9.1: Los potenciales retardados

Ecuaciones de onda no homogéneas

Las ecuaciones de Maxwell en completa generalidad son

\ begin {align}\ nabla\ veces\ textbf {E} &=-\ frac {\ parcial\ textbf {B}} {\ parcial t}\\
\ nabla\ veces\ textbf {H} &=\ textbf {J} _ _ {f} +\ frac {\ parcial\ textbf {D}} {\ t parcial}\
\ nabla\ cdot\ textbf {B} &=0\\
\ nabla\ cdot\ textbf {D} &=\ rho _ {f}\ end {align}

En nuestro desarrollo utilizaremos las siguientes identidades vectoriales

\ [\ begin {align}
\ nabla\ times\ left (\ nabla V\ right) &=0\\
\ nabla\ cdot\ left (\ nabla\ times\ textbf {A}\ right) &=0\\
\ nabla\ times\ left (\ nabla\ times\ textbf {A}\ right) &=\ nabla\ left (\ nabla\ cdot\ textbf {A}\ derecha) -\ nabla^ {2}\ textbf {A}
\ fin {align}\ nonumber\]

donde\(\textbf{A}\) y\(V\) puede ser cualquier función pero en particular será el potencial de vector magnético y el potencial escalar eléctrico, respectivamente.

Debido a que en (3) el campo magnético no tiene divergencia, la identidad en (6) nos permite definir nuevamente el potencial vectorial\(\textbf{A}\) como lo teníamos para la cuasi-estática en la Sección 5-4:

\[ \textbf{B}=\nabla\times \textbf{A} \nonumber \]

para que la ley de Faraday en (1) pueda ser reescrita como

\[ \nabla\times \left ( \textbf{E}+\frac{\partial \textbf{A}}{\partial t} \right )=0 \nonumber \]

Entonces (5) nos dice que cualquier vector libre de rizo se puede escribir como el gradiente de un escalar para que (9) se convierta

\[ \textbf{E}+\frac{\partial \textbf{A}}{\partial t}=-\nabla V \nonumber \]

donde introducimos el signo negativo en el lado derecho para que\(V\) se convierta en el potencial eléctrico en una situación estática cuando\(\textbf{A}\) es independiente del tiempo. Resolvemos (10) para el campo eléctrico y con (8) reescritura (2) para medios dieléctricos lineales\(\left ( \textbf{D}=\varepsilon \textbf{E},\textbf{B}=\mu \textbf{H} \right )\):

\[ \nabla\times \left ( \nabla\times \textbf{A} \right )=\mu \textbf{J}_{f}+\frac{1}{c^{2}}\left [ -\nabla\left ( \frac{\partial V}{\partial t} \right )-\frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2} \right ],\quad c^{2}=\frac{1}{\varepsilon \mu } \nonumber \]

La identidad vectorial de (7) nos permite reducir (11) a

\[\nabla^{2}\textbf{A}-\nabla\left [ \nabla\cdot \textbf{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial V}{\partial t} \right ]-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2}=-\mu \textbf{J}_{f} \nonumber \]

Hasta el momento, sólo hemos especificado el rizo de\(\textbf{A}\) in (8). El teorema de Helmholtz discutido en la Sección 5-4-1 nos dijo que para especificar de manera única el potencial vectorial también debemos especificar la divergencia de\(\textbf{A}\). A esto se le llama establecer el medidor. Examinando (12) vemos que si establecemos

\[ \nabla\cdot \textbf{A}=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial V}{\partial t} \nonumber \]

el término medio en el lado izquierdo de (12) se convierte en cero de modo que la relación resultante entre\(\textbf{A}\) y\(\textbf{J}_{f}\) es la ecuación de onda vectorial no homogénea:

\[ \nabla^{2}\textbf{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2 \textbf{A}}{\partial t^2}=-\mu \textbf{J}_{f} \nonumber \]

La condición de (13) se llama calibre Lorentz. Tenga en cuenta que para condiciones estáticas\( \nabla\cdot \textbf{A}=0\), que es el valor también recogido en la Sección 5-4-2 para el campo magneto-cuasi-estático. Con (14) podemos resolver para\(\textbf{A}\) cuando\(\textbf{J}_{f}\) se da la distribución actual y luego usar (13) para resolver para\(V\). El potencial escalar también se puede encontrar directamente usando (10) en la ley de Gauss de (4) como

\[ \nabla^{2}V+\frac{\partial }{\partial t}\left ( \nabla\cdot \textbf{A} \right )=\frac{-\rho _{f}}{\varepsilon } \nonumber \]

El segundo término se puede poner en términos de\(V\) usando la condición de calibre Lorentz de (13) para producir la ecuación de onda escalar:

\[ \nabla^{2}V-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{-\rho _{f}}{\varepsilon } \nonumber \]

Obsérvese nuevamente que para situaciones estáticas esta relación se reduce a la ecuación de Poisson, la ecuación gobernante para el potencial eléctrico cuasiestático.

Soluciones a la Ecuación de Onda

Vemos que las tres ecuaciones escalares de (14) (una ecuación para cada componente vectorial) y la de (16) están en la misma forma. Si así podemos encontrar la solución general a alguna de estas ecuaciones, conocemos la solución general a todas ellas.

Como habíamos procedido anteriormente para campos cuasi-estáticos, encontraremos la solución a (16) para una fuente de carga puntual. Luego, la solución para cualquier distribución de carga se obtiene mediante superposición integrando la solución para una carga puntual sobre todos los elementos de carga incremental.

En particular, considere una carga puntual estacionaria en\(r =0\) que sea una función arbitraria del tiempo\(\mathcal{Q}\left ( t \right )\). Por simetría, el potencial resultante solo puede ser una función de\(r\) para que (16) se convierta

\[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left ( r^{2}\frac{\partial V}{\partial r} \right )-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}=0,\quad r> 0 \nonumber \]

donde el lado derecho es cero porque la densidad de carga es cero en todas partes excepto en\(r=0\). Al multiplicar (17) a través de\(r\) y darse cuenta de que

\[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left ( r^{2}\frac{\partial V}{\partial r} \right )=\frac{\partial^2}{\partial r^2}\left ( rV \right ) \nonumber \]

reescribimos (17) como una ecuación de onda homogénea en la variable\(\left ( rV \right )\):

\[ \frac{\partial^2}{\partial r^2}\left ( rV \right ) -\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\left ( rV \right )=0 \nonumber \]

lo que sabemos de la Sección 7-3-2 tiene soluciones

\[ rV=f_{+}\left ( t-\frac{r}{c} \right )+f_{-}\left ( t\underset{\nearrow \quad }{\overset{\qquad 0}{\overset{\quad \nearrow}{+}}} \frac{r}{c} \right ) \nonumber \]

Tiramos la solución de olas que viajan negativamente ya que no hay fuentes para\(r>0\) que todas las ondas emanen radialmente hacia afuera desde el punto de carga en\(r=0\). La función arbitraria\(f_{+}\) se evalúa al darse cuenta de que como no puede\(r\rightarrow 0\) haber efectos de retardo de propagación por lo que el potencial debe acercarse al potencial cuasi-estático de Coulomb de una carga puntual:

\[ \lim_{r\rightarrow 0}V=\frac{\mathcal{Q}\left ( t \right )}{4\pi \varepsilon r}\Rightarrow f_{+}\left ( t \right )=\frac{\mathcal{Q}\left ( t \right )}{4\pi \varepsilon} \nonumber \]

El potencial debido a una carga puntual se obtiene a partir de (20) y (21) tiempo\(t\) de sustitución por el tiempo retardado\(t-r/c\):

\[ V\left ( r,t \right )=\frac{\mathcal{Q}\left ( t-r/c \right )}{4\pi \varepsilon r} \nonumber \]

El potencial en el momento no\(t\) depende del valor actual de carga sino del valor de carga un tiempo de propagación\(r/c\) anterior cuando se lanzó la onda ahora recibida.

El potencial debido a una distribución arbitraria del volumen de carga\(\rho _{f}\left ( t \right )\) se obtiene reemplazando\(\mathcal{Q}\left ( t-r/c \right )\) con el elemento de carga diferencial\(\rho _{f}\left ( t \right )d\textrm{V}\) e integrando sobre el volumen de carga:

\[ V\left ( r,t \right )=\int_{\textrm{all charge}}\frac{\rho _{f}\left ( t-r_{\mathcal{Q}P}/c \right )}{4\pi \varepsilon r_{\mathcal{Q}P}}d\textrm{V} \nonumber \]

donde\(r_{\mathcal{Q}P}\) es la distancia entre la carga como fuente en el punto\(\mathcal{Q}\) y el punto de campo en\(P\).

El potencial vectorial en (14) está en la misma dirección que la densidad de corriente\(\textbf{J}_{f}\). La solución para se\(\textbf{A}\) puede obtener directamente de (23) dándose cuenta de que cada componente de\(\textbf{A}\) obedece a la misma ecuación que (16) si reemplazamos\(\rho _{f}/\varepsilon \) por\(\mu \textbf{J}_{f}\):

\[ A\left ( r,t \right )=\int_{\textrm{all current}}\frac{\mu \textbf{J}_{f}\left ( t-r_{\mathcal{Q}P}/c \right )}{4\pi \varepsilon r_{\mathcal{Q}P}}d\textrm{V} \nonumber \]