5.7: Líneas acopladas terminadas

Un par de líneas acopladas soporta modos pares e impares y estos pueden acoplarse por las terminaciones al final de una línea. Así, en una terminación, como la que se muestra en la Figura 5.6.6 (a), donde la terminación es general y está representada por una matriz de admitancia basada en puertos\(\mathbf{Y}\), los modos pares e impares reflejados tendrán contribuciones tanto de los modos par como impar incidente:

\[\label{eq:1}V_{e}^{-}=\Gamma_{Le}V_{e}^{+}+C_{eo}V_{o}^{+}\quad\text{and}\quad V_{o}^{-}=\Gamma_{Lo}V_{o}^{+}+C_{oe}V_{e}^{+} \]

donde\(\Gamma_{Le}\) y\(\Gamma_{Lo}\) son coeficientes de reflexión en modo par e impar\(C_{oe}\) y\(C_{eo}\) describir el acoplamiento primero del modo impar al modo par y luego del modo par al modo impar. La derivación de los coeficientes de reflexión y los coeficientes de acoplamiento se deja para un ejemplo al final de esta sección. Los resultados resumidos son

\[\begin{align}\label{eq:2}\Gamma_{Le}&=\frac{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} − Z_{0e}Y_{\Sigma} − 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}\\ \label{eq:3}C_{eo}&=\frac{2Z_{oe}Y_{E}}{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}=-C_{oe} \\ \label{eq:4}\Gamma_{Lo}&=\frac{1 + Z_{0o}(y_{12} + y_{21}) − Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}{1 + Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}\end{align} \]

donde

\[\label{eq:5}\left.\begin{array}{ll}{Y_{\Sigma} = (y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22})}&{Y_{\Delta} = (y_{11} − y_{12} − y_{21} + y_{22})}\\{Y_{D} = (y_{11}y_{22} − y_{12}y_{21})\quad\text{and}}&{Y_{E} = (y_{11} − y_{12} + y_{21} − y_{22})}\end{array}\right\} \]

El control del acoplamiento se puede utilizar en el diseño del filtro basado en líneas acopladas paralelas.

5.7.1 Condición sin reflejos

En el diseño de muchas secciones de líneas acopladas es importante minimizar los reflejos de las líneas acopladas. Una condición cuasi-inreflexiva es terminar las líneas individuales de la línea acoplada en la impedancia de referencia del sistema\(Z_{0S} = \sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}\). Entonces\(y_{11} = 1/Z_{0S} = y_{22}\),\(y_{12} =0= y_{21}\) y haciendo referencia a la Ecuación\(\eqref{eq:5}\),,\(Y_{\Sigma} = Y_{\Delta} = 2/Z_{0S} = 2/\sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}\)\(Y_{E} = 0\), y\(Y_{D} = 1/Z_{0e}Z_{0o}\) y la Ecuación\(\eqref{eq:2}\) se convierte en

\[\label{eq:6}\Gamma_{Le}=\frac{2+2\sqrt{Z_{0o}Z_{0e}} − 2\sqrt{Z_{0e}Z_{0o}} − 2}{2+2\sqrt{Z_{0o}Z_{0e}} + 2\sqrt{Z_{0e}Z_{0o}} + 2}=\frac{\sqrt{Z_{0o}Z_{0e}} − 2\sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}}{2 + \sqrt{Z_{0o}Z_{0e}} +\sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}} \]

que es pequeño y

\[\label{eq:7}\Gamma_{Lo}=\frac{1+0-1}{D}=0 \]

También tenga en cuenta que los acoplamientos de modo\(C_{oe}\) y\(C_{oe}\) son ambos cero. Entonces, terminar las líneas individuales de un par de líneas acopladas\(Z_{0S}\) da como resultado que el coeficiente de reflexión de modo impar\(\Gamma_{Lo}\) sea cero y el coeficiente de reflexión en modo impar\(\Gamma_{Lo}\) sea pequeño.

Los coeficientes de reflexión en modo par e impar se pueden establecer a cero estableciendo simultáneamente los numeradores de Ecuaciones\(\eqref{eq:2}\) y\(\eqref{eq:2}\) a cero mientras se mantiene la simetría, es decir\(y_{11} = y_{22}\), y debido a la reciprocidad asegurando\(y_{12} = y_{21}\) así que ese\(Y_{E} = 0\) acoplamiento sea cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Reflection at the End of a Pair of Coupled Lines

Un par de líneas acopladas con impedancias características de modo par e impar\(Z_{0e}\) y\(Z_{0o}\) respectivamente se carga como se muestra en la Figura 5.6.6 (a) donde la carga tiene la matriz de\(y\) parámetros de dos puertos,\(\mathbf{Y}\). Encuentra los reflejos de modo par e impar.

Solución

El análisis comienza escribiendo las expresiones que relacionan la onda viajera y los voltajes y corrientes totales en la terminación.

\[\begin{array}{lllllll}{V_{e} = \frac{1}{2}(V_{1} + V_{2})}&{}&{V_{o} =\frac{1}{2} (V_{1} − V_{2})}&{}&{I_{e} =\frac{1}{2} (I_{1} + I_{2})}&{}&{I_{o} = \frac{1}{2} (I_{1} − I_{2})}\\{V_{1} = (V_{1}^{+} + V_{1}^{−})}&{}&{V_{2} = (V_{2}^{+} + V_{2}^{−})}&{}&{I_{1} = (I_{1}^{+} + I_{1}^{−})}&{}&{I_{2} = (I_{2}^{+} + I_{2}^{−})}\\{V_{1}^{+} = (V_{e}^{+} + V_{o}^{+})}&{}&{V_{2}^{+}= (V_{e}^{+} − V_{o}^{+})}&{}&{I_{1}^{+} = (I_{e}^{+} + I_{o}^{+})}&{}&{I_{2}^{+} = (I_{e}^{−} − I_{o}^{+})}\\{V_{1}^{−} = (V_{e}^{−} + V_{o}^{−})}&{}&{V_{2}^{−} = (V_{e}^{−} − V_{o}^{−})}&{}&{I_{1}^{−} = (I_{e}^{−} + I_{o}^{−})}&{}&{I_{2}^{−} = (I_{e}^{−} − I_{o}^{−})}\\{I_{e}^{+} = V_{e}^{+}/Z_{0e}}&{}&{I_{e}^{−} = −V_{e}^{−} /Z_{0e}}&{}&{I_{o}^{+} = V_{o}^{+}/Z_{0e}}&{}&{I_{o}^{−} = −V_{o}^{−}/Z_{0o}}\end{array}\nonumber \]

En la terminación

\[\begin{align} \left[\begin{array}{c}{I_{1}}\\{I_{2}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}{I_{e}^{+} + I_{o}^{+} + I_{e}^{−} + I_{o}^{−}}\\{I_{e}^{+} − I_{o}^{+} + I_{e}^{−} − I_{o}^{−}}\end{array}\right]&=\mathbf{Y}\left[\begin{array}{c}{V_{1}}\\{V_{2}}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}\\{y_{21}}&{y_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{1}}\\{V_{2}}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:8}\left[\begin{array}{c}{(V_{e}^{+} − V_{e}^{−})/Z_{0e} + (V_{o}^{+} − V_{o}^{−})/Z_{0o}}\\{(V_{e}^{+} − V_{e}^{−})/Z_{0e} − (V_{o}^{+}− V_{o}^{−})/Z_{0o}}\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}\\{y_{21}}&{y_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{e}^{+} + V_{o}^{+} + V_{e}^{−} + V_{o}^{−}}\\{V_{e}^{+} − V_{o}^{+} + V_{e}^{−} − V_{o}^{−}}\end{array}\right]\end{align} \]

Los modos pares e impares reflejados tienen contribuciones de los modos par e impar incidente:

\[\label{eq:9}V_{e}^{−}= \Gamma_{Le}V_{e}^{+} + C_{eo}V_{o}^{+}\quad\text{and}\quad V_{o}^{−} = \Gamma_{Lo}V_{o}^{+} + C_{oe}V_{e}^{+} \]

donde\(\Gamma_{Le}\) y\(\Gamma_{Lo}\) son coeficientes de reflexión en modo par e impar,\(C_{oe}\) y\(C_{eo}\) describir el acoplamiento, y

\[\label{eq:10}\Gamma_{Le}=\left.\frac{V_{e}^{-}}{V_{e}^{+}}\right|_{V_{0}^{+}=0},\quad\Gamma_{Lo}=\left.\frac{V_{o}^{-}}{V_{o}^{+}}\right|_{V_{e}^{+}=0},\quad C_{eo}=\left.\frac{V_{e}^{-}}{V_{o}^{+}}\right|_{V_{e}^{+}=0}\quad\text{and}\quad C_{oe}=\left.\frac{V_{o}^{-}}{V_{e}^{+}}\right|_{V_{o}^{+}=0} \]

\(\Gamma_{Le}\)y\(C_{eo}\) se obtienen expandiendo la Ecuación\(\eqref{eq:8}\) con\(V_{o}^{+} = 0\):

\[\begin{align} (V_{e}^{+} − V_{e}^{−})/Z_{0e} − V_{o}^{−}/Z_{0o} &= y_{11}\left( V_{e}^{+} + V_{e}^{−} + V_{o}^{−}\right) + y_{12}\left( V_{e}^{+} + V_{e}^{−} − V_{o}^{−}\right)\nonumber \\ \label{eq:11}\text{i.e. }\frac{V_{e}^{-}}{Z_{0e}}(1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e}) &= \frac{V_{e}^{+}}{Z_{0e}} (1 − y_{11}Z_{0e} − y_{12}Z_{0e}) − \frac{V_{o}^{-}}{Z_{0o}} (1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o}) \\ (V_{e}^{+} − V_{e}^{-} )/Z_{0e} + V_{o}^{−})/Z_{0o} &= y_{21}\left(V_{e}^{+} + V_{e}^{−} + V_{o}^{−}\right) + y_{22}\left( V_{e}^{+} + V_{e}^{−} − V_{o}^{−}\right) \\ \label{eq:12} \text{i.e. }\frac{V_{o}^{−}}{Z_{0o}} (−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o}) &= \frac{V_{e}^{+}}{Z_{0e}}(1 − y_{21}Z_{0e} − y_{22}Z_{0e}) +\frac{V_{e}^{−}}{Z_{0e}} (−1 − y_{21}Z_{0e} − y_{22}Z_{0e})\end{align} \]

\(\Gamma_{Le}\)se obtiene eliminando\(V_{o}^{−}\) multiplicando la Ecuación\(\eqref{eq:12}\) por\((1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o})\) y restándola de la Ecuación\(\eqref{eq:11}\) multiplicada por\((−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o})\):

\[\label{eq:13}V_{e}^{-}\frac{a}{Z_{0e}}=V_{e}^{+}\left.\frac{b}{Z_{0e}}\right|_{V_{o}^{+}=0}\quad\text{Thus}\quad\Gamma_{Le}=\frac{b}{a} \]

donde

\[\begin{align} a &= (1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e})(−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o})−(1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})(1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o})\nonumber \\ \label{eq:14}&\quad = −2 − Z_{0o}Y_{\Delta} − Z_{0e}Y_{\Sigma} − 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D} \\ b &= (1 − y_{11}Z_{0e} − y_{12}Z_{0e})(−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o})−(1 − y_{21}Z_{0e} − y_{22}Z_{0e})(1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o}) \\ \label{eq:15}&\quad = −2 − Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}\end{align} \]

\[\begin{align}\label{eq:16}Y_{\Sigma} &= (y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22}),\: Y_{\Delta} = (y_{11} − y_{12} − y_{21} + y_{22}),\text{ and }Y_{D} = (y_{11}y_{22} − y_{12}y_{21})\\ \label{eq:17} \Gamma_{Le}&=\frac{b}{a}=\frac{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} − Z_{0e}Y_{\Sigma} − 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}\end{align} \]

Como comprobación de cordura, si la carga es simétrica\(y_{11} = y_{22} = Y_{L} = 1/Z_{L}\), la impedancia de carga diferencial es infinita\(y_{12} =0= y_{21}\), si las líneas están muy separadas\(Z_{0e} = Z_{0o} = Z_{0}\), entonces\(Y_{\Sigma} = 2Y_{L},\: Y_{\Delta} = 2Y_{L},\) y\(Y_{D} = Y_{L}^{2}\) y la Ecuación\(\eqref{eq:17}\) se convierte

\[\begin{align}\Gamma_{Le}&=\frac{2+2Z_{0}Y_{L} − 2Z_{0}Y_{L} − 2Z_{0}^{2}Y_{L}^{2}}{2+2Z_{0}Y_{L} + 2Z_{0}Y_{L} + 2Z_{0}^{2}Y_{L}^{2}}=\frac{1 − Z_{0}^{2}Y_{L}^{2}}{1+2Z_{0}Y_{L} + Z_{0}^{2}Y_{L}^{2}}=\frac{(1 − Z_{0}Y_{L})(1 + Z_{0}Y_{L})}{(1 + Z_{0}Y_{L})(1 + Z_{0}Y_{L})}\nonumber \\ \label{eq:18}&=\frac{1 − Z_{0}Y_{L}}{1 + Z_{0}Y_{L}}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\end{align} \]

Este es el coeficiente de reflexión de una línea de transmisión de impedancia característica\(Z_{0}\) terminada en una carga\(Z_{L}\) como se esperaba.

Encuentre\(C_{eo}\) expandiendo Ecuación\(\eqref{eq:8}\) con\(V_{e}^{+} = 0\):

\[\begin{align} −V_{e}^{−}/Z_{0e} + (V_{o}^{+} − V_{o}^{−})/Z_{0o} &= y_{11}\left( V_{o}^{+} + V_{e}^{−} + V_{o}^{−}\right) + y_{12}\left( −V_{o}^{+} + V_{e}^{−} − V_{o}^{−}\right)\nonumber \\ \label{eq:19} \text{i.e. }\frac{V_{e}^{−}}{Z_{0e}} (1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e}) &=\frac{V_{o}^{+}}{Z_{0o}}(1 − y_{11}Z_{0o} + y_{12}Z_{0o}) −\frac{V_{o}^{−}}{Z_{0o}}(1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o})\\ −V_{e}^{−}/Z_{0e} − (V_{o}^{+} − V_{o}^{−})/Z_{0o} &= y_{21}\left( +V_{o}^{+} + V_{e}^{−} + V_{o}^{−}\right) + y_{22}\left( −V_{o}^{+} + V_{e}^{−} − V_{o}^{−}\right) \\ \label{eq:20} \text{i.e. }\frac{V_{o}^{−}}{Z_{0o}} (−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o}) &= −\frac{V_{o}^{+}}{Z_{0o}} (1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o}) −\frac{V_{e}^{−}}{Z_{0e}} (1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})\end{align} \]

Para eliminar\(V_{o}^{−}\) multiplicar Ecuación\(\eqref{eq:20}\) por\((1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o})\) y restarla de Ecuación\(\eqref{eq:19}\) multiplicada por\((−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o})\):

\[\label{eq:21}\frac{V_{e}^{-}}{Z_{0e}}a=\frac{V_{o}^{+}}{Z_{0o}}c\quad\text{such that}\quad C_{eo}=\frac{c}{a}\frac{Z_{0e}}{Z_{0o}} \]

donde\(a\) es como en la Ecuación\(\eqref{eq:14}\) y

\[\begin{align} c &= (1 − y_{11}Z_{0o} + y_{12}Z_{0o})(−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o})+(1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o})(1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o})\nonumber \\ \label{eq:22} &= −2Z_{0o}Y_{E}\quad\text{where}\quad Y_{E} = (y_{11} − y_{12} + y_{21} − y_{22}) \\ \label{eq:23} C_{eo}&=\frac{2Z_{0o}Y_{E}}{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}\end{align} \]

Ahora para una revisión de cordura. Si la carga es simétrica\(y_{11} = y_{22}\) y\(y_{12} = y_{21}\), entonces\(Y_{E} = 0\) e\(C_{eo} = 0\) indicando que una señal no se convierte de modo impar a modo par con reflexión de una carga simétrica, como se esperaba.

El análisis ahora se repite para encontrar\(\Gamma_{Lo}\) y\(C_{oe}\). \(\Gamma_{Lo}\)se encuentra eliminando\(V_{e}^{−}\) de Ecuaciones\(\eqref{eq:19}\) y\(\eqref{eq:20}\) multiplicando Ecuación\(\eqref{eq:20}\) por\((1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e})\) y restándola de Ecuación\(\eqref{eq:19}\) multiplicada por\((1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})\):

\[\label{eq:24}\frac{V_{o}^{+}}{Z_{0o}}d=\left.\frac{V_{o}^{-}}{Z_{0o}}e\right|_{V_{e}^{+}=0}\quad\text{and}\quad \Gamma_{Lo}=\left.\frac{V_{o}^{-}}{V_{o}^{+}}\right|_{V_{e}^{+}=0}=\frac{d}{e} \]

\[\begin{align} d &= (1 − y_{11}Z_{0o} + y_{12}Z_{0o}) (1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})+(1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o}) (1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e}) \nonumber \\ \label{eq:25} &=2+2Z_{0o}(y_{12} + y_{21}) − 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D} \\ e&= (1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o}) (1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})−(−1 + y_{21}Z_{0o} − y_{22}Z_{0o}) (1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e}) \\ \label{eq:26} &=2+2Z_{0o}Y_{\Delta} + 2Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D} \\ \label{eq:27}\Gamma_{Lo}&=\frac{1 + Z_{0o}(y_{12} + y_{21}) − Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}{1 + Z_{0o}Y_{\Delta} + Z_{0e}Y_{\Sigma} + Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}\end{align} \]

\(C_{oe}\)se encuentra eliminando\(V_{e}^{−}\) logrado multiplicando Ecuación\(\eqref{eq:20}\) por\((1 +y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e})\) y restándola de Ecuación\(\eqref{eq:19}\) multiplicada por\((1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})\):

\[\label{eq:28}V_{o}^{-}\frac{f}{Z_{0o}}=V_{e}^{+}\left.\frac{g}{Z_{0e}}\right|_{V_{o}^{+}=0}\quad\text{Thus}\quad C_{oe}=\frac{g}{f}\frac{Z_{0o}}{Z_{0e}}\quad\text{where} \]

\[\begin{align} g &= −(1 − y_{11}Z_{0e} − y_{12}Z_{0e})(1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})+(1 − y_{21}Z_{0e} − y_{22}Z_{0e})(1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e})\nonumber \\ \label{eq:29} &= 2Z_{0e}(y_{11} + y_{12} − y_{21} − y_{22})=2Z_{0e}Y_{E} \\ f &= −(1 + y_{11}Z_{0o} − y_{12}Z_{0o})(1 + y_{21}Z_{0e} + y_{22}Z_{0e})+(−1 + y_{21}Z_{0e} − y_{22}Z_{0e})(1 + y_{11}Z_{0e} + y_{12}Z_{0e}) \\ \label{eq:30} &= −2 − Z_{0o}Y_{\Delta} − Z_{0e}Y_{\Sigma} − 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D} \\ \label{eq:31} C_{oe}&=\frac{−2Z_{0o}Y_{E}}{2 + Z_{0o}Y_{\Delta} − Z_{0e}Y_{\Sigma} + 2Z_{0e}Z_{0o}Y_{D}}=-C_{eo}\end{align} \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Even and Odd Mode Loads

Se carga un par de líneas acopladas como se muestra en la Figura 5.6.6 (a). La impedancia característica de modo par es\(Z_{0e} = 90\:\Omega\) y la impedancia característica de modo impar es\(Z_{0o} = 45\:\Omega\).

1. ¿Cuál es el coeficiente de reflexión de modo par?
   Para simplificar los cálculos, deje que el voltaje de modo par que viaja hacia adelante en la carga\(V_{e}^{+}=1\text{ V}\), y no hay voltaje de modo impar que viaja hacia adelante. \(V_{e}^{−}\)y\(V_{o}^{−}\) son los voltajes de modo par e impar que viajan hacia atrás y\(I_{e}^{+},\: I_{e}^{−}\) y\(I_{o}^{−}\) son las corrientes correspondientes. En Puerto\(\mathsf{1}\)
   \[\begin{aligned} I_{1} &= \frac{1}{60} V_{1} = V_{e}^{+} + V_{o}^{+} + V_{e}^{−} + V_{o}^{−} = \frac{1}{60} (1 +0+ V_{e}^{−} + V_{o}^{−}) \\ I_{1} &= I_{e}^{+} + I_{o}^{+} + I_{e}^{−} + I_{o}^{−} = \frac{V_{e}^{+}}{Z_{0e}} + 0 −\frac{V_{e}^{−}}{Z_{0e}} −\frac{V_{o}^{−}}{Z_{0o}} = \frac{1}{90} − \frac{V_{e}^{−}}{90} −\frac{V_{o}^{−}}{45}\end{aligned}\nonumber \]
   Equiparando estos y multiplicando por\(180\):
   \[\label{eq:32} 1+5V_{e}^{−} + 7V_{o}^{−} = 0 \]
   En Puerto\(\mathsf{2}\)
   \[\begin{aligned}I_{2} &= \frac{1}{100}V_{1} = \frac{1}{100} (V_{e}^{−} V_{o}^{+} + V_{e}^{−} − V_{o}^{−}) = \frac{1}{100} (1 +0+ V_{e}^{−} − V_{o}^{−}) \\ I_{2} &= I_{e}^{+} − I_{o}^{+} + I_{e}^{−} − I_{o}^{−} = \frac{V_{e}^{+}}{Z_{0e}} + 0 −\frac{V_{e}^{−}}{Z_{0e}} + \frac{V_{o}^{−}}{Z_{0o}} = \frac{1}{90} − \frac{V_{e}^{-}}{90} + \frac{V_{o}^{−}}{45} \end{aligned}\nonumber \]
   Igualando estos y multiplicando por\(900\):
   \[\label{eq:33}1-19V_{e}^{-}+29V_{o}^{-}=0 \]
   Multiplicando la Ecuación\(\eqref{eq:33}\) por\(7\) y restándola de\(\eqref{eq:32}\) Tiempos de Ecuación\(29\):
   \[(29 − 7) + (145 + 133)V_{e}^{−} + (203 − 203)V_{o}^{−} = 0 ⇒ V_{e}^{−} = −0.07914\text{ V} \nonumber \]
   Así
   \[\label{eq:34}\Gamma_{Le} = V_{e}^{−} /V_{e}^{+} = V_{e}^{−}/1 = −0.07914 \]
   Alternativamente, la fórmula general, Ecuación \(\eqref{eq:2}\), se puede utilizar señalando que\(Z_{0e} = 90\:\Omega,\: Z_{0e} = 45\:\Omega,\: y_{11} = 1/60,\: y_{22} = 1/100,\) y\(y_{12} =0= y_{21}\). Entonces\(y_{\Delta} = 0.026667\text{ S},\: y_{\Sigma} = 0.026667\text{ S},\: y_{D} = 0.00016667\text{ S}\):
   \[\label{eq:35}\Gamma_{Le}=\frac{2 + 45 \cdot 0.026667 − 90\cdot 0.026667 − 2\cdot 45\cdot 90\cdot 0.00016667}{2 + 45\cdot 0.026667 + 90\cdot 0.026667 + 2\cdot 45\cdot 90\cdot 0.00016667}=-0.07914 \]
   Las dos evaluaciones de\(\Gamma_{Le}\) están de acuerdo.
2. ¿Cuál es la resistencia de carga efectiva en modo uniforme\(R_{Le}\)?
   \(R_{Le}\)es la resistencia que rinde\(\Gamma_{Le}\) cuando se refiere\(Z_{0e}\). Así
   \[\label{eq:36}R_{Le}=Z_{0e}\frac{1+\Gamma_{Le}}{1-\Gamma_{Le}}=90\frac{1+(−0.07914)}{1 − (−0.07914)}=76.80\:\Omega \]
3. ¿Cuál es el coeficiente de reflexión en modo impar?
   Calculando esto directamente usando la ecuación\(\eqref{eq:4}\):
   \[\label{eq:37}\Gamma_{Lo}=\frac{1+0 − 45\cdot 90\cdot 0.00016667}{1 + 45\cdot 0.026667 + 90\cdot 0.026667 + 45\cdot 90\cdot 0.00016667}=0.06180 \]
4. ¿Cuál es la resistencia de carga efectiva en modo impar\(R_{Lo}\)?
   \[\label{eq:38}R_{Lo}=Z_{0o}\frac{1+\Gamma_{Lo}}{1-\Gamma_{Lo}}=45\frac{1+0.06180}{1− 0.06180}=50.92\:\Omega \]