magnética con el campo magnético perpendicular a la interfaz y el campo eléctrico paralelo a ella; (b) el dieléctrico con menor permitividad puede ser aproximado como un conductor magnético; y (c) el conductor magnético forma una pared magnética en la interfaz con el material con mayor permitividad.

	Campo eléctrico	Campo magnético
Pared eléctrica	Normal	Paralelo
Pared magnética	Paralelo	Normal

Tabla\(\PageIndex{1}\): Propiedades de las paredes eléctricas y magnéticas.

Lo que constituye una buena pared magnética es objeto de debate, ya que el contraste entre los dieléctricos no es tan grande como el contraste entre la conductividad de un buen conductor y la de un buen dieléctrico. Sin embargo, es un concepto esencial para comprender el acoplamiento de señales y aproximar las líneas de transmisión para obtener una comprensión intuitiva.

El resumen que se utiliza en el texto para entender el multimodo se da en la Tabla\(\PageIndex{1}\).