5.5: Líneas de transmisión acopladas simétricas

En esta sección, se considera que los modos par e impar definen líneas de transmisión independientes. El desarrollo se restringe a un par simétrico de líneas acopladas; es decir, cada línea de transmisión del par es idéntica. Así, las tiras tienen la misma autoinductancia\(L_{s} = L_{11} = L_{22}\), y autocapacitancia\(C_{s} = C_{11} = C_{22}\), donde el subíndice\(s\) significa “yo”. \(L_{m} = L_{12} = L_{21}\)y\(C_{m} = C_{12} = C_{21}\) son la inductancia mutua y capacitancia de las líneas, y el subíndice\(m\) significa “mutuo”. Las ecuaciones (5.3.1) — (5.3.4) pueden escribirse así como

\[\label{eq:1}\frac{dV_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{s}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{m}I_{2}(x) \]

\[\label{eq:2}\frac{dV_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{m}I_{1}(x)-\jmath\omega L_{s}I_{2}(x) \]

\[\label{eq:3}\frac{dI_{1}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{s}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{m}V_{2}(x) \]

\[\label{eq:4}\frac{dI_{2}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{m}V_{1}(x)-\jmath\omega C_{s}V_{2}(x) \]

El modo par se define como el modo correspondiente a que ambos conductores estén al mismo potencial y transporten las mismas corrientes:\(^{1}\)

\[\label{eq:5}V_{1}=V_{2}=V_{e}\quad\text{and}\quad I_{1}=I_{2}=I_{e} \]

El modo impar se define como el modo correspondiente a que los conductores estén en potenciales opuestos con respecto al conductor de referencia y transportando corrientes de igual amplitud pero de signo opuesto:\(^{2}\)

\[\label{eq:6}V_{1}=-V_{2}=V_{o}\quad\text{and}\quad I_{1}=-I_{2}=I_{o} \]

A continuación se describen las características de los dos modos posibles de las líneas de transmisión acopladas. Para el modo par, de Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) y\(\eqref{eq:2}\),

\[\label{eq:7}\frac{d}{dx}\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] =-\jmath\omega\left[ L_{m}+L_{s}\right]\left[ I_{1}(x)+I_{2}(x)\right] \]

que se convierte

\[\label{eq:8}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}+L_{m})I_{e}(x) \]

Del mismo modo, utilizando Ecuaciones\(\eqref{eq:3}\) y\(\eqref{eq:4}\),

\[\label{eq:9}\frac{d}{dx}\left[I_{1}(x)+I_{2}(x)\right]=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})\left[V_{1}(x)+V_{2}(x)\right] \]

que a su vez se convierte

\[\label{eq:10}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}+C_{m})V_{e}(x) \]

Definir la inductancia y capacitancia de modo par\(L_{e}\) y\(C_{e}\), respectivamente, como

\[\label{eq:11}L_{e}=L_{s}+L_{m}=L_{11}+L_{12}\quad\text{and}\quad C_{e}=C_{s}+C_{m}=C_{11}+C_{12} \]

conduce a las ecuaciones del telégrafo de modo par:

\[\label{eq:12}\frac{dV_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega L_{e}I_{e}(x) \]

y

\[\label{eq:13}\frac{dI_{e}(x)}{dx}=-\jmath\omega C_{e}V_{e}(x) \]

A partir de estos, se puede encontrar la impedancia característica de modo par,

\[\label{eq:14}Z_{0e}=\sqrt{\frac{L_{e}}{C_{e}}}=\sqrt{\frac{L_{s}+L_{m}}{C_{s}+C_{m}}} \]

y también la velocidad de fase de modo par,

\[\label{eq:15}v_{pe}=\frac{1}{\sqrt{L_{e}C_{e}}} \]

Las características de la operación en modo impar de la línea de transmisión acoplada se pueden determinar en un procedimiento similar al utilizado para el modo par. Usando Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) —\(\eqref{eq:4}\), las ecuaciones del telégrafo de modo impar se convierten en

\[\label{eq:16}\frac{dV_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (L_{s}-L_{m})I_{o}(x) \]

y

\[\label{eq:17}\frac{dI_{o}(x)}{dx}=-\jmath\omega (C_{s}-C_{m})V_{o}(x) \]

Definir\(L_{o}\) y\(C_{o}\) para el modo impar tal que

\[\label{eq:18}L_{o}=L_{s}-L_{m}=L_{11}-L_{12}\quad\text{and}\quad C_{o}=C_{s}-C_{m}=C_{11}-C_{12} \]

entonces la impedancia característica de modo impar es

\[\label{eq:19}Z_{0o}=\sqrt{\frac{L_{o}}{C_{o}}}=\sqrt{\frac{L_{s}-L_{m}}{C_{s}-C_{m}}} \]

y la velocidad de fase de modo impar es

\[\label{eq:20}v_{po}=\frac{1}{\sqrt{L_{o}C_{o}}} \]

Ahora para un chequeo de cordura. Si las tiras individuales están ampliamente separadas,\(L_{m}\) y se\(C_{m}\) volverán muy pequeñas\(Z_{0e}\) y y\(Z_{0o}\) serán casi iguales. A medida que las tiras se acercan,\(L_{m}\) y se\(C_{m}\) harán más grandes\(Z_{0e}\) y y\(Z_{0o}\) divergirán. Esto es como se esperaba.

5.5.1 Capacitancias en modo impar y modo par

En la sección anterior se utilizaron las capacitancias en modo par e impar para dos líneas de microcinta acopladas, teniendo las tiras una sección transversal igual para que cada tira tuviera las mismas autocapacitancias. En esta sección se elimina esta restricción y los resultados se aplican a cualquier par de líneas acopladas en cualquier tecnología y de cualquier sección transversal. Los resultados permiten determinar las capacitancias de la matriz de capacitancia a partir de cálculos de las cargas en las líneas. Ecuaciones de repetición (5.3.18) y (5.3.19),

\[\label{eq:21}Q_{1}=C_{11}V_{1}+C_{12}V_{2}\quad\text{and}\quad Q_{2}=C_{21}V_{1}+C_{22}V_{2} \]

la matriz de capacitancia es

\[\label{eq:22}\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}{C_{11}}&{C_{12}}\\{C_{21}}&{C_{22}}\end{array}\right] \]

En el modo par\(V_{1} = V_{2} = V_{e}\) y así las cargas de modo par en tira\(\mathsf{1}\) y tira\(\mathsf{2}\) son

\[\label{eq:23}Q_{1e} = (C_{11} + C_{12}) V_{e}\quad\text{and}\quad Q_{2e} = (C_{21} + C_{22}) V_{e} \]

respectivamente. Definir la carga de modo par como

\[\label{eq:24}Q_{e} = (Q_{1e} + Q_{2e}) /2 \]

entonces la carga de modo par se convierte en

\[\label{eq:25}Q_{e} = V_{e}(C_{11} + C_{22} + C_{12} + C_{21})/2 \]

Esto conduce a la capacitancia de modo par por unidad de longitud,

\[\label{eq:26}C_{e} = Q_{e}/V_{e} = (C_{11} + C_{22} + C_{12} + C_{21})/2 \]

Del mismo modo, en el modo impar\(V_{o} = V_{1} = −V_{2}\), y las cargas de modo impar en tira\(\mathsf{1}\) y tira\(\mathsf{2}\) son

\[\label{eq:27}Q_{1o} = (C_{11} − C_{12}) V_{o}\quad\text{and}\quad Q_{2o} = (C_{21} − C_{22}) V_{o} \]

respectivamente. La carga en modo impar es entonces

\[\label{eq:28}Q_{o} = (Q_{1o} − Q_{2o}) /2=(C_{11} + C_{22} − C_{12} − C_{21}) V_{o}/2 \]

La capacitancia de modo impar es

\[\label{eq:29}C_{o} = Q_{o}/V_{o} = (C_{11} + C_{22} − C_{12} − C_{21})/2 \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Parallel Line Capacitance

El software EM se puede utilizar para determinar los parámetros de modo par e impar de una línea acoplada. Esto generalmente se hace estableciendo los voltajes de fasor en la línea acoplada y evaluando las cargas de fasor. Considere un par de líneas de microcinta acopladas como en la Figura 5.2.4. El voltaje aplicado a la tira izquierda se designa como\(V_{1}\) y el voltaje aplicado a la tira derecha es\(V_{2}\). La carga fasora en las tiras son\(Q_{1}\) y\(Q_{2}\), respectivamente. El análisis se repite, pero esta vez con el sustrato eliminado, y así estableciendo la situación de espacio libre. En este caso los cargos se denotan por\(Q_{01}\) y\(Q_{02}\). La matriz de mediciones (basadas en computadora) es la siguiente:

Caso	\(V_{1}\:(\text{V})\)	\(V_{2}\:(\text{V})\)	\(Q_{1}\:(\text{pC/m})\)	\(Q_{2}\:(\text{pC/m})\)	\(Q_{01}\:(\text{pC/m})\)	\(Q_{02}\:(\text{pC/m})\)
A	\ (V_ {1}\: (\ text {V})\) ">\(1\)	\ (V_ {2}\: (\ text {V})\) ">\(-1\)	\ (Q_ {1}\: (\ text {pC/m})\) ">\(70\)	\ (Q_ {2}\: (\ text {pC/m})\) ">\(-80\)	\ (Q_ {01}\: (\ text {pC/m})\) ">\(22.2\)	\ (Q_ {02}\: (\ text {pC/m})\) ">\(-24.7\)
B	\ (V_ {1}\: (\ text {V})\) ">\(1\)	\ (V_ {2}\: (\ text {V})\) ">\(1\)	\ (Q_ {1}\: (\ text {pC/m})\) ">\(30\)	\ (Q_ {2}\: (\ text {pC/m})\) ">\(40\)	\ (Q_ {01}\: (\ text {pC/m})\) ">\(2.82\)	\ (Q_ {02}\: (\ text {pC/m})\) ">\(5.32\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

1. ¿Qué es la matriz de capacitancia de dos puertos?
2. ¿Cuál es la capacitancia de modo par?
3. ¿Cuál es la capacitancia en modo impar?
4. ¿Qué es la matriz de capacitancia de dos puertos de espacio libre (sin dieléctrico)?
5. ¿Cuál es la capacitancia de modo par en espacio libre?
6. ¿Cuál es la capacitancia en modo impar de espacio libre?
7. ¿Cuál es la permitividad relativa efectiva en modo par?
8. ¿Cuál es la permitividad relativa efectiva en modo impar?
9. Tenga en cuenta que tanto el modo impar como el modo par son modos TEM, por lo que la velocidad de fase en la situación de espacio libre es\(c\). Determine las inductancias de modo impar y de modo par por unidad de longitud en el espacio libre.
10. Tenga en cuenta que las inductancias no cambian cuando se reemplaza el dieléctrico. ¿Cuál es la impedancia de modo par?
11. ¿Cuál es la impedancia de modo impar?
12. ¿Cuál es la velocidad de fase de modo par?
13. ¿Cuál es la velocidad de fase en modo impar?

Solución

1. Comience considerando la sección transversal de una línea acoplada que se muestra a la derecha y use las ecuaciones básicas que relacionan las cargas en la línea con las tensiones en ellas:
   
   Figura\(\PageIndex{1}\)
   \[Q_{1} = C_{11}V_{1} + C_{12}V_{2}\quad\text{and}\quad Q_{2} = C_{21}V_{1} + C_{22}V_{2}\nonumber \]
   y considere dos conjuntos de voltaje condiciones.
   Caso A: Esta es la excitación impar,\(V_{1} = 1\text{ V}\)\(V_{2} = −1\text{ V}\) y y las cargas son
   \[\label{eq:30}Q_{1A} = C_{11} − C_{12} \]
   y
   \[\label{eq:31}Q_{2A} = C_{21} − C_{22} \]
   Caso B: Esta es la excitación par,\(V_{1} = V_{2} = 1\text{ V}\) y las cargas son
   \[\label{eq:32}Q_{1B}=C_{11}+C_{12} \]
   y
   \[\label{eq:33}Q_{2B}=C_{21}+C_{22} \]
   Sumando ecuaciones\(\eqref{eq:30}\) y\(\eqref{eq:32}\) resultados en
   \[\label{eq:34}Q_{1A} + Q_{1B} = 2C_{11},\quad\text{thus}\quad C_{11} =\frac{1}{2}(Q_{1A} + Q_{1B}) = (70 + 30)/2\text{ pF/m} = 50\text{ pF} \]
   Restar la ecuación de los\(\eqref{eq:32}\) rendimientos\(\eqref{eq:30}\) de la ecuación
   \[\label{eq:35}Q_{1B} − Q_{1A} = 2C_{12},\quad\text{thus}\quad C_{12} =\frac{1}{2}(Q_{1B} − Q_{1A}) =\frac{1}{2}(30 − 70)\text{ pF/m} = −20\text{ pF/m} \]
   Por reciprocidad,\(C_{21} = C_{12} = −20\text{ pF/m}\).
   Restar la ecuación\(\eqref{eq:31}\) de\(\eqref{eq:33}\) los resultados de la ecuación en
   \[\label{eq:36}Q_{2B} − Q_{2A} = 2C_{22},\quad\text{thus}\quad C_{22} = \frac{1}{2} (Q_{2B} − Q_{2A}) =\frac{1}{2} (40 + 80)\text{ pF/m} = 60\text{ pF/m} \]
   Así, la matriz de capacitancia por unidad de longitud de la línea acoplada es
   \[\label{eq:37}\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cc}{C_{11}}&{C_{21}}\\{C_{12}}&{C_{22}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{50}&{-20}\\{-20}&{60}\end{array}\right]\text{ pF/m} \]
2. Capacitancia de modo par,\(C_{e}\):
   El modo par tiene\(V_{1} = V_{2}\) y el voltaje de modo par es\(V_{e} = (V_{1} + V_{2})/2\).
   La carga de modo par es\(Q_{e} = (Q_{1} + Q_{2})/2 = (30 + 40)/2\text{ pC/m} = 35\text{ pC/m}\), entonces
   \[\label{eq:38}C_{e}=Q_{e}/V_{e}=35\text{ pF/m} \]
3. Capacitancia de modo impar,\(C_{o}\):
   El voltaje de modo impar es\(V_{o} = (V_{1} − V_{2})/2\) y la carga de modo impar es\(Q_{o} = (Q_{1} − Q_{2})/2\). Con\(V_{1} = +1\text{ V}\) y\(V_{2} = −1\text{ V},\: V_{0} = 1\),
   \[\label{eq:39}Q_{o} = \frac{1}{2} [70 − (−80)]\text{ pC/m} = 75\text{ pC/m},\quad\text{thus}\quad C_{o} = Q_{0}/V_{0} = 75\text{ pF/m} \]
4. Usando un procedimiento similar al de (a), pero ahora usando los cálculos de carga de espacio libre,\(Q_{01}\) y\(Q_{02}\) da como resultado la matriz de capacitancia unitaria:
   \[\label{eq:40}\mathbf{C}_{0}=\left[\begin{array}{cc}{12.5}&{-9.69} \\ {-9.69}&{15.0}\end{array}\right]\text{ pF/m} \]
5. \(C_{e0} = 4.07\text{ pF/m}\)
6. \(C_{o0} = 23.5\text{ pF/m}\)
7. \(\varepsilon_{re} = C_{e}/C_{e0} = 35/4.07 = 8.6\)
8. \(\varepsilon_{ro} = C_{o}/C_{o0} = 75/23.5=3.2\)
9. Velocidad de fase,\(v_{p} = 1/\sqrt{LC}\). Sin dieléctrico, la velocidad de fase es\(c\):
   \[v_{p} = c = 1/\sqrt{L_{0}C_{0}}\to L_{0} = 1/(c^{2}C_{0})\nonumber \]
   y la inductancia de espacio libre de modo impar es
   \[\label{eq:41}L_{o0} = 1/(c^{2} C_{o0}) = 1/\left[(3\cdot 10^{8})^{2}\: 23.5\cdot 10^{−12}\right]\text{ H/m} = 473\text{ nH/m} \]
   La inductancia de modo par en espacio libre es
   \[\label{eq:42}L_{e0} = 1/(c^{2} C_{e0})= 1/\left[(3\cdot 10^{8})^{2}\:\cdot 4.07\cdot 10^{−12}\right]\text{ H/m} = 2.73\:\mu\text{H/m} \]
10. \(Z_{0} =\sqrt{L_{0}/C_{0}};\: L_{o} = L_{o0}\quad Z_{0} =\sqrt{473\cdot 10^{−9}/ (75\cdot 10^{−12})}\:\Omega = 79.4\:\Omega\)
11. \(Z_{e} = \sqrt{L_{e}/C_{e}} ⇒ Z_{e} =\sqrt{2.73\cdot 10^{−6}/ (35\cdot 10^{−12})}\:\Omega = 279\:\Omega\)
12. \(v_{pe} = 1/\sqrt{L_{e}C_{e}} = (2.73\cdot 10^{−6}\cdot 35\cdot 10^{−12})^{-\frac{1}{2}} = 1.023\cdot 10^{8}\text{ m/s}\)
13. \(v_{po} = 1/\sqrt{L_{o}C_{o}} = (473\cdot 10^{−9}\cdot 75\cdot 10^{−12})^{-\frac{1}{2}} = 1.68\cdot 10^{8}\text{ m/s}\)

Notas al pie

[1] Aquí\(I_{e} = (I_{1} + I_{2})/2\) y\(V_{e} = (V_{1} + V_{2})/2\). La razón por la que\(I_{e} = I_{1} + I_{2}\) no se utiliza la definición supuestamente igualmente válida es que la definición adoptada da como resultado la forma deseable de la impedancia característica de modo par.

[2] Aquí\(I_{o} = (I_{1} − I_{2})/2\) y\(V_{o} = (V_{1} − V_{2})/2\).