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12.8: Ecuaciones de Diferencia

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    Introducción

    Uno de los conceptos más importantes de DSP es poder representar adecuadamente la relación entrada/salida con un sistema LTI dado. Una ecuación lineal de diferencia de coeficiente constante (LCCDE) sirve como una forma de expresar solo esta relación en un sistema discreto de tiempo. Escribir la secuencia de entradas y salidas, que representan las características del sistema LTI, como una ecuación de diferencia ayuda en la comprensión y manipulación de un sistema.

    Definición: Ecuación de diferencia

    Una ecuación que muestra la relación entre los valores consecutivos de una secuencia y las diferencias entre ellos. A menudo se reorganizan como una fórmula recursiva para que la salida de un sistema pueda calcularse a partir de la señal de entrada y salidas pasadas.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \[y[n]+7 y[n-1]+2 y[n-2]=x[n]-4 x[n-1] \nonumber \]

    Fórmulas generales para la ecuación de diferencia

    Como se indicó brevemente en la definición anterior, una ecuación de diferencia es una herramienta muy útil para describir y calcular la salida del sistema descrito por la fórmula para una muestra dada\(n\). La propiedad clave de la ecuación de diferencia es su capacidad para ayudar a encontrar fácilmente la transformación,\(H(z)\), de un sistema. En las dos subsecciones siguientes, veremos la forma general de la ecuación de diferencia y la conversión general a una transformada z directamente a partir de la ecuación de diferencia.

    Ecuación de Diferencia

    La forma general de una ecuación lineal de diferencia de coeficiente constante (LCCDE), se muestra a continuación:

    \[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k] \label{12.52} \]

    También podemos escribir la forma general para expresar fácilmente una salida recursiva, que se ve así:

    \[y[n]=-\sum_{k=1}^{N} a_{k} y[n-k]+\sum_{k=0}^{M} b_{k} x[n-k] \label{12.53} \]

    A partir de esta ecuación, tenga en cuenta que\(y[n−k]\) representa las salidas y\(x[n−k]\) representa las entradas. El valor de\(N\) representa el orden de la ecuación de diferencia y corresponde a la memoria del sistema que se está representando. Debido a que esta ecuación se basa en valores pasados de la salida, para poder calcular una solución numérica, se deben conocer ciertas salidas pasadas, denominadas condiciones iniciales.

    Conversión a transformada Z

    Usando la fórmula anterior, Ecuación\ ref {12.53}, podemos generalizar fácilmente la función de transferencia,\(H(z)\), para cualquier ecuación de diferencia. A continuación se muestran los pasos dados para convertir cualquier ecuación de diferencia en su función de transferencia, es decir, transformada z. El primer paso consiste en tomar la Transformada de Fourier de todos los términos en la Ecuación\ ref {12.53}. Luego usamos la propiedad de linealidad para tirar de la transformación dentro de la suma y la propiedad de desplazamiento de tiempo de la transformada z para cambiar los términos de desplazamiento de tiempo a exponenciales. Una vez hecho esto, llegamos a la siguiente ecuación:\(a_0=1\).

    \[Y(z)=-\sum_{k=1}^{N} a_{k} Y(z) z^{-k}+\sum_{k=0}^{M} b_{k} X(z) z^{-k} \nonumber \]

    \ [\ begin {align}
    H (z) &=\ frac {Y (z)} {X (z)}\ nonumber\\
    &=\ frac {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} z^ {-k}} {1+\ sum_ {k=1} ^ {N} a_ {k} z^ {-k}}\ end {k=1} ^ {N} a_ {k} z^ {-k}
    \ end {k}\ nonumber\]

    Conversión a Respuesta de Frecuencia

    Una vez que se ha calculado la transformada z a partir de la ecuación de diferencia, podemos ir un paso más allá para definir la respuesta de frecuencia del sistema, o filtro, que está siendo representada por la ecuación de diferencia.

    Nota

    Recuerda que la razón por la que estamos tratando con estas fórmulas es para poder ayudarnos en el diseño de filtros. Un LCCDE es una de las formas más fáciles de representar los filtros FIR. Al poder encontrar la respuesta de frecuencia, podremos observar las propiedades básicas de cualquier filtro representado por un simple LCCDE.

    A continuación se muestra la fórmula general para la respuesta de frecuencia de una transformada z. La conversión es simple una cuestión de tomar la fórmula z-transform,\(H(z)\), y reemplazar cada instancia de\(z\) con\(e^{jw}\).

    \ [\ begin {align}
    H (w) &=\ izquierda.h (z)\ derecha|_ {z, z=e^ {jw}}\\
    &=\ frac {\ sum_ {k=0} ^ {M} b_ {k} e^ {- (j w k)}} {\ sum_ {k=0} ^ {N} a_ {k} e^ {- (j w k)}}
    \ end {align}\ nonumber\]

    Una vez que entienda la derivación de esta fórmula, mire el módulo relativo al diseño de filtros a partir de la Transformación Z (Sección 12.9) para ver cómo todas estas ideas de la transformada Z, la Ecuación de Diferencia y las Parcelas de Polo/Cero (Sección 12.5) juegan un papel en el diseño de filtros.

    Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding Difference Equation

    A continuación se muestra un ejemplo básico que muestra lo contrario de los pasos anteriores: dada una función de transferencia se puede calcular fácilmente la ecuación de diferencia de sistemas.

    \[H(z)=\frac{(z+1)^{2}}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)} \nonumber \]

    Dada esta función de transferencia de un filtro de dominio de tiempo, queremos encontrar la ecuación de diferencia. Para empezar, expandir ambos polinomios y dividirlos por el orden más alto\(z\).

    \ [\ begin {align}
    H (z) &=\ frac {(z+1) (z+1)} {\ izquierda (z-\ frac {1} {2}\ derecha)\ izquierda (z+\ frac {3} {4}\ derecha)}\ nonumber\\
    &=\ frac {z^ {2} +2 z+1} {z^ {2} +2 z+1- frac {3} {8}}\ nonumber\\
    &=\ frac {1+2 z^ {-1} +z^ {-2}} {1+\ frac {1} {4} z^ {-1} -\ frac {3} {8} z^ {-2}}
    \ end { align}\ nonumber\]

    A partir de esta función de transferencia, los coeficientes de los dos polinomios serán nuestros\(a_k\) y\(b_k\) los valores encontrados en la fórmula de la ecuación de diferencia general, Ecuación\ ref {12.53}. Usando estos coeficientes y la forma anterior de la función de transferencia, podemos escribir fácilmente la ecuación de diferencia:

    \[x[n]+2 x[n-1]+x[n-2]=y[n]+\frac{1}{4} y[n-1]-\frac{3}{8} y[n-2] \nonumber \]

    En nuestro paso final, podemos reescribir la ecuación de diferencia en su forma más común mostrando la naturaleza recursiva del sistema.

    \[y[n]=x[n]+2 x[n-1]+x[n-2]+\frac{-1}{4} y[n-1]+\frac{3}{8} y[n-2] \nonumber \]

    Resolviendo un LCCDE

    Para que una ecuación lineal de diferencia de coeficiente constante sea útil en el análisis de un sistema LTI, debemos ser capaces de encontrar la salida del sistema en base a una entrada conocida\(x(n)\), y un conjunto de condiciones iniciales. Existen dos métodos comunes para resolver un LCCDE: el método directo y el método indirecto, el último se basa en la transformada z. A continuación discutiremos brevemente las fórmulas para resolver un LCCDE utilizando cada uno de estos métodos.

    Método Directo

    La solución final a la salida basada en el método directo es la suma de dos partes, expresada en la siguiente ecuación:

    \[y(n)=y_{h}(n)+y_{p}(n) \nonumber \]

    La primera parte\(y_h(n)\),, se conoce como la solución homogénea y la segunda parte\(y_h(n)\),, se denomina solución particular. El siguiente método es muy similar al utilizado para resolver muchas ecuaciones diferenciales, por lo que si has tomado un curso de cálculo diferencial o has usado ecuaciones diferenciales antes entonces esto debería parecer muy familiar.

    Solución Homogénea

    Comenzamos asumiendo que la entrada es cero,\(x(n)=0\). Ahora simplemente necesitamos resolver la ecuación de diferencia homogénea:

    \[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y[n-k]=0 \nonumber \]

    Para resolver esto, haremos el supuesto de que la solución es en forma de exponencial. Usaremos lambda,\(\lambda\), para representar nuestros términos exponenciales. Ahora tenemos que resolver la siguiente ecuación:

    \[\sum_{k=0}^{N} a_{k} \lambda^{n-k}=0 \nonumber \]

    Podemos expandir esta ecuación y factificar todos los términos lambda. Esto nos dará un gran polinomio entre paréntesis, al que se le conoce como el polinomio característico. Las raíces de este polinomio serán la clave para resolver la ecuación homogénea. Si hay todas las raíces distintas, entonces la solución general a la ecuación será la siguiente:

    \[y_{h}(n)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{n}+\cdots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{n} \nonumber \]

    Sin embargo, si la ecuación característica contiene múltiples raíces entonces la solución general anterior será ligeramente diferente. A continuación tenemos la versión modificada para una ecuación donde\(\lambda_1\) tiene\(K\) múltiples raíces:

    \[y_{h}(n)=C_{1}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{1} n\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{1} n^{2}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+\cdots+C_{1} n^{K-1}\left(\lambda_{1}\right)^{n}+C_{2}\left(\lambda_{2}\right)^{n}+\cdots+C_{N}\left(\lambda_{N}\right)^{n} \nonumber \]

    Solución Particular

    La solución particular,\(y_p(n)\), será cualquier solución que resuelva la ecuación de diferencia general:

    \[\sum_{k=0}^{N} a_{k} y_{p}(n-k)=\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k) \nonumber \]

    Para resolver, nuestra conjetura para que la solución\(y_p(n)\) asuma la forma de la entrada,\(x(n)\). Después de adivinar una solución a la ecuación anterior que involucra la solución particular, solo se necesita enchufar la solución en la ecuación de diferencia y resolverla.

    Método Indirecto

    El método indirecto utiliza la relación entre la ecuación de diferencia y la transformada z, discutida anteriormente, para encontrar una solución. La idea básica es convertir la ecuación de diferencia en una transformada z, como se describió anteriormente, para obtener la salida resultante,\(Y(z)\). Luego, transformando esto a la inversa y usando expansión de fracción parcial, podemos llegar a la solución.

    \[Z\{y(n+1)-y(n)\}=z Y(z)-y(0) \nonumber \]

    Esto se puede extender interativamente a una derivada de orden arbitrario como en la Ecuación\ ref {12.69}.

    \[Z\left\{-\sum_{m=0}^{N-1} y(n-m)\right\}=z^{n} Y(z)-\sum_{m=0}^{N-1} z^{n-m-1} y^{(m)}(0) \label{12.69} \]

    Ahora, se puede tomar la transformación de Laplace de cada lado de la ecuación diferencial

    \[Z\left\{\sum_{k=0}^{N} a_{k}\left[y(n-m+1)-\sum_{m=0}^{N-1} y(n-m) y(n)\right]=Z\{x(n)\}\right\} \nonumber \]

    que por linealidad da como resultado

    \[\sum_{k=0}^{N} a_{k} Z\left\{y(n-m+1)-\sum_{m=0}^{N-1} y(n-m) y(n)\right\}=Z\{x(n)\} \nonumber \]

    y por propiedades de diferenciación en

    \[\sum_{k=0}^{N} a_{k}\left(z^{k} Z\{y(n)\}-\sum_{m=0}^{N-1} z^{k-m-1} y^{(m)}(0)\right)=Z\{x(n)\}. \nonumber \]

    Reorganizar los términos para aislar la transformación de Laplace de la salida,

    \[Z\{y(n)\}=\frac{Z\{x(n)\}+\sum_{k=0}^{N} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} z^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{k}}. \nonumber \]

    Así, se encuentra que

    \[Y(z)=\frac{X(z)+\sum_{k=0}^{N} \sum_{m=0}^{k-1} a_{k} z^{k-m-1} y^{(m)}(0)}{\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{k}}. \label{12.74} \]

    Para encontrar la salida, solo queda encontrar la transformada de Laplace\(X(z)\) de la entrada, sustituir las condiciones iniciales y calcular la transformada Z inversa del resultado. A menudo se requieren expansiones parciales de fracciones para este último paso. Esto puede sonar desalentador al mirar la Ecuación\ ref {12.74}, pero a menudo es fácil en la práctica, especialmente para ecuaciones de diferencia de orden bajo. La ecuación\ ref {12.74} también se puede utilizar para determinar la función de transferencia y la respuesta de frecuencia.

    Como ejemplo, considere la ecuación de diferencia

    \[y[n-2]+4 y[n-1]+3 y[n]=\cos (n) \nonumber \]

    con las condiciones iniciales\(y′(0)=1\) y\(y(0)=0\) Usando el método descrito anteriormente, la transformada Z de la solución\(y[n]\) viene dada por

    \[Y[z]=\frac{z}{\left[z^{2}+1\right][z+1][z+3]}+\frac{1}{[z+1][z+3]}. \nonumber \]

    Al realizar una descomposición parcial de la fracción, esto también es igual

    \[Y[z]=.25 \frac{1}{z+1}-.35 \frac{1}{z+3}+.1 \frac{z}{z^{2}+1}+.2 \frac{1}{z^{2}+1}. \nonumber \]

    Computación de la transformada inversa de Laplace,

    \[y(n)=\left(.25 z^{-n}-.35 z^{-3 n}+.1 \cos (n)+.2 \sin (n)\right) u(n). \nonumber \]

    Se puede verificar que esto satisfaga que esto satisfaga tanto la ecuación diferencial como las condiciones iniciales.


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