Saltar al contenido principal

# 15.8: Tipos de Bases

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

Una base$$\left\{b_{i}\right\}$$ donde cada uno$$b_i$$ tiene norma de unidad

$\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber$

Nota

El concepto de base se aplica a todos los espacios vectoriales (Sección 15.2). El concepto de base normalizada se aplica únicamente a los espacios normalizados (Sección 15.3).

Siempre se puede normalizar una base: simplemente multiplique cada vector base por una constante, como$$\frac{1}{\left\|b_{i}\right\|}$$

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Se nos da la siguiente base:

\ [\ left\ {b_ {0}, b_ {1}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Normalizado con$$\ell^{2}$$ norma:

\ [\ begin {array} {c}
\ tilde {b} _ {0} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\
\ tilde {b} _ {1} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

Normalizado con$$\ell^{1}$$ norma:

\ [\ begin {array} {c}
\ tilde {b} _ {0} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\
\ tilde {b} _ {1} =\ frac {1} {2}\ left (\ begin {array} {c}
1\
-1
\ end {array}\ derecha)
\ end { matriz}\ nonumber\]

## Bases ortogonales

Bases ortogonales
una base {b i} b i en la que los elementos son mutuamente ortogonales

f i, ij :( b i, b j =0) i i i b i b j 0

Definición: Bases ortogonales

Una base$$\left\{b_{i}\right\}$$ en la que los elementos son mutuamente ortogonales

$\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=0, \quad i \neq j \nonumber$

Nota

El concepto de base ortogonal se aplica únicamente a Hilbert Spaces (Sección 15.4).

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Base estándar para$$\mathbb{R}^2$$, también denominada$$\ell^{2}([0,1])$$:

\ [\ begin {array} {l}
b_ {0} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ derecha)\\
b_ {1} =\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1\ end {array}
\ right)\ end {array}
\ end {array}\ nonumber\]

$\left\langle b_{0}, b_{1}\right\rangle=\sum_{i=0}^{1} b_{0}[i] b_{1}[i]=1 \times 0+0 \times 1=0 \nonumber$

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Ahora tenemos las siguientes bases y relación:

\ [\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\} =\ left\ {h_ {0}, h_ {1}\ right\}\ nonumber\]

$\left\langle h_{0}, h_{1}\right\rangle=1 \times 1+1 \times-1=0 \nonumber$

## Bases Ortonormales

Al juntar las dos secciones anteriores (definiciones), llegamos al tipo de base más importante y útil:

Definición: Bases Ortonormales

$\left\|b_{i}\right\|=1, \quad i \in \mathbb{Z} \nonumber$

$\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle \quad, \quad i \neq j \nonumber$

Notación:

Podemos acortar estas dos declaraciones en una sola:

$\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=\delta_{i j} \nonumber$

donde

\ [\ delta_ {i j} =\ left\ {\ begin {array} {l}
1\ text {if} i=j\\
0\ text {if} i\ neq j
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Donde$$\delta_{i j}$$ se conoce como la función delta de Kronecker (Sección 1.6) y también a menudo se escribe como$$\delta[i-j]$$.

Ejemplo de Bases Ortonormales #1

\ [\ left\ {b_ {0}, b_ {2}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
0
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Ejemplo de Bases Ortonormales #2

\ [\ left\ {b_ {0}, b_ {2}\ right\} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

Ejemplo de Bases Ortonormales #3

\ [\ izquierda\ {b_ {0}, b_ {2}\ derecha\} =\ izquierda\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

### Belleza de Bases Ortonormales

¡Las bases ortonormales son muy fáciles de manejar! Si$$\left\{b_{i}\right\}$$ es una base ortonormal, podemos escribir para cualquier$$x$$

$x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber$

Es fácil encontrar los$$\alpha_i$$:

\ [\ begin {align}
\ izquierda\ langle x, b_ {i}\ derecha\ rangle &=\ izquierda\ langle\ suma_ {k}\ alpha_ {k} b_ {k}, b_ {i}\ derecha\ rangle\ nonumber\\
&=\ sum_ {k}\ alpha_ {k}\ alfa_ {k}\ izquierda\ langle\ izquierda (b_ {k}, _ {i}\ derecha)\ derecha\ rangle
\ end {align}\ nonumber\]

donde en la ecuación anterior podemos usar nuestro conocimiento de la función delta para reducir esta ecuación:

\ [\ begin {array} {c}
\ left\ langle b_ {k}, b_ {i}\ right\ rangle=\ delta_ {i k} =\ left\ {\ begin {array} {l}
1\ text {if} i=k\\
0\ text {if} i\ neq k
\ end {array}\ right. \\
\ izquierda\ langle x, b_ {i}\ derecha\ rangle=\ alpha_ {i}
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto, podemos concluir la siguiente ecuación importante para$$x$$:

$x=\sum_{i}\left\langle\left(x, b_{i}\right)\right\rangle b_{i} \nonumber$

Los$$\alpha_i$$ s son fáciles de calcular (sin interacción entre los$$b_i$$'s)

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Teniendo en cuenta las siguientes bases:

\ [\ izquierda\ {b_ {0}, b_ {1}\ derecha\} =\ izquierda\ {\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ right),\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\
-1
\ end {array}\ right)\ right\}\ nonumber\]

representar\ (x=\ izquierda (\ begin {array} {l}
3\\
2
\ end {array}\ derecha)\)

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Slightly Modified Fourier Series

Se nos da la base

$\left.\left\{\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \omega_{0} n t}\right\}\right|_{n=-\infty} ^{\infty} \nonumber$

en$$L^2([0,T])$$ donde$$T=\frac{2 \pi}{\omega_0}$$.

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\langle\left(f, e^{j \omega_{0} n t}\right)\right\rangle e^{j \omega_{0} n t} \frac{1}{\sqrt{T}} \nonumber$

Donde podemos calcular el producto interno anterior$$L^2$$ como

$\left\langle f, e^{j \omega_{0} n t}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) \overline{e^{j \omega_{0} n t}} \mathrm{d} t=\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f(t) e^{-\left(j \omega_{0} n t\right)} \mathrm{d} t \nonumber$

### Expansiones de base ortonormal en un espacio de Hilbert

Dejar$$\left\{b_{i}\right\}$$ ser una base ortonormal para un espacio Hilbert$$H$$. Entonces, para cualquiera$$x \in H$$ podemos escribir

$x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber$

donde$$\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle$$.

• “Análisis”: descomposición$$x$$ en término del$$b_i$$

$\alpha_{i}=\left\langle x, b_{i}\right\rangle \nonumber$

• “Síntesis”:$$x$$ construir a partir de una combinación ponderada del$$b_i$$

$x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber$

This page titled 15.8: Tipos de Bases is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..