7.1: Ecuaciones de Maxwell

Corrección de Corriente de Desplazamiento a Ley de Ampere

En el desarrollo histórico de la teoría del campo electromagnético a través del siglo XIX, la carga y su campo eléctrico se estudiaron separadamente de las corrientes y sus campos magnéticos. Hasta que Faraday demostró que un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico, se pensó que los campos eléctrico y magnético eran distintos y desacoplados. Faraday creía en la dualidad de que un campo eléctrico variable en el tiempo también debía generar un campo magnético, pero no pudo probar esta suposición.

Le quedaba a James Clerk Maxwell demostrar que la hipótesis de Fara day era correcta y que sin esta corrección la ley de Ampere y la conservación de la carga eran inconsistentes:

\[ \nabla\times \textbf{H}= \textbf{J}_{f}\Rightarrow \nabla\cdot \textbf{J}_{f}=0 \nonumber \]

\[ \nabla\cdot \textbf{J}_{f}+\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t}=0 \nonumber \]

pues si tomamos la divergencia de la ley de Ampere en (1), la densidad de corriente debe tener divergencia cero porque la divergencia del rizo de un vector es siempre cero. Este resultado contradice (2) si está presente una carga variable en el tiempo. Maxwell se dio cuenta de que agregar la corriente de desplazamiento en el lado derecho de la ley de Ampere satisfaría la conservación de carga, debido a la ley de Gauss relativa\(\textbf{D}\) a\(\rho_{f}\left ( \nabla\times \textbf{D} =\rho_{f}\right )\).

Esta sencilla corrección tiene consecuencias de largo alcance, pues podremos mostrar la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz\(c\), demostrando así que la luz es una onda electromagnética. Debido a la importancia de la corrección de Maxwell, el conjunto completo de leyes de campo electromagnético acoplado se llama ecuaciones de Maxwell:

Ley de Faraday

\[ \nabla\times\textbf{E}=-\frac{\partial \textbf{B}}{\partial t}\Rightarrow \oint_{\textbf{L}}\textbf{E}\cdot \textbf{dl}=-\frac{d}{dt}\int_{S}\textbf{B}\cdot \textbf{dS} \nonumber \]

Ley de Ampere con corrección de corriente de desplazamiento de Maxwell

\[ \nabla\times \textbf{H}= \textbf{J}_{f}+\frac{\partial \textbf{D}}{\partial t}\Rightarrow \oint_{\textbf{L}}\textbf{H}\cdot \textbf{dl}=\int_{\textbf{S}}\textbf{J}_{f}\cdot \textbf{dS}+\frac{d}{dt}\int_{\textbf{S}}\textbf{D}\cdot \textbf{dS}  \nonumber \]

Leyes de Gauss

\[ \nabla\times \textbf{D}=\rho_{f}\Rightarrow \oint_{\textbf{S}}\textbf{D}\cdot \textbf{dS}=\int_{\textbf{V}}\rho_{f}dV \nonumber \]

\[ \nabla\times \textbf{B}=0\Rightarrow \oint_{\textbf{S}}\textbf{B}\cdot \textbf{dS}=0 \nonumber \]

Conservación de carga

\[ \oint_{\textbf{S}}\textbf{J}_{f}\cdot \textbf{dS}+\frac{d}{dt}\int_{\textbf{V}}\rho_{f}dV=0 \nonumber \]

Como hemos justificado, (7) se deriva de la divergencia de (4) usando (5).

Tenga en cuenta que (6) no es independiente de (3) porque si tomamos la divergencia de la ley de Faraday,\(\nabla\cdot \textbf{B}\) podría ser a lo sumo una función independiente del tiempo. Ya que suponemos que en algún momento\(\textbf{B}=0\), esta función debe ser cero.

La simetría en las ecuaciones de Maxwell sería completa si una densidad de carga magnética apareciera en el lado derecho de la ley de Gauss en (6) con una corriente magnética asociada debido al flujo de carga magnética que aparece en el lado derecho de (3). Hasta el momento, nadie ha encontrado una carga magnética o corriente, aunque mucha gente está buscando activamente. A lo largo de este texto aceptamos (3) - (7) teniendo en cuenta que si se descubre carga magnética, debemos modificar (3) y (6) y agregar una ecuación como (7) para la conservación de la carga magnética.

Teoría de circuitos como aproximación cuasi-estática

La teoría de circuitos asume que los campos eléctrico y magnético están altamente localizados dentro de los elementos del circuito. Aunque la corriente de desplazamiento es dominante dentro de un condensador, es insignificante en el exterior, por lo que la ley de Ampere puede descuidar las variaciones de tiempo de\(\textbf{D}\) hacer que la corriente esté libre de divergencia. Luego obtenemos la ley actual de Kirchoff de que la suma algebraica de todas las corrientes que fluyen dentro (o fuera de) un nodo es cero:

\[ \nabla\cdot\textbf{J}=0\Rightarrow \oint_{\textbf{S}}\textbf{J}\cdot \textbf{dS}=0\Rightarrow \sum i_{k}=0 \nonumber \]

De manera similar, el flujo magnético variable en el tiempo que es dominante dentro de los inductores y transformadores se asume despreciable en el exterior para que el campo eléctrico esté libre de rizos. Entonces tenemos la ley de voltaje de Kirchoff de que la suma algebraica de caídas (o subidas) de voltaje alrededor de cualquier bucle cerrado en un circuito es cero:

\[ \nabla\times\textbf{E}=0\Rightarrow \textbf{E}=-\nabla V\Rightarrow \oint_{\textbf{L}}\textbf{E}\cdot \textbf{dl}=0\Rightarrow \sum v_{k}=0 \nonumber \]