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1.9: Tiempo Discreto Complejo Exponencial

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Introducción

Los exponenciales complejos son algunas de las funciones más importantes en nuestro estudio de señales y sistemas. Su importancia se deriva de su estatus como funciones propias de sistemas lineales invariantes en el tiempo; como tal, puede ser conveniente y perspicaz representar señales en términos de exponenciales complejos. Antes de continuar, debes estar familiarizado con los números complejos.

El Tiempo Discreto Complejo Exponencial

Exponenciales Complejos

La compleja función exponencial se convertirá en una parte crítica de su estudio de señales y sistemas. Su forma general discreta está escrita como

$z^n \nonumber$

donde$$z$$ es un número complejo. Recordando la expresión polar de números complejos, se$$z$$ puede expresar en términos de su magnitud$$|z|$$ y su ángulo (o argumento)$$\omega$$ en el plano complejo:$$z=|z| e^{j \omega}$$. Así$$z^{n}=(|z|)^{n} e^{j \omega n}$$. En el contexto de exponenciales complejos,$$\omega$$ se conoce como frecuencia. Por el momento, consideremos exponenciales complejos para los cuales$$|z|=1$$.

Estos exponenciales discretos complejos de tiempo tienen la siguiente propiedad, que se hará evidente a través de la discusión de la fórmula de Euler.

$e^{j \omega n}=e^{j(\omega+2 \pi) n} \nonumber$

Dada esta propiedad, si tenemos un exponencial complejo con frecuencia$$\omega + 2 \pi$$, entonces esta señal “alias” a un exponencial complejo con frecuencia$$\omega$$, lo que implica que las representaciones de ecuaciones de exponenciales complejos discretos no son únicas.

Fórmula de Euler

El matemático Euler demostró una identidad importante relacionando exponenciales complejos con funciones trigonométricas. Específicamente, descubrió la identidad epónimamente nombrada, la fórmula de Euler, que establece que para cualquier número real$$x$$,

$e^{j x}=\cos (x)+j \sin (x) \nonumber$

que se puede probar de la siguiente manera.

Para probar la fórmula de Euler, comenzamos evaluando la serie Taylor para$$e^z$$ aproximadamente$$z=0$$, que converge para todos los complejos$$z$$, en$$z=jx$$. El resultado es

\ begin {align}
e^ {j x} &=\ sum_ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {(j x) ^ {k}} {k!} \ nonumber\\
&=\ suma_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k}\ frac {x^ {2 k}} {(2 k)!} +j\ sum_ {k=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k}\ frac {x^ {2 k+1}} {(2 k+1)!} \ nonumber\\
&=\ cos (x) +j\ sin (x)
\ end {align}

porque la segunda expresión contiene la serie Taylor for$$\cos(x)$$ and$$\sin(x)$$ about$$t=0$$, que convergen para todos reales$$x$$. Así, se prueba el resultado deseado.

Eligiendo$$x=\omega n$$, contamos con:

$e^{j \omega n}=\cos (\omega n)+j \sin (\omega n) \nonumber$

que rompe un discreto complejo de tiempo exponencial en su parte real y parte imaginaria. Usando esta fórmula, también podemos derivar las siguientes relaciones.

$\cos (\omega n)=\frac{1}{2} e^{j \omega n}+\frac{1}{2} e^{-j \omega n} \nonumber$

$\sin (\omega n)=\frac{1}{2 j} e^{j \omega n}-\frac{1}{2 j} e^{-j \omega n} \nonumber$

Partes reales e imaginarias de exponenciales complejos

Ahora volvamos al caso más general de exponenciales complejos,$$z^n$$. Recordemos eso$$z^{n}=(|z|)^{n} e^{j \omega n}$$. Esto lo podemos expresar en términos de sus partes reales e imaginarias:

$\operatorname{Re}\left\{z^{n}\right\}=(|z|)^{n} \cos (\omega n) \nonumber$

$\operatorname{Im}\left\{z^{n}\right\}=(|z|)^{n} \sin (\omega n) \nonumber$

Vemos ahora que la magnitud de$$z$$ establece una envolvente exponencial a la señal, con velocidad$$\omega$$ controladora de la oscilación sinusoidal dentro de la envolvente.

Resumen Exponencial Complejo de Tiempo Discreto

Los exponenciales complejos de tiempo discretos son señales de gran importancia para el estudio de señales y sistemas. Se pueden relacionar con sinusoides a través de la fórmula de Euler, que identifica las partes reales e imaginarias de exponenciales complejos. La fórmula de Eulers revela que, en general, las partes reales e imaginarias de exponenciales complejos son sinusoides multiplicados por exponenciales reales.

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