8.1: Señales Aperiódicas de Tiempo Continuo

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Introducción

Este módulo describe el tipo de señales sobre las que actúa la Transformada de Fourier de Tiempo Continuo.

Espacios Relevantes

La Transformada de Fourier de Tiempo Continuo mapea longitud infinita (a-periódica), señales de tiempo continuo en\(L^2\) longitud infinita, señales de frecuencia discreta en\(l^2\).

Señales Periódicas y Aperiódicas

Cuando una función se repite exactamente después de algún periodo, o ciclo dado, decimos que es periódica. Una función periódica puede definirse matemáticamente como:

\[f(t)=f(t+m T) \quad m \in \mathbb{Z} \label{8.1} \]

donde\(T>0\) representa el periodo fundamental de la señal, que es el valor positivo más pequeño de T para que la señal se repita. Debido a esto, es posible que también vea una señal denominada señal T-periódica. Se dice que cualquier función que satisfaga esta ecuación es periódica con el periodo T.

Una función de TC aperiódica\(f(t)\) no se repite para ninguna\(T \in \mathbb{R}\); es decir, no existe\(T\) tal que la Ecuación\ ref {8.1} mantenga.

Supongamos que tenemos tal función aperiódica\(f(t)\). Podemos construir una extensión periódica de\(f(t)\) llamada\(f_{T_o}(t)\), donde\(f(t)\) se repite cada\(T_0\) segundo. Si tomamos el límite como\(T_0 \rightarrow \infty\), obtenemos un modelo preciso de una señal aperiódica para la que se pueden aplicar todas las reglas que rigen las señales periódicas, incluido el Análisis de Fourier (con una modificación importante). Para más detalles sobre esta distinción, consulte el módulo sobre la Transformada de Fourier de Tiempo Continuo.

Demostración de señal aperiódica

APeriódicoDemo — Figura\(PageIndex{2}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica que demuestre Señales Periódicas versus Aperiódicas.Para descargar, haga clic derecho y guarde como .cdf.

Conclusión

Cualquier señal aperiódica puede ser definida por una suma infinita de funciones periódicas, una definición útil que permite usar Análisis de Fourier en ella asumiendo que todas las frecuencias están presentes en la señal.