15.10: Espacio de función

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

También podemos encontrar vectores base (Sección 15.9) para espacios vectoriales (Sección 15.2) distintos a\(\mathbb{R}^n\).

Dejar\(P_n\) ser el espacio vectorial de polinomios de orden\(n\) -ésimo en (-1, 1) con coeficientes reales (verificar\(P_2\) es un v.s. en casa).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(P_{2}=\{\text { all quadratic polynomials }\}\). Vamos\(b_0(t)=1\),\(b_1(t)=t\),\(b_2(t)=t^2\).

\(\left\{b_{0}(t), b_{1}(t), b_{2}(t)\right\}\)span\(P_2\), es decir, puede escribir cualquiera\(f(t) \in P_2\) como

\[f(t)=\alpha_{0} b_{0}(t)+\alpha_{1} b_{1}(t)+\alpha_{2} b_{2}(t) \nonumber \]

para algunos\(\alpha_{i} \in \mathbb{R}\).

Nota

\(P_2\)es de 3 dimensiones.

\[f(t)=t^2−3t−4 \nonumber \]

Bases alternas

\[\left\{b_{0}(t), b_{1}(t), b_{2}(t)\right\}=\left\{1, t, \frac{1}{2}\left(3 t^{2}-1\right)\right\} \nonumber \]

escribir\(f(t)\) en términos de esta nueva base\(d_0(t)=b_0(t)\),\(d_1(t)=b_1(t)\),\(d_{2}(t)=\frac{3}{2} b_{2}(t)-\frac{1}{2} b_{0}(t)\).

\ [\ begin {array} {c}
f (t) =t^ {2} -3 t-4=4 b_ {0} (t) -3 b_ {1} (t) +b_ {2} (t)\\
f (t) =\ beta_ {0} d_ {0} (t) +\ beta_ {1} d_ {1} (t) +\ beta_ {2} d_ {2} (t) =\ beta_ {0} b_ {0} (t) +\ beta_ {1} b_ {1} (t) +\ beta_ {2}\ izquierda (\ frac {3} {2} b_ {2} (t) -\ frac {1} {2} b_ {0} (t)\ derecha)\
f (t) =\ beta_ {0} b_ {0} (t) +\ beta_ {1 } b_ {1} (t) +\ frac {3} {2}\ beta_ {2} b_ {2} (t)
\ end {array}\ nonumber\]

por lo

\ [\ begin {array} {c}
\ beta_ {0} -\ frac {1} {2} =4\\
\ beta_ {1} =-3\\
\ frac {3} {2}\ beta_ {2} =1
\ end {array}\ nonumber\]

entonces conseguimos

\[f(t)=4.5 d_{0}(t)-3 d_{1}(t)+\frac{2}{3} d_{2}(t) \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(\left.e^{j \omega_{0} n t}\right|_{n=-\infty} ^{\infty}\)es una base para\(L^2([0,T])\),\(T=\frac{2 \pi}{\omega_0}\),\(f(t)=\sum_{n} C_{n} e^{j \omega_{0} n t}\).

Calculamos los coeficientes de expansión con

Fórmula de “cambio de base”:

\[C_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left(f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)}\right) d t \nonumber \]

Nota

Hay un número infinito de elementos en el conjunto de bases, eso significa que\(L^2([0,T])\) es infinito dimensional (¡da miedo!).

Los espacios infinito-dimensionales son difíciles de visualizar. Podemos manejar la intuición reconociendo que comparten muchas de las mismas propiedades matemáticas con espacios dimensionales finitos. Muchos conceptos se aplican a ambos (como “expansión de base”). Algunos no (el cambio de base no es una buena fórmula matricial).