1.7: Experimento Numérico (Raíces Cuadráticas)

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Existe una versión de la ecuación cuadrática que surgirá una y otra vez en su estudio de sistemas eléctricos y mecánicos

\[s^2+2ξω_0s+ω^2_0=0 \nonumber \]

Por razones que solo pueden quedar claras a medida que continúas con tu estudio de ingeniería, el parámetro\(ω_0\) se llama frecuencia resonante, y el parámetro\(ξ≥0\) se llama factor de amortiguación. En este experimento, comenzarás por

encontrar el rango “subamortiguado” de valores\(ξ≥0\) para los que las raíces\(s_1\) y\(s_2\) son complejas;
encontrar el valor “críticamente amortiguado” de\(ξ≥0\) que hace que las raíces\(s_1\) sean\(s_2\) iguales; y
encontrar el rango “sobreamortiguado” de valores\(ξ≥0\) para los cuales\(s_1\) y\(s_2\) son reales.
Para cada una de estas gamas, encuentra la solución analítica para\(s_{1,2}\) en función de\(ω_0\) y\(ξ\); escribe tus soluciones en formas cartesianas y polares y presenta tus resultados como

\[s_{1,2} = \begin{cases} & 0≤ξ≤ξ_c 0 \\& ξ=ξ_c \\& ξ≥ξ_c\end{cases} \nonumber \]

donde\(ξ_c\) está el valor críticamente amortiguado de\(ξ\). Escriba un programa MATLAB que calme y\(s_{1,2}\) grafique para\(ω_0\) fijo en\(ω_0=1\) y\(ξ\) variable entre 0.0 y 2.0 en pasos de 0.1. Interpreta todos tus hallazgos.

Ahora organice los coeficientes del polinomio\(s^2+2ξs+1\) en la matriz\([12ξ1]\). Imbrieron las instrucciones de MATLAB

r=raíces ([1 2*e 1]); parcela (real (r (1)), imag (r (1)), 'o') parcela (real (r (2)), imag (r (2)), 'o')

en un bucle for para calcular y trazar las raíces de\(s^2+2ξs+1\) as \(ξ\) ranges from 0.0 to 2.0. Note that r is a 1×2 array of complex numbers. You should observe the Figure. We call this “half circle and line” the locus of roots for the quadratic equation or the “root locus” in shorthand