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LibreTexts Español

2.4: Procesos Poisson no homogéneos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

El proceso de Poisson, tal y como lo definimos, se caracteriza por una tasa de llegada constanteλ. A menudo es útil considerar un tipo de proceso más general en el que la tasa de llegada varía en función del tiempo. Un proceso de Poisson no homogéneo con tasa de llegada variable en el tiempoλ(t) se define 9 como un proceso de conteo{N(t);t>0} que tiene la propiedad de incremento independiente yt0, para todosδ>0, también satisface:

\ [\ begin {alineado}
&\ nombreoperador {Pr}\ {\ tilde {N} (t, t+\ delta) =0\} ^\} =1-\ delta\ lambda (t) +o (\ delta)\\
&\ nombreoperador {Pr}\ {\ tilde ancho {N} (t, t+\ delta) =1\} ^\} =\ delta\ lambda (t) +o (\ delta)\\
&\ nombreoperador {Pr}\ {\ Widetilde {N} (t, t+\ delta)\ geq 2\} ^\} =o (\ delta)
\ end {alineado}\ etiqueta {2.29}\]

donde˜N(t,t+δ)=N(t+δ)N(t). El proceso de Poisson no homogéneo no tiene la propiedad de incremento estacionario.

Una aplicación común ocurre en la comunicación óptica donde a menudo se usa un proceso de Poisson no homogéneo para modelar la corriente de fotones de un modulador óptico; la modulación se logra variando la intensidad del fotónλ(t). Veremos en breve otra aplicación en el siguiente ejemplo. A veces un proceso de Poisson, como lo definimos anteriormente, se llama proceso de Poisson homogéneo.

Podemos utilizar de nuevo un “proceso de Bernoulli que se encoge” para aproximar un proceso de Poisson no homogéneo. Para ver cómo hacer esto, supongamos queλ(t) está acotado lejos de cero. Particionamos el eje de tiempo en incrementos cuyas longitudesδ varían inversamenteλ(t), manteniendo así la probabilidad de una llegada en un incremento en algún valor fijop=δλ(t). Así, ignorando temporalmente la variación deλ(t) dentro de un incremento,

\ [\ begin {aligned}
&\ operatorname {Pr}\ left\ {\ tilde {N}\ left (t, t+\ frac {p} {\ lambda (t)}\ right) ^\} =0\ derecha\} ^\} =1-p+o (p)\\
&\ operatorname {Pr}\ left\ {\ Widetilde {N}\ left (t, t+\ frac {p} {\ lambda (t)}\ derecha) ^\} =1\ derecha\} ^\} =p+o (p)\\
&\ nombreoperador {Pr}\ izquierda\ {\ Widetilde {N}\ izquierda (t, t+\ frac {p} {\ lambda (t)}\ derecha) ^ {\}}\ geq 2\ derecha\} ^\} =o (\ épsilon)
\ final {alineado}\ etiqueta {2.30}\]

Esta partición se define con mayor precisión definiendom(t) como

m(t)=}t0λ(τ)dτ

Entonces el incrementoi th termina en aquellot para el cualm(t)=ip.

Screen Shot 2021-08-25 a las 5.20.57 PM.png
Figura 2.7: Dividir el eje de tiempo en incrementos cada uno con un número esperado de llegadas igual ap. Cada rectángulo o trapecio anterior tiene la misma área, lo que asegura que la particióni th termina dondem(t)=ip.

Como antes, dejemos{Yi;i1} ser una secuencia de rv binarios IID conPr{Yi=1}=p yPr{Yi=0}=1p. Considera el proceso de conteo{N(t);t>0} en el queYi, para cada unoi1, denota el número de llegadas en el intervalo(ti1,ti], dondeti satisfacem(ti)=ip. Así,N(ti)=Y1+Y2++Yi. Sip se disminuye como2j, cada incremento se divide sucesivamente en un par de incrementos. Así, por el mismo argumento que en (2.22),

Pr{N(t)=n}=[1+o(p)][m(t)]nexp[m(t)]n!

Del mismo modo, para cualquier intervalo(t,τ]˜m}(t,τ)=τtλ(u)du, tomando, y tomandot=tk,τ=ti para algunoski,, obtenemos

Pr{˜N(t,τ)=n}}=[1+o(p)][˜m}(t,τ)]nexp[˜m}(t,τ)]n!

Yendo al límitep0, el proceso de conteo{N(t);t>0} anterior se acerca al proceso no homogéneo de Poisson bajo consideración, y tenemos el siguiente teorema:

Teorema 2.4.1

Para un proceso de Poisson no homogéneo con tasa de llegada continua derechaλ(t) limitada lejos de cero, la distribución de˜N(t,τ), el número de llegadas en(t,τ], satisface

Pr{˜N(t,τ)=n}}=[˜m}(t,τ)]nexp[˜m(t,τ)]n!

donde˜m}(t,τ)=}τtλ(u)du

Por lo tanto, se puede ver un proceso de Poisson no homogéneo como un proceso de Poisson (homogéneo) en una escala de tiempo no lineal. Es decir, dejar{N(s);s0} ser un proceso de Poisson (homogéneo) con tasa 1. El proceso de Poisson no homogéneo es entonces dado porN(t)=N(m(t)) para cada unot.

Ejemplo 2.4.1: El M/G/ Queu

Usando la notación de cola explicada en el Ejemplo 2.3.1, unaM/G/ cola indica una cola con llegadas de Poisson, una distribución de servicios generales y un número infinito de servidores. Dado que laM/G/ cola tiene un número infinito de servidores, nunca se pone en cola a los clientes que llegan. Cada llegada inmediatamente comienza a ser atendida por algún servidor, y el tiempoYi de servicio del clientei es IID terminadoi con alguna función de distribución dadaG(y); el tiempo de servicio es el intervalo desde el inicio hasta la finalización del servicio y también es independiente de las épocas de llegada. Nos gustaría encontrar la función de distribución del número de clientes atendidos en una época determinadaτ.

Screen Shot 2021-08-25 a las 6.25.21 PM.png
Figura 2.8: Las llegadas de Poisson{N(t);t>0} pueden considerarse divididas de manera no homogénea. Una llegada at se divide con probabilidad1G(τt) en un proceso de clientes que aún están en servicio enτ.

{N(t);t>0}Sea el proceso de conteo de Poisson, a razónλ, de llegadas de clientes. Considera los horarios de llegada de aquellos clientes que aún están en servicio en algún momento fijoT. En algún intervalo arbitrariamente pequeño(t,t+δ], la probabilidad de una llegada esδλ+o(δ) y la probabilidad de 2 o más llegadas es despreciable (es decir,o(δ)). La probabilidad de que un cliente llegue(t,t+δ] y siga siendo atendido a tiempoτ>t es entoncesδλ[1G(τt)]+o(δ). Considere un proceso de conteo{N1(t);0<tτ} dondeN1(t) está el número de llegadas entre 0 yt que aún están en servicio enT. Este proceso de conteo tiene la propiedad de incremento independiente. Para ver esto, tenga en cuenta que las llegadas generales en{N(t);t>0} tienen la propiedad de incremento independiente; también las llegadas en{N(t);t>0} tienen tiempos de servicio independientes, y por lo tanto son independientes en o no en{N1(t);0<tτ}. De ello se deduce que{N1(t);0<tτ} es un proceso de Poisson no homogéneo con tasaλ[1G(τt)] en el tiempotτ. El número esperado de llegadas que aún están en servicio a la horaT es entonces

m(τ)=λ}τt=0[1G(τt)]dt=λ}τt=0[1G(t)]dt

y el PMF del número en servicio en el momentoT es dado por

Pr{N1(τ)=n}=m(τ)nexp(m(τ))n!

Obsérvese que comoτ, la integral en\ ref {2.35} se acerca a la media de la distribución del tiempo de servicio (es decir, es la integral de la función de distribución complementaria1G(t),, del tiempo de servicio). Esto significa que en estado estacionario (asτ), la distribución del número en servicioτ depende de la distribución del tiempo de servicio solo a través de su media. Este ejemplo se puede utilizar para modelar situaciones como el número de llamadas telefónicas que tienen lugar en una época determinada. Esto requiere que las llegadas de nuevas llamadas se modelen como un proceso de Poisson y que el tiempo de espera de cada llamada se modele como una variable aleatoria independiente de otros tiempos de espera y de los tiempos de llegada de llamadas. Finalmente, como se muestra en la Figura 2.8, podemos considerar{N1(t);0<tτ} como una división del proceso de llegada{N(t);t>0}. Por el mismo tipo de argumento que en la Sección 2.3, el número de clientes que han completado el servicio por tiempoτ es independiente del número que aún está en servicio.


9 Suponemos queλ(t) es correcto continuo, es decir, que para cada unot,λ(t) es el límite deλ(t+ϵ) como seϵ acerca a 0 desde arriba. Estoλ(t) permite contener discontinuidades, como se ilustra en la Figura 2.7, pero sigue la convención de que el valor de la función en la discontinuidad es el valor limitante desde la derecha. Esta convención se requiere en\ ref {2.29} para hablar de la distribución de llegadas justo a la derecha del tiempot.


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