5.6: Fórmulas para Impedancia de Líneas Microstrip Acopladas

Las fórmulas para la impedancia característica y permitividad efectiva de líneas de microcinta acopladas simétricas, con la sección transversal mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\), fueron desarrolladas por Hammerstad y Jensen [2] con base en el concepto de modos par e impar. Las fórmulas son precisas a mejor que\(1\%\) para\(0.1 ≤ u ≤ 10\) y\(g > 0.01\), donde\(u\) está el ancho normalizado, y\(g\) es el hueco normalizado:

\[\label{eq:1}u=w/h\quad g=s/h \]

A continuación,\(Z_{0}\) y\(\varepsilon_{e}\) se refieren a la impedancia característica y permitividad efectiva de una línea de microcinta individual con un ancho normalizado de\(u\) sobre un sustrato con una constante dieléctrica relativa de\(\varepsilon_{r}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Sección transversal de líneas de microcinta acopladas simétricamente.

5.6.1 Parámetros de Línea Acoplada de Modo Par

La impedancia característica de modo uniforme es

\[\label{eq:2}Z_{0e}(u,g)=Z_{01e}(u,g)/\sqrt{\varepsilon_{ee}(u, g,\varepsilon_{r})} \]

donde\(\varepsilon_{ee}\) está la permitividad relativa efectiva del modo par y\(Z_{01e}\) es la impedancia característica de modo par con el dieléctrico reemplazado por espacio libre:

\[\label{eq:3}Z_{01e}(u,g)=\frac{Z_{0}(u)}{1-Z_{0}(u)\phi_{e}(u,g)/\eta_{0}} \]

donde

\[\label{eq:4}\phi_{e}(u,g)=\frac{\varphi(u)}{\psi(g)\{\alpha(g)u^{m(g)}+[1-\alpha(g)]u^{-m(g)}\}} \]

y\(\eta_{0} = 376.73\:\Omega\approx 377\:\Omega\) es la impedancia característica de una onda TEM en vacío (es decir, espacio libre). Ahora\(Z_{0}(u)\) es la impedancia característica de espacio libre de una línea de microcinta individual y viene dada por la Ecuación (3.5.13). En Ecuaciones\(\eqref{eq:2}\) y\(\eqref{eq:3}\), la permitividad efectiva del modo par es

\[\label{eq:5}\varepsilon_{ee}(u,g,\varepsilon_{r})=\frac{\varepsilon_{r}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{r}-1}{2}F_{e}(u,g,\varepsilon_{r}) \]

donde

\[\begin{align}\label{eq:6}F_{e}(u,g,\varepsilon_{r})&=\left[1+\frac{10}{\mu(u,g)}\right]^{-a(u)b(\varepsilon_{r})} \\ \label{eq:7} a(u)&=1+\frac{1}{49}\ln\left[\frac{u^{4}+\{u/52\}^{2}}{u^{4}+0.432}\right]+\frac{1}{18.7}\ln\left[1+\left(\frac{u}{18.1}\right)^{3}\right] \\ \label{eq:8} b(\epsilon_{r})&=0.564\left[\frac{\epsilon_{r}-0.9}{\epsilon_{r}+3}\right]^{0.053} \\ \label{eq:9}\varphi(u)&=0.8645u^{0.172} \\ \label{eq:10}\psi(g)&=1+\frac{g}{1.45}+\frac{g^{2.09}}{3.95} \\ \label{eq:11}\alpha(g)&=0.5\exp(-g) \\ \label{eq:12}m(g)&=0.2175+\left[4.113+\left(\frac{20.36}{g}\right)^{6}\right]^{-0.251}+\frac{1}{323}\ln\left[\frac{g^{10}}{1+(g/13.8)^{10}}\right] \\ \label{eq:13}\mu(u,g)&=g\exp (-g)+\frac{u(20+g^{2})}{10+g^{2}}\end{align} \]

5.6.2 Parámetros de línea acoplada en modo impar

La impedancia característica de modo impar es

\[\label{eq:14}Z_{0o}(u,g)=Z_{01o}(u,g)/\sqrt{\varepsilon_{eo}(u,g,\varepsilon_{r})} \]

donde\(\varepsilon_{eo}\) es la permitividad relativa efectiva del modo impar y\(Z_{01o}\) es la impedancia característica de modo impar con el dieléctrico reemplazado por espacio libre:

\[\label{eq:15}Z_{01o}(u,g)=\frac{Z_{0}(u)}{1-Z_{0}(u)\phi_{o}(u,g)/\eta_{0}} \]

\(Z_{0}(u)\)es la impedancia característica de espacio libre de una línea de microcinta individual y viene dada por la Ecuación (3.5.13). En Ecuaciones\(\eqref{eq:14}\) y\(\eqref{eq:15}\), la permitividad efectiva del modo impar es

\[\label{eq:16}\varepsilon_{eo}(u,g,\varepsilon_{r})=\frac{\varepsilon_{r}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{r}-1}{2}F_{o}(u,g,\varepsilon_{r}) \]

donde

\[\begin{align}\label{eq:17}F_{o}(u,g,\varepsilon_{r})&=f_{o}(u,g,\varepsilon_{r})(1+10/u)^{-a(u)b(\varepsilon_{r})} \\ \label{eq:18}\phi_{o}(u,g)&=\phi_{e}(u,g)-\frac{\theta(g)}{\psi(g)}\exp\left[\beta(g)u^{n(g)}\ln(u)\right] \\ \label{eq:19}\theta(g)&=1.729+1.175\ln\left(1+\frac{0.627}{g+0.327g^{2.17}}\right) \\ \beta(g)&=0.2306+\frac{1}{301.8}\ln\left[\frac{g^{10}}{1+(g/3.73)^{10}}\right] \\ \label{eq:20} &\quad+\frac{1}{5.3}\ln(1+0.646g^{1.175}) \\ n(g)&=\left\{\frac{1}{17.7}+\exp[-6.424-0.76\ln(g)-(g/0.23)^{5}]\right\} \\ \label{eq:21}&\quad\times\ln\left(\frac{10+68.3g^{2}}{1+32.5g^{3.093}}\right) \\ \label{eq:22}f_{o}(u,g,\varepsilon_{r})&=f_{o1}(g,\varepsilon_{r})\exp\left[p(g)\ln(u)+q(g)\sin\left(\pi\frac{\ln u}{\ln 10}\right)\right] \\ \label{eq:23} p(g)&=\exp(-0.745g^{0.295})/ \cosh(g^{0.68}) \\ \label{eq:24}f_{o1}(g,\varepsilon_{r})&=1-\exp\left\{-0.179g^{0.15}-\frac{0.328g^{r(g,\varepsilon_{r})}}{\ln[\exp(1)+(g/7)^{2.8}]}\right\} \\ \label{eq:25}r(g,\varepsilon_{r})&=1+0.15\left\{1-\frac{\exp[1-(\varepsilon_{r}-1)^{2}/8.2]}{1+g^{-6}}\right\} \\ \label{eq:26}q(g)&=\exp(-1.366-g) \end{align} \]

\(a(u),\: b(\varepsilon_{r}),\)y\(\psi(g)\) son los mismos que para el modo par (ver Sección 5.6.1).

5.6.3 Impedancia del sistema de líneas acopladas

La impedancia del sistema de un par de líneas acopladas es

\[\label{eq:27}Z_{0S}=\sqrt{Z_{0e}Z_{0o}} \]

Esto se deriva en la Sección 5.7.1 donde se muestra que no habrá reflexiones en modo impar, y las reflexiones de modo par serán pequeñas, en los puertos de un par de líneas acopladas simétricas si cada línea del acoplador direccional termina en una impedancia\(Z_{0S}\). Es decir,\(Z_{0S}\) es la impedancia requerida para hacer coincidir. \(Z_{0}\)es la impedancia característica de una línea individual del par simétrico de líneas acopladas (cuando no hay acoplamiento) y sólo está cerca de\(Z_{0S}\) cuando la separación,\(s\), de las líneas es grande.

5.6.4 Discusión

Las impedancias características normalizadas de modo par e impar de un par de líneas acopladas se representan en la Figura\(\PageIndex{2}\) para varias anchuras normalizadas\(u\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Impedancias características normalizadas de modo par y modo impar de un par de líneas de microcinta acopladas\((\epsilon_{r} = 10)\).

\((= w/h)\)y en función del ancho de hueco normalizado\(g (= s/h)\). Esta gráfica ilustra la utilidad de usar descripciones de modo par e impar. En la Figura\(\PageIndex{2}\), las impedancias de modo par e impar se normalizan a la impedancia característica de una línea individual,\(Z_{0}\). Cuando las líneas están muy separadas (es decir,\(g\) es grande), las impedancias de modo par e impar convergen a la impedancia característica de una sola línea. A medida que las líneas se acercan, la brecha se estrecha y las impedancias de modo par e impar divergen en direcciones opuestas. Para obtener las impedancias características de una línea acoplada se debe encontrar la impedancia característica de una sola línea de microcinta. Esto se dio en la Sección 3.5.3 y el resultado clave se repite en la Figura\(\PageIndex{3}\).

En el modo par, más del campo está en el dieléctrico que con el modo impar. Por lo tanto, no es sorprendente que las permitividades efectivas de los dos modos difieran. Las permitividades efectivas normalizadas de línea acoplada se muestran en la Figura\(\PageIndex{4}\). La desviación de las permitividades de modo par e impar a medida que se estrecha la brecha entre las líneas no es tan grande como el cambio en la impedancia característica. Además, existe una diferencia en las velocidades de fase de los dos modos a lo largo de la línea, y esto tiene un efecto apreciable en el rendimiento de componentes como filtros que utilizan líneas acopladas como componente funcional. En la primera lectura de la trama (\(\PageIndex{4}\)) parecería que hay un comportamiento no monótono a baja\(g\). Este es un artefacto de la normalización utilizada, y las permitividades no normalizadas son ciertamente monótonas con respecto a ambos\(u\) y\(g\).

La\(\PageIndex{5}\) figura representa, en función de la separación normalizada\(g\), y para permitividades de sustrato que van desde\(4\) hasta\(20\), las impedancias características de modo par y modo impar normalizadas a la impedancia característica de una sola tira para extremos de anchuras normalizadas (\(u = 0.5\) y\(u = 5\)). La figura destaca que la división de las impedancias características de modo par e impar depende casi exclusivamente de la geometría (es decir, la separación de las tiras) y no de la permitividad del sustrato. En la figura se utiliza la normalización apropiada para resaltar este hecho. Hay cuatro familias de curvas,

Figura\(\PageIndex{3}\): Impedancia característica normalizada y permitividad efectiva normalizada de una línea de microcinta en función de\(u = w/h\). Por ejemplo, si\(u = 1\) y\(\varepsilon_{r} = 10\), entonces de la figura,\(Z_{0}\sqrt{\varepsilon_{e}} = 126\:\Omega\) y\(\varepsilon_{e}/\varepsilon_{r} = 0.671\); así\(Z_{0} = 48.6\:\Omega\) y\(\varepsilon_{e} = 6.71\).

Figura\(\PageIndex{4}\): permitividad efectiva normalizada en modo par y modo impar de un par de líneas de microcinta acopladas. La permitividad efectiva de una línea de microcinta individual con el mismo ancho normalizado\(u\) es\(\varepsilon_{e}\).

dos para las impedancias características de modo par y dos para las impedancias características de modo impar. Cada familia comprende los resultados de tres permitividades muy diferentes del dieléctrico (específicamente\(\varepsilon_{r} = 4,\: 10,\) y\(20\)).

Figura\(\PageIndex{5}\): Impedancias características normalizadas de modo par y modo impar de un par de líneas de microcinta acopladas para extremos de\(u\). Cada familia de tres curvas es para\(\varepsilon_{r} = 4,\: 10,\) y\(20\). \(Z_{0}\)es la impedancia característica de una línea de microcinta individual con el mismo ancho normalizado,\(u = w/h\). Las tiras tienen igual anchura.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Even- and Odd-Mode Parameters

Una línea acoplada se construye sobre un sustrato de alúmina de espesor\(500\:\mu\text{m}\) y permitividad relativa\(\varepsilon_{r} = 10\). Las líneas son\(500\:\mu\text{m}\) anchas y la separación de brechas es\(250\:\mu\text{m}\). ¿Cuáles son las impedancias características de modo par e impar y las permitividades efectivas de la línea acoplada?

Solución

La impedancia característica de modo impar\(Z_{0o}\), y la impedancia característica de modo par\(Z_{0e}\), se pueden encontrar usando Figuras\(\PageIndex{2}\) y\(\PageIndex{3}\). Ahora

\[u = w/h = (500\:\mu\text{m})/(500\:\mu\text{m}) = 1\quad\text{and}\quad g = s/h = (250\:\mu\text{m})/(500\:\mu\text{m}) = 0.5\nonumber \]

De la Figura\(\PageIndex{2}\),

\[\label{eq:28}Z_{0e}/Z_{0} = 1.21\quad\text{and}\quad Z_{0o}/Z_{0} = 0.76 \]

donde\(Z_{0}\) es la impedancia característica de una línea individual. De la Figura\(\PageIndex{3}\), y usando la curva para\(\varepsilon_{r} = 10\),

\[\label{eq:29}\varepsilon_{e}/\varepsilon_{r} = 0.671,\quad\text{and so}\quad \varepsilon_{e} = 10\times 0.671 = 6.71 \]

También de la Figura\(\PageIndex{3}\),

\[\label{eq:30}Z_{0}\sqrt{\varepsilon_{e}}= 126,\quad\text{and so}\quad Z_{0} = 126/\sqrt{6.71} = 48.6\:\Omega \]

Consecuentemente, combinando Ecuaciones\(\eqref{eq:28}\) y\(\eqref{eq:30}\),

\[\label{eq:31}Z_{0o}=37\:\Omega\quad\text{and}\quad Z_{0e}=59\:\Omega \]

Las permitividades efectivas en modo impar y modo par se obtienen de la Figura\(\PageIndex{4}\). La permitividad efectiva normalizada en modo par es\(\varepsilon_{ee}/\varepsilon_{e} = 1.086\) y la permitividad efectiva normalizada en modo impar es\(\varepsilon_{eo}/\varepsilon_{e} = 0.868\). Ya que\(\varepsilon_{e} = 6.71\), el resultado final es

\[\varepsilon_{ee}=7.28\quad\text{and}\quad\varepsilon_{eo}=5.82 \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{6}\): Líneas acopladas terminadas: (a) con una carga descrita por la matriz del parámetro y\(\mathbf{Y}\); (b) cargas simétricas; (c) cargas consideradas en el ejemplo.

5.6.5 Resumen

En esta sección se presentaron fórmulas y gráficas para determinar los parámetros independientes de frecuencia de las líneas acopladas dadas sus dimensiones. La dependencia de la frecuencia de estos parámetros eléctricos se discute en [3, 4]. El efecto del espesor finito de metalización también se discute en [3]. La síntesis de líneas acopladas, es decir, determinar sus dimensiones físicas dadas sus parámetros eléctricos deseados, se realiza en el contexto de su uso y generalmente se basa en modelos aproximados, pero razonablemente precisos, de un par de líneas acopladas. Esto se considerará en la Sección 5.9.