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15.7: Espacios comunes de Hilbert

  • Page ID
    86596
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Espacios comunes de Hilbert

    A continuación veremos los cuatro espacios Hilbert más comunes (Sección 15.4) con los que tendrá que lidiar al discutir y manipular señales y sistemas.

    \(\mathbb{R}^n\)(escalares reales) y\(\mathbb{C}^n\) (escalares complejos), también llamados\(\ell^{2}([0, n-1])\)

    \ (\ negridsymbol {x} =\ left (\ begin {array} {c}
    x_ {0}\\
    x_ {1}\\
    \ puntos\\
    x_ {n-1}
    \ end {array}\ right)\) es una lista de números (secuencia finita). El producto interior (Sección 15.4) para nuestros dos espacios son los siguientes:

    • Producto interior estándar\(\mathbb{R}^n\):

      \ begin {align}
      \ langle\ negridsymbol {x},\ negridsymbol {y}\ rangle &=\ negridsymbol {y} ^ {T}\ negridsymbol {x}\ nonumber\\
      &=\ sum_ {i=0} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i}
      \ end {align}

    • Producto interior estándar\(\mathbb{C}^n\):

      \ [\ begin {align}
      \ langle\ negridsymbol {x},\ negridsymbol {y}\ rangle &=\ overline {\ boldsymbol {y} ^ {T}}\ negridsymbol {x}\ nonumber\\
      &=\ sum_ {i=0} ^ {n-1} x_ {i}\ bar {y} _ {i}
      \ end {align}\ nonumber\]

    Modelo para: Señales de tiempo discretas en el intervalo\([0,n−1]\) o señales de tiempo discretas periódicas (con período\(n\)). \ [\ left (\ begin {array} {c}
    x_ {0}\\
    x_ {1}\\
    \ puntos\\
    x_ {n-1}
    \ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

    Figura\(\PageIndex{1}\)

    \( f \in L^2 ([a,b])\)es una función de energía finita en\([a,b]\)

    Producto interno

    \[\langle f, g\rangle=\int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

    Modelo para: señales de tiempo continuas en el intervalo\([a,b]\) o señales de tiempo continuas periódicas (con período\(T=b−a\))

    \(x \in \ell^{2}(\mathbb{Z})\)es una secuencia infinita de números que es sumable al cuadrado

    Producto interior

    \[\langle x, y\rangle=\sum_{i=-\infty}^{\infty} x[i] \overline{y[i]} \nonumber \]

    Modelo para: tiempo discreto, señales no periódicas

    \(f \in L^{2}(\mathbb{R})\)es una función de energía finita en todos\(\mathbb{R}\).

    Producto interior

    \[\langle f, g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \nonumber \]

    Modelo para: tiempo continuo, señales no periódicas

    Análisis de Fourier Asociado

    Cada uno de estos 4 espacios de Hilbert tiene asociado un tipo de análisis de Fourier.

    • \(L^2([a,b])\)→ Serie de Fourier
    • \(\ell^{2}([0, n-1])\)→ Transformada Discreta de Fourier
    • \(L^{2}(\mathbb{R})\)→ Transformada de Fourier
    • \(\ell^{2}(\mathbb{Z})\)→ Transformada Discreta de Fourier de

    Pero los 4 de estos se basan en los mismos principios (el espacio Hilbert).

    Nota Importante

    No todos los espacios normados son espacios de Hilbert

    Por ejemplo:\(L^1(\mathbb{R})\),\(\|f\|_{1}=\int|f(t)| d t\). Inténtalo como puedas, no puedes encontrar un producto interno que induzca esta norma, es decir, un\(\langle\cdot, \cdot\rangle\) tal que

    \ [\ begin {align}
    \ langle f, f\ rangle &=\ left (\ int (|f (t) |) ^ {2}\ mathrm {d} t\ derecha) ^ {2}\ nonumber\\
    &=\ izquierda (\ |f\ |_ {1}\ derecha) ^ {2}
    \ end {align}\ nonumber\]

    De hecho, de todos los\(L^p(\mathbb{R})\) espacios,\(L^2(\mathbb{R})\) es el único que es un espacio Hilbert.

    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Los espacios de Hilbert son, con mucho, los más bonitos. Si usas o estudias la expansión de base ortonormal (Sección 15.9) entonces comenzarás a ver por qué esto es cierto.


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