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15.8: Tipos de Bases

  • Page ID
    86559
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    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Bases Normalizadas

    Definición: Bases Normalizadas

    Una base\(\left\{b_{i}\right\}\) donde cada uno\(b_i\) tiene norma de unidad

    \[\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber \]

    Nota

    El concepto de base se aplica a todos los espacios vectoriales (Sección 15.2). El concepto de base normalizada se aplica únicamente a los espacios normalizados (Sección 15.3).

    Siempre se puede normalizar una base: simplemente multiplique cada vector base por una constante, como\(\frac{1}{\left\|b_{i}\right\|}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Se nos da la siguiente base:

    \ [\ left\ {b_ {0}, b_ {1}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
    1\\
    1
    \ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    -1
    \ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

    Normalizado con\(\ell^{2}\) norma:

    \ [\ begin {array} {c}
    \ tilde {b} _ {0} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    1
    \ end {array}\ derecha)\
    \ tilde {b} _ {1} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    -1
    \ end {array}\ derecha)
    \ end {array}\ nonumber\]

    Normalizado con\(\ell^{1}\) norma:

    \ [\ begin {array} {c}
    \ tilde {b} _ {0} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    1
    \ end {array}\ derecha)\
    \ tilde {b} _ {1} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {c}
    1\
    -1
    \ end {array}\ derecha)
    \ end { matriz}\ nonumber\]

    Bases ortogonales

    Bases ortogonales
    una base {b i} b i en la que los elementos son mutuamente ortogonales

    f i, ij :( b i, b j =0) i i i b i b j 0

    Definición: Bases ortogonales

    Una base\(\left\{b_{i}\right\}\) en la que los elementos son mutuamente ortogonales

    \[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=0, \quad i \neq j \nonumber \]

    Nota

    El concepto de base ortogonal se aplica únicamente a Hilbert Spaces (Sección 15.4).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Base estándar para\(\mathbb{R}^2\), también denominada\(\ell^{2}([0,1])\):

    \ [\ begin {array} {l}
    b_ {0} =\ left (\ begin {array} {l}
    1\\
    0
    \ end {array}\ derecha)\\
    b_ {1} =\ left (\ begin {array} {l}
    0\\
    1\ end {array}
    \ right)\ end {array}
    \ end {array}\ nonumber\]

    \[\left\langle b_{0}, b_{1}\right\rangle=\sum_{i=0}^{1} b_{0}[i] b_{1}[i]=1 \times 0+0 \times 1=0 \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Ahora tenemos las siguientes bases y relación:

    \ [\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
    1\\
    1
    \ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    -1
    \ end {array}\ right)\ right\} =\ left\ {h_ {0}, h_ {1}\ right\}\ nonumber\]

    \[\left\langle h_{0}, h_{1}\right\rangle=1 \times 1+1 \times-1=0 \nonumber \]

    Bases Ortonormales

    Al juntar las dos secciones anteriores (definiciones), llegamos al tipo de base más importante y útil:

    Definición: Bases Ortonormales

    Una base normalizada y ortogonal

    \[\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber \]

    \[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle \quad, \quad i \neq j \nonumber \]

    Notación:

    Podemos acortar estas dos declaraciones en una sola:

    \[\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=\delta_{i j} \nonumber \]

    donde

    \ [\ delta_ {i j} =\ left\ {\ begin {array} {l}
    1\ text {if} i=j\\
    0\ text {if} i\ neq j
    \ end {array}\ right. \ nonumber\]

    Donde\(\delta_{i j}\) se conoce como la función delta de Kronecker (Sección 1.6) y también a menudo se escribe como\(\delta[i-j]\).

    Ejemplo de Bases Ortonormales #1

    \ [\ left\ {b_ {0}, b_ {2}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
    1\\
    0
    \ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {l}
    0\\
    1
    \ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

    Ejemplo de Bases Ortonormales #2

    \ [\ left\ {b_ {0}, b_ {2}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
    1\\
    1
    \ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    -1
    \ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

    Ejemplo de Bases Ortonormales #3

    \ [\ izquierda\ {b_ {0}, b_ {2}\ derecha\} =\ izquierda\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {l}
    1\\
    1
    \ end {array}\ right),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
    1\
    -1
    \ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

    Belleza de Bases Ortonormales

    ¡Las bases ortonormales son muy fáciles de manejar! Si\(\left\{b_{i}\right\}\) es una base ortonormal, podemos escribir para cualquier\(x\)

    \[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

    Es fácil encontrar los\(\alpha_i\):

    \ [\ begin {align}
    \ izquierda\ langle x, b_ {i}\ derecha\ rangle &=\ izquierda\ langle\ suma_ {k}\ alpha_ {k} b_ {k}, b_ {i}\ derecha\ rangle\ nonumber\\
    &=\ sum_ {k}\ alpha_ {k}\ alfa_ {k}\ izquierda\ langle\ izquierda (b_ {k}, _ {i}\ derecha)\ derecha\ rangle
    \ end {align}\ nonumber\]

    donde en la ecuación anterior podemos usar nuestro conocimiento de la función delta para reducir esta ecuación:

    \ [\ begin {array} {c}
    \ left\ langle b_ {k}, b_ {i}\ right\ rangle=\ delta_ {i k} =\ left\ {\ begin {array} {l}
    1\ text {if} i=k\\
    0\ text {if} i\ neq k
    \ end {array}\ right. \\
    \ izquierda\ langle x, b_ {i}\ derecha\ rangle=\ alpha_ {i}
    \ end {array}\ nonumber\]

    Por lo tanto, podemos concluir la siguiente ecuación importante para\(x\):

    \[x=\sum_{i}\left\langle\left(x, b_{i}\right)\right\rangle b_{i} \nonumber \]

    Los\(\alpha_i\) s son fáciles de calcular (sin interacción entre los\(b_i\)'s)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Teniendo en cuenta las siguientes bases:

    \ [\ izquierda\ {b_ {0}, b_ {1}\ derecha\} =\ izquierda\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
    1\\
    1
    \ end {array}\ right),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
    1\
    -1
    \ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

    representar\ (x=\ izquierda (\ begin {array} {l}
    3\\
    2
    \ end {array}\ derecha)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Slightly Modified Fourier Series

    Se nos da la base

    \[\left.\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_{0} n t}\right\}\right|_{n=-\infty} ^{\infty} \nonumber \]

    en\(L^2([0,T])\) donde\(T=\frac{2 \pi}{\omega_0}\).

    \[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\langle\left(f, e^{j \omega_{0} n t}\right)\right\rangle e^{j \omega_{0} n t} \frac{1}{\sqrt{T}} \nonumber \]

    Donde podemos calcular el producto interno anterior\(L^2\) como

    \[\left\langle f, e^{j \omega_{0} n t}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) \overline{e^{j \omega_{0} n t}} \mathrm{d} t=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber \]

    Expansiones de base ortonormal en un espacio de Hilbert

    Dejar\(\left\{b_{i}\right\}\) ser una base ortonormal para un espacio Hilbert\(H\). Entonces, para cualquiera\(x \in H\) podemos escribir

    \[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

    donde\(\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle\).

    • “Análisis”: descomposición\(x\) en término del\(b_i\)

      \[\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle \nonumber \]

    • “Síntesis”:\(x\) construir a partir de una combinación ponderada del\(b_i\)

      \[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]


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