3.1: Introducción

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Objetivos de aprendizaje

Los polinomios son importantes en el procesamiento de señales digitales porque calcular la DFT se puede ver como un problema de evaluación polinómica y la convolución se puede ver como multiplicación polinómica

Esta es, de hecho, la base de los importantes resultados de Winograd discutidos en los algoritmos cortos de DFT de Winograd. Una\(N\) señal de longitud\(x(n)\) será representada por un polinomio de\(N-1\) grado\(X(s)\) definido por:

\[X(s)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)s^{n} \nonumber \]

Este polinomio\(X(s)\) es una sola entidad con los coeficientes siendo los valores de\(x(n)\). Es algo similar al uso de la notación matricial o vectorial para representar de manera eficiente señales lo que permite el uso de nuevas herramientas matemáticas.

La convolución de dos secuencias de longitud finita,\(x(n)\) y\(h(n)\), da una secuencia de salida definida por

\[y(n)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)h(n-k) \nonumber \]

\[n=0,1,2,...,2N-1\; \; where\; \; h(k)=0\; \; for\; \; k<0 \nonumber \]

Esta es exactamente la misma operación que calcular los coeficientes al multiplicar dos polinomios. La ecuación es la misma que

\[Y(s)=X(s)H(s) \nonumber \]

De hecho, la convolución de secuencias numéricas, la multiplicación de polinomios y la multiplicación de enteros (excepto la operación de acarreo) son todas las mismas operaciones. Para obtener convolución cíclica, donde los índices en la ecuación son todos evaluados módulo\(N\), la multiplicación polinómica en la ecuación se hace módulo el polinomio:

\[P(s)=s^{N}-1 \nonumber \]

Esto se ve al señalar que por\(N=0\, mod\, N\) lo tanto, \(s^N=1\)y el módulo polinomial es\(s^N=1\).

Colaborador

ContribeeBurrus