3.3: Escalado de la red del inversor

Figura\(\PageIndex{1}\): Red inverter: (a) red con dos inversores de admitancia idénticos con un elemento de admitancia de derivación insertado\(y\); (b) red equivalente usando equivalencia mostrada en la Figura 2.8.5; (c) red original escalada; y (d) red equivalente escalada. Los valores de los elementos son impedancias a excepción de\(J\)\(y_{1}\),\(y\) y, que son admitancias. El uso de las redes equivalentes en la síntesis de filtros se ilustra en el estudio de caso en la Sección 3.4.

Un filtro que utiliza líneas de transmisión casi siempre se sintetiza a partir de un prototipo de filtro que contiene inversores. La síntesis de un filtro comienza con un prototipo normalizado que se transforma a la frecuencia, impedancia y tipo deseados. Es el propósito de esta sección mostrar cómo usar dicho escalado cuando hay inversores en el prototipo. En particular, se muestra que escalar la admitancia de la red de la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), una subred de inversor común, por un factor\(x\) da como resultado la red en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c).

La matriz de admisiones nodales de la red en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) es

\[\label{eq:1}Y=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{-\jmath J}&{0}\\{-\jmath J}&{y}&{-\jmath J}\\{0}&{-\jmath J}&{0}\end{array}\right] \]

Asignar voltajes nodales a Terminales\(1\), y\(2\)\(3\), la ecuación de la matriz de admitancia nodal es

\[\label{eq:2}\left[\begin{array}{ccc}{0}&{-\jmath J}&{0}\\{-\jmath J}&{y}&{-\jmath J} \\ {0}&{-\jmath J}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{J_{1}}\\{0}\\{J_{3}}\end{array}\right] \]

y al eliminar Nodo\(2\) usando condensación de red (ver Sección 1.A.16) de [31], esto reduce a

\[\label{eq:3}\left[\begin{array}{cc}{J^{2}/y}&{J^{2}/y}\\{J^{2}/y}&{J^{2}/y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v_{1}}\\{v_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{J_{1}}\\{J_{3}}\end{array}\right] \]

y esto describe las características externas de la subred en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a).

La matriz de admitancia nodal de la red escalada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c) es

\[\label{eq:4}Y'=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{-\jmath J\sqrt{x}}&{0}\\{-\jmath J\sqrt{x}}&{yx}&{-\jmath J\sqrt{x}}\\{0}&{-\jmath J\sqrt{x}}&{0}\end{array}\right] \]

Es decir,

\[\label{eq:5}\left[\begin{array}{ccc}{0}&{-\jmath J\sqrt{x}}&{0}\\{-\jmath J\sqrt{x}}&{yx}&{-\jmath J\sqrt{x}}\\{0}&{-\jmath J\sqrt{x}}&{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{J_{1}}\\{0}\\{J_{3}}\end{array}\right] \]

y al eliminar Node\(2\) esto se reduce a

\[\label{eq:6}\left[\begin{array}{cc}{(J^{2}x)/(yx)} &{(J^{2}x)/(yx)} \\ {(J^{2}x)/(yx)}&{(J^{2}x)/(yx)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v_{1}}\\{v_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{J^{2}/y}&{J^{2}/y}\\{J^{2}/y}&{J^{2}/y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v_{1}}\\{v_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{J_{1}}\\{J_{3}}\end{array}\right] \]

Así, la red original mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) tiene las mismas características eléctricas externas que la red escalada de la Figura\(\PageIndex{1}\) (c), con la admitancia característica de los inversores escalada por\(\sqrt{x}\) y la admitancia de derivación escalada por\(x\).

Una generalización de este resultado (que es útil cuando hay conexiones adicionales entre Nodos\(1\) y\(3\)) es que multiplicar una fila y una columna de la matriz de admitancia nodal por el mismo factor da como resultado características externas idénticas. Tenga en cuenta que el elemento que comparte una fila y una columna se multiplica dos veces.