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12.9: Diseño de Filtro de Tiempo Discreto

  • Page ID
    86424
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    Estimación de la respuesta de frecuencia desde el plano Z

    Uno de los principales factores motivadores para utilizar la transformada z y analizar las gráficas polo/cero se debe a su relación con la respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto. Con base en la posición de los polos y ceros, se puede determinar rápidamente la respuesta de frecuencia. Esto es resultado de la correspondencia entre la respuesta de frecuencia y la función de transferencia evaluada en el círculo unitario en las gráficas polo/cero. La respuesta de frecuencia, o DTFT, del sistema se define como:

    \ [\ begin {align}
    H (w) &=\ izquierda.h (z)\ derecha|_ {z, z=e^ {j w}}\ nonumber\\
    &=\ frac {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} e^ {- (jwk)}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_} e^ {- (jw k)}}
    \ end {align}\ nonumber\]

    A continuación, al factorizar la función de transferencia en polos y ceros y multiplicar el numerador y el denominador por\(e^{jw}\) llegamos a las siguientes ecuaciones:

    \[H(w)=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\prod_{k=1}^{M}\left|e^{j w}-c_{k}\right|}{\prod_{k=1}^{N}\left|e^{j w}-d_{k}\right|} \label{12.80} \]

    De la Ecuación\ ref {12.80} tenemos la respuesta de frecuencia en una forma que puede ser utilizada para interpretar características físicas sobre la respuesta de frecuencia del filtro. El numerador y denominador contienen un producto de términos de la forma\(|e^{jw}-h|\), donde\(h\) es un cero, denotado por\(c_k\) o un polo, denotado por\(d_k\). Los vectores se utilizan comúnmente para representar el término y sus partes en el plano complejo. El polo o cero,\(h\), es un vector desde el origen hasta su ubicación en cualquier parte del plano complejo y\(e^{jw}\) es un vector desde el origen hasta su ubicación en el círculo unitario. El vector que conecta estos dos puntos\(|e^{jw}-h|\),, conecta el polo o ubicación cero a un lugar en el círculo unitario dependiendo del valor de\(w\). A partir de esto, podemos comenzar a entender cómo la magnitud de la respuesta de frecuencia es una relación de las distancias a los polos y cero presente en el plano z a medida que ww va de cero a pi. Estas características nos permiten interpretar de la\(|H(w)|\) siguiente manera:

    \[|H(w)|=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\prod \text { "distances from zeros" }}{\prod \text { "distances from poles" }} \nonumber \]

    Respuesta de frecuencia de dibujo desde la gráfica de polo/cero

    Veamos ahora varios ejemplos de determinación de la magnitud de la respuesta de frecuencia a partir de la gráfica polo/cero de una transformada z. Si ha olvidado o no está familiarizado con las parcelas polo/cero, consulte el módulo Polo/Zero Plot (Sección 12.5).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    En este primer ejemplo vamos a echar un vistazo a la muy simple z-transform que se muestra a continuación:

    \[H(z)=z+1=1+z^{-1} \nonumber \]

    \[H(w)=1+e^{-(j w)} \nonumber \]

    Para este ejemplo, algunos de los vectores representados por\(\left|e^{j w}-h\right|\), para valores aleatorios de\(w\), se dibujan explícitamente sobre el plano complejo que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) siguiente. Estos vectores muestran cómo la amplitud de la respuesta de frecuencia cambia a medida que\(w\) va de\(0\) a\(2 \pi\), y también muestran el significado físico de los términos en la Ecuación\ ref {12.80} anterior. Se puede ver que cuando\(w=0\), el vector es el más largo y así la respuesta de frecuencia tendrá aquí su mayor amplitud. A medida que se acerca ww\(\pi\), la longitud de los vectores disminuye al igual que la amplitud de\(|H(w)|\). Como no hay polos en la transformada, solo existe este término de un vector en lugar de una relación como se ve en la Ecuación\ ref {12.80}.

    (a) Parcela Polo/Cero

    b) Respuesta de frecuencia:\(|H(w)|\)

    Figura\(\PageIndex{1}\): La primera figura representa la gráfica polo/cero con algunos vectores representativos graficados mientras que la segunda muestra la respuesta de frecuencia con un pico en\(+2\) y graficado entre más y menos\(\pi\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Para este ejemplo, se analiza una función de transferencia más compleja para representar la respuesta de frecuencia del sistema.

    \[H(z)=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} \nonumber \]

    \[H(w)=\frac{1}{1-\frac{1}{2} e^{-(j w)}} \nonumber \]

    A continuación podemos ver las dos figuras descritas por las ecuaciones anteriores. La Figura\(\PageIndex{2}(a)\) representa la gráfica básica polo/cero de la transformada z,\(H(w)\). La figura\(\PageIndex{2}(b)\) muestra la magnitud de la respuesta de frecuencia. A partir de las fórmulas y declaraciones de la sección anterior, podemos ver que cuando\(w=0\) la frecuencia alcanzará su pico ya que es a este valor de ww donde el polo está más cercano al círculo unitario. La relación de Ecuación\ ref {12.80} nos ayuda a ver las matemáticas detrás de esta conclusión y la relación entre las distancias del círculo unitario y los polos y ceros. A medida que\(w\) se mueve de\(0\) a\(\pi\), vemos cómo el cero comienza a enmascarar los efectos del polo y así forzar la respuesta de frecuencia más cerca a\(0\).

    (a) Parcela Polo/Cero

    b) Respuesta de frecuencia:\(|H(w)|\)

    Figura\(\PageIndex{2}\): La primera figura representa la gráfica polo/cero mientras que la segunda muestra la respuesta de frecuencia con un pico a\(+2\) y graficada entre más y menos\(\pi\).

    Diseño de Filtros Interactivos Ilustración

    Figura\(\PageIndex{3}\): Diseño de filtro digital Instrumento virtual LabVIEW por NI de http://cnx.org/content/m13115/latest/.

    Conclusión

    En conclusión, utilizando las distancias desde el círculo unitario hasta los polos y ceros, podemos trazar la respuesta de frecuencia del sistema. A medida que ww va de\(0\) a\(2\pi\), las dos propiedades siguientes, tomadas de las ecuaciones anteriores, especifican cómo se debe dibujar\(|H(w)|\).

    Mientras se mueve alrededor del círculo de la unidad...

    1. si está cerca de un cero, entonces la magnitud es pequeña. Si hay un cero en el círculo unitario, entonces la respuesta de frecuencia es cero en ese punto.
    2. si está cerca de un polo, entonces la magnitud es grande. Si un polo está en el círculo unitario, entonces la respuesta de frecuencia va al infinito en ese punto.

    This page titled 12.9: Diseño de Filtro de Tiempo Discreto is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..