2.8: Inversores de Impedancia y Admisión

Los inversores son redes de dos puertos que se utilizan en muchos filtros de RF y microondas. La impedancia de entrada de un inversor terminado en una impedancia\(Z_{L}\) es\(1/Z_{L}\). Los inversores de impedancia y admitancia son la misma red, con la distinción de si se utilizan siemens u ohmios para definirlos. Un inversor a veces se llama elemento unitario (UE). A frecuencias de unos pocos cientos de megahercios y por debajo de un inversor se puede realizar utilizando amplificadores operativos y de transconductancia. A frecuencias de microondas el inversor más simple es una línea larga de un cuarto de longitud de onda. En el diseño de filtros de RF y microondas se utilizan para convertir un elemento en serie en un elemento de derivación. Es mucho más fácil realizar elementos de derivación en circuitos distribuidos que elementos en serie. Transformaciones de circuito similares permiten que un inductor sea reemplazado por un condensador.

La representación esquemática de un inversor de impedancia se muestra en la Figura 2.7.4 (a). La propiedad constitutiva del inversor es que la impedancia de entrada del inversor de impedancia terminado en la Figura 2.7.4 (b) es

\[\label{eq:1}Z_{\text{in}}=\frac{K^{2}}{Z_{L}} \]

Entonces el inversor invierte la impedancia de carga y la escala. Del mismo modo, si Port\(\mathsf{1}\) se termina en\(Z_{L}\) la impedancia de entrada en Port\(\mathsf{2}\) es\(Z_{\text{in}}\) como se definió anteriormente.

Un inversor de impedancia tiene el valor\(K\) (en ohmios), y en ocasiones\(K\) se llama la impedancia característica del inversor. A veces\(K\) es solo

Figura\(\PageIndex{1}\): Equivalencia del inversor: (a) inversor de impedancia de dos puertos (de impedancia\(K\)): (b) una línea de transmisión de cuarto de onda de impedancia característica\(Z_{0} = K\); y (c) una línea larga terminada de un cuarto de longitud de onda.

llamado la impedancia del inversor. Para una admitancia\(J\) se utiliza un inversor y se llama la admitancia característica del inversor, y en ocasiones solo la admitancia del inversor. Están relacionados como\(J = 1/K\). En la Sección 2.4.6 de [10] se muestra que una línea\(\lambda/4\) larga con una carga tiene una impedancia de entrada que es la inversa de la carga, normalizada por el cuadrado de la impedancia característica de la línea. Por lo tanto, se puede realizar un inversor a frecuencias de microondas utilizando una línea de transmisión de un cuarto de longitud de onda (ver Figura\(\PageIndex{1}\) (b)). Para la configuración mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c),

\[\label{eq:2}Z_{\text{in}}=\frac{K^{2}}{Z_{L}} \]

2.8.1 Propiedades de un Inversor de Impedancia

Un inversor de impedancia tiene la\(ABCD\) matriz

\[\label{eq:3}\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K} \\ {\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \]

donde\(K\) se llama la impedancia característica del inversor. Con una impedancia de carga,\(Z_{L}\) (en el puerto\(\mathsf{2}\)), la impedancia de entrada (en el puerto\(\mathsf{1}\)) es (como se esperaba)

\[\label{eq:4}Z_{\text{in}}(s)=\frac{AZ_{L}+B}{CZ_{L}+D}=\frac{\jmath K}{(\jmath /K)Z_{L}}=\frac{K^{2}}{Z_{L}} \]

Ahora la\(ABCD\) matriz de la línea de transmisión de la Figura\(\PageIndex{1}\) (b) es

\[\label{eq:5}\left[\begin{array}{cc}{\cos\theta}&{\jmath Z_{0}\sin\theta} \\ {(\jmath /Z_{0})\sin\theta}&{\cos\theta}\end{array}\right] \]

que es idéntico a la Ecuación\(\eqref{eq:3}\) cuando la longitud eléctrica es\(\theta = π/2\) (es decir, cuando la línea es\(\lambda/4\) larga). El inversor se muestra en la Figura 2.7.4 (a) como un puerto de dos puertos y su implementación como una línea\(\lambda /4\) larga se muestra en la Figura 2.7.4 (c). El ancho de banda sobre el que la línea realiza un inversor de impedancia es limitado, sin embargo, ya que es un inversor ideal solo a la frecuencia a la que es\(\lambda /4\) largo.

2.8.2 Reemplazo de un inductor en serie por un condensador de derivación

Un inductor en serie puede ser reemplazado por un condensador de derivación rodeado por un par de inversores seguido de un transformador de unidad negativa (es decir, un inversor con\(K = 1\)). Esta equivalencia se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) y ésta se mostrará ahora matemáticamente.

Figura\(\PageIndex{2}\): Realizaciones equivalentes de un inductor en serie: (a) como dos puertos; (b) su realización utilizando un condensador, inversores de impedancia\(K\) característica y un transformador de unidad negativa; y (c) una realización alternativa. \(C = L/K^{2}\).

De la Tabla 2.4.1 de [11], la\(ABCD\) matriz del inductor en serie que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a) (que tiene una impedancia de\(sL\)) es

\[\label{eq:6}\mathbf{T}_{L}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{sL}\\{0}&{1}\end{array}\right] \]

y la\(ABCD\) matriz del condensador de derivación (que tiene una admitancia de\(sC\)) es, de la Tabla 2.4.1 de [11],

\[\label{eq:7}\mathbf{T}_{1}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0} \\ {sC}&{1}\end{array}\right] \]

La\(ABCD\) matriz de un inversor con\(K\) en ohmios (generalmente la unidad se cae y se supone ohmios) es

\[\label{eq:8}\mathbf{T}_{2}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K} \\ {\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \]

y finalmente, la\(ABCD\) matriz de un transformador de unidad negativa,\(n = −1\), es, de la Tabla 2.4.1 de [11],

\[\label{eq:9}\mathbf{T}_{3}=\left[\begin{array}{cc}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right] \]

Entonces la\(ABCD\) matriz de la cascada mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b) es

\[\begin{align} \mathbf{T}_{C}&=\mathbf{T}_{2}\mathbf{T}_{1}\mathbf{T}_{2}\mathbf{T}_{3}\nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\nonumber \\ {\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{sC}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right] \nonumber \\ & =\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{sC}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K} \\ {-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{\jmath sCK}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K} \\{-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:10}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{sCK^{2}}\\{0}&{1}\end{array}\right]\end{align} \]

Por lo tanto\(T_{C} = T_{L}\) si\(L = CK^{2}\) (comparar Ecuaciones\(\eqref{eq:6}\) y\(\eqref{eq:10}\)). Así, un inductor en serie puede ser reemplazado por un condensador de derivación con un inversor antes y después de él y con un transformador de unidad negativa. El transformador de unidad

Figura\(\PageIndex{3}\): Un condensador en serie: (a) como dos puertos; (b) su realización mediante un inductor de derivación, inversores y transformador de unidad negativa'\(L = CK^{2}\).

también pueden colocarse en el primer puerto, como en la Figura\(\PageIndex{2}\) (c). Así, los dos puertos mostrados en la Figura\(\PageIndex{2}\) son todos eléctricamente idénticos, siendo la limitación el rango de frecuencia sobre el cual se puede realizar el inversor. Una observación interesante e importante es que como resultado de la impedancia característica del inversor (e.g.,\(50\:\Omega\)), se puede usar un pequeño condensador de derivación para realizar un valor de inductancia en serie grande.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Inductor Synthesis Using an Inverter

Considere la red de la Figura\(\PageIndex{2}\) (c) con inversores que tienen una impedancia característica de\(50\:\Omega\). ¿Qué valor de inductancia se obtiene usando un\(10\text{ pF}\) condensador?

Solución

\(K = 50\), entonces\(L = CK^{2} = 10^{−11}\cdot 2500 = 25\text{ nH}\).

2.8.3 Reemplazo de un condensador en serie por un inductor de derivación

Un condensador en serie puede ser reemplazado por un inductor de derivación más inversores y un transformador negativo (ver Figura\(\PageIndex{3}\)). Los\(ABCD\) parámetros del condensador en serie en la Figura\(\PageIndex{3}\) (a) son

\[\label{eq:11}\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1/sC}\\{0}&{1}\end{array}\right] \]

y aquí se muestra que la cascada en la Figura\(\PageIndex{3}\) (b) tiene los mismos\(ABCD\) parámetros. La cascada en la Figura\(\PageIndex{3}\) (b) tiene los\(ABCD\) parámetros

\[\begin{align}\mathbf{T}&=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{1/sL}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}\right]\nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{1/sL}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K}\\{-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{\jmath K/sL}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath K}\\{-\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:12}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{K^{2}/sL}\\{0}&{1}\end{array}\right]\end{align} \]

Entonces el condensador en serie\(C\),, se puede realizar usando un inductor de derivación,\(L\), inversores, y un transformador de unidad negativa, y\(C = L/K^{2}\). Es poco probable que se explote esta transformación, ya que se pueden realizar condensadores mucho mejores de menor pérdida en RF que los inductores.

2.8.4 Prototipo de escalera con inversores de impedancia

Las transformaciones discutidas en las dos secciones anteriores pueden ser aprovechadas para simplificar los filtros. En esta sección las transformaciones son

Figura\(\PageIndex{4}\): Prototipo de filtros Ladder usando inversores de impedancia: (a) prototipo de elementos grumosos; (b) primera etapa de transformación con inversores; y (c) etapa final.

Figura\(\PageIndex{5}\): Inversor de admitancia: (a) como dos puertos; (b) realizado usando elementos agrupados con\(B = −J\); y (c) circuito equivalente agrupado (los valores de los elementos en (c) son impedancias).

aplicado al filtro de escalera paso bajo prototipo que se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (a). Los inductores en el circuito de escalera son un problema particular ya que tienen una resistencia considerable a frecuencias de microondas. Los inductores en serie pueden ser reemplazados por un circuito con capacitores, inversores y transformadores, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (b). Esto se simplifica aún más a la realización mostrada en la Figura\(\PageIndex{4}\) (c), ya que los transformadores de unidad negativa solo afectan a la fase del coeficiente de transmisión. Por lo tanto, se puede realizar un filtro de escalera de paso bajo usando solo condensadores e inversores.

2.8.5 Realización de Elementos Alumpeados de un Inversor

El inversor de admitancia es funcionalmente el mismo que el inversor de impedancia (ver Figura 2.7.4 (a)) y el esquema es el mismo (ver Figura\(\PageIndex{5}\) (a)). Como se mostrará, se puede realizar un inversor utilizando elementos sin pérdida invariables en frecuencia (es decir, elementos cuya reactancia o susceptancia no varían con la frecuencia) utilizando la red de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b). Recordemos que\(J\) se utiliza para identificar un inversor de admitancia e\(K\) identifica un inversor de impedancia. Si no lo especifica el contexto, el inversor (con el valor especificado por un número) por defecto es un inversor de impedancia. Alternativamente, se pueden usar unidades para indicar qué tipo de inversor se está utilizando. La función de

Figura\(\PageIndex{6}\): Inversor de impedancia: (a) como dos puertos; y (b) su circuito equivalente agrupado (los valores de los elementos en (b) son impedancias).

el inversor es el mismo en cualquier caso; ambos pueden realizarse por líneas largas de un cuarto de longitud de onda, por ejemplo. Para lo que resta de este capítulo será más conveniente, la mayoría de las veces, utilizar el inversor de admitancia, ya que muchos cálculos serán en cuanto a admitancias ya que la mayoría de los elementos agrupados en la síntesis de filtros estarán en derivación.

Ahora se mostrará que la red de elementos agrupados de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) realiza un inversor. Para ello el inversor y la red de elementos agrupados deben tener los mismos parámetros de dos puertos. Primero, la\(ABCD\) matriz de un inversor de admitancia característica\(J\) es

\[\label{eq:13}\mathbf{T}_{j}=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath /J}\\{\jmath J}&{0}\end{array}\right] \]

Haciendo referencia al Cuadro 2-1 de [11], el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) tiene la\(ABCD\) matriz

\[\begin{align}T&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-\jmath B}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1/(\jmath B)}\\{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-\jmath B}&{1}\end{array}\right]\nonumber \\ \label{eq:14}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1/(\jmath B)}\\{-\jmath B}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-\jmath B}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{0}&{-\jmath /B}\\{-\jmath B}&{0}\end{array}\right]\end{align} \]

donde\(B\) es la susceptancia de los elementos invariantes de frecuencia. La ecuación\(\eqref{eq:14}\) es idéntica a la ecuación\(\eqref{eq:13}\) si\(B = −J\). Se pueden derivar equivalentes más prácticos del circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b), como se muestra más adelante.

Para la completitud, se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\) (derivado de la Figura\(\PageIndex{5}\) con\(J = 1/K\)) el equivalente de elementos grumados del inversor de impedancia.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Lumped Inverter Analysis

Demostrar que la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) es un inversor de admitancia de elementos grumados.

Solución

La terminación de la red en la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) da como resultado la red mostrada en la Figura\(\PageIndex{7}\) (a). Esto se vuelve a etiquetar en la Figura\(\PageIndex{7}\) (b), donde los elementos son las admisiones. Entonces

\[\label{eq:15}y_{\text{in}}=y_{3} // (y_{1}$(y_{2}+y_{L})) \]

donde\(//\) indica “en paralelo con” e\($\) indica “en serie con”. Estas son anotaciones abreviadas comunes en los cálculos de circuitos. Continuando con la Ecuación\(\eqref{eq:15}\),

\[\label{eq:16}y_{\text{in}}=y_{3}+\left[\frac{1}{y_{1}}+\left(\frac{1}{y_{2}+y_{L}}\right)\right]^{-1}=y_{3}+\left[\frac{y_{2}+y_{L}+y_{1}}{y_{1}(y_{2}+y_{L})}\right]^{-1} \]

Sustituyendo\(y_{1} =\jmath B\) y\(y_{2} = y_{3} = −\jmath B\), esto se convierte

\[\label{eq:17}y_{\text{in}}=-\jmath B+\frac{\jmath B(y_{L}-\jmath B)}{y_{L}}=\frac{-\jmath By_{L}+\jmath By_{L}+B^{2}}{y_{L}}=\frac{B^{2}}{y_{L}} \]

Por lo tanto, el circuito de elementos grumados de la Figura\(\PageIndex{5}\) (b) es un inversor de admitancia de elementos grumados de valor\(B\) (en siemens).

Figura\(\PageIndex{7}\): Inversor de admitancia de elementos grumosos terminado.

Figura\(\PageIndex{8}\): Equivalentes de inversor de banda estrecha a frecuencia\(f_{0}\): (a) inversor de impedancia con impedancia característica\(K\); (b) red equivalente a elementos grumosos; y (c) inversor realizado por stubs cortos y de circuito abierto.

2.8.6 Realización de Banda Estrecha de un Inversor Usando Stubs de Línea de Transmisión

En esta sección se mostrará que se puede implementar un inversor de impedancia utilizando stubs cortos y de circuito abierto. La coincidencia es buena sobre una banda estrecha centrada en la frecuencia\(f_{0}\). Un inversor de impedancia se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\) (a) y su red equivalente de elementos grumados se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\) (b). En la Figura\(\PageIndex{8}\) (c) se muestra una implementación basada en stubs, donde hay stubs cortos y de circuito abierto de impedancia característica\(Z_{0}\). La impedancia de entrada de los stubs se muestra en las entradas de los stubs. Los stubs tienen una longitud eléctrica\(\theta\) en\(f_{0}\) y los stubs son de un cuarto de longitud de onda (es decir, resonantes) en lo que se llama la frecuencia proporcional,\(f_{r}\).

Ahora se mostrará que la red de la Figura\(\PageIndex{8}\) (c) es una buena representación del inversor en\(f_{0}\). Esto se hace haciendo coincidir\(ABCD\) los parámetros. La matriz de\(ABCD\) parámetros de un inversor es

\[\label{eq:18} T=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath K}\\{\jmath /K}&{0}\end{array}\right] \]

y, a la frecuencia\(f_{0}\), la matriz de\(ABCD\) parámetros del circuito stub de la Figura\(\PageIndex{8}\) (c) es

\[\begin{align}T&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan(\theta)]}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{\jmath Z_{0}\tan(\theta)}\\{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan (\theta)]}&{1}\end{array}\right] \nonumber \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{\jmath Z_{0}\tan(\theta)}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan(\theta)]}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{-1/[\jmath Z_{0}\tan(\theta)]}&{1}\end{array}\right] \nonumber \\ \label{eq:19}&=\left[\begin{array}{cc}{0}&{\jmath Z_{0}\tan(\theta)}\\{\jmath /[Z_{0}\tan(\theta)]}&{0}\end{array}\right]\end{align} \]

Por lo tanto, igualando ecuaciones\(\eqref{eq:18}\) y\(\eqref{eq:19}\), la red stub es una buena representación del inversor si

\[\label{eq:20}K=Z_{0}\tan(\theta) \]

y así la impedancia característica requerida de cada stub a la frecuencia\(f_{0}\) es

\[\label{eq:21}Z_{0}=\frac{K}{\tan(\theta)} =\frac{K}{\tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{f_{0}}{f_{r}}\right)} \]

Caso Especial,\(f_{r}=2f_{0}\)

En la mayoría de los diseños la frecuencia resonante stub,\(f_{r}\) (también llamada la frecuencia proporcional), se elige para que sea el doble de la frecuencia central del diseño,\(f_{0}\). Así que con\(f_{r} = 2f_{0}\), luego en\(f_{0}\)

\[\label{eq:22}Z_{0}=\frac{K}{\tan\left(\frac{\pi}{2}\frac{f_{0}}{2f_{0}}\right)}=\frac{K}{\tan\pi /4}=K \]

y la impedancia de entrada del stub es\(\jmath K\). Entonces la impedancia característica del stub de la línea de transmisión es\(Z_{0} = K\).