15.11: Base de Ondículas de Haar

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Introducción

La serie de Fourier es una representación ortonormal útil (Sección 15.9)\(L^2([0,T])\) especialmente para entradas en sistemas LTI. Sin embargo, no es adecuado para algunas aplicaciones, es decir, el procesamiento de imágenes (recordar los fenómenos de Gibb (Sección 6.7)).

Las ondículas, descubiertas en los últimos 15 años, son otro tipo de base para\(L^2([0,T])\) y tienen muchas propiedades agradables.

Comparaciones de Bases

Serie de Fourier -\(c_n\) dar información de frecuencia. Las funciones básicas duran todo el intervalo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Funciones de base de Fourier

Ondículas: las funciones base dan información de frecuencia pero son locales en el tiempo.

Figura\(\PageIndex{2}\): Funciones de base de ondículas

En base a Fourier, las funciones base son múltiplos armónicos de\(e^{j \omega_0 t}\)

Figura\(\PageIndex{3}\):\(\text { basis }=\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_{0} n t}\right\}\)

En la base de wavelet Haar, las funciones base se escalan y traducen versiones de una “wavelet madre”\(\psi(t)\).

Las funciones de base\(\left\{\psi_{j, k}(t)\right\}\) están indexadas por una escala j y un desplazamiento k.

Vamos\(\phi(t)=1\),\(0 \leq t<T\) Entonces\(\left\{\phi(t), 2^{\frac{j}{2}} \psi\left(2^{j} t-k\right), \phi(t), 2^{\frac{j}{2}} \psi\left(2^{j} t-k\right) \mid j \in \mathbb{Z} \text { and }\left(k=0,1,2, \ldots, 2^{j}-1\right)\right\}\).

\ [\ psi (t) =\ left\ {\ begin {array} {l}
1\ text {if} 0\ leq t<\ frac {T} {2}\\
-1\ text {if} 0\ leq\ frac {T} {2} <T
\ end {array}\ right. \ nonumber\]