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1.7: Experimento Numérico (Raíces Cuadráticas)

  • Page ID
    82169
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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Existe una versión de la ecuación cuadrática que surgirá una y otra vez en su estudio de sistemas eléctricos y mecánicos

    \[s^2+2ξω_0s+ω^2_0=0 \nonumber \]

    Por razones que solo pueden quedar claras a medida que continúas con tu estudio de ingeniería, el parámetro\(ω_0\) se llama frecuencia resonante, y el parámetro\(ξ≥0\) se llama factor de amortiguación. En este experimento, comenzarás por

    1. encontrar el rango “subamortiguado” de valores\(ξ≥0\) para los que las raíces\(s_1\) y\(s_2\) son complejas;
    2. encontrar el valor “críticamente amortiguado” de\(ξ≥0\) que hace que las raíces\(s_1\) sean\(s_2\) iguales; y
    3. encontrar el rango “sobreamortiguado” de valores\(ξ≥0\) para los cuales\(s_1\) y\(s_2\) son reales.
    4. Para cada una de estas gamas, encuentra la solución analítica para\(s_{1,2}\) en función de\(ω_0\) y\(ξ\); escribe tus soluciones en formas cartesianas y polares y presenta tus resultados como

    \[s_{1,2} = \begin{cases} & 0≤ξ≤ξ_c 0 \\& ξ=ξ_c \\& ξ≥ξ_c\end{cases} \nonumber \]

    donde\(ξ_c\) está el valor críticamente amortiguado de\(ξ\). Escriba un programa MATLAB que calme y\(s_{1,2}\) grafique para\(ω_0\) fijo en\(ω_0=1\) y\(ξ\) variable entre 0.0 y 2.0 en pasos de 0.1. Interpreta todos tus hallazgos.

    Ahora organice los coeficientes del polinomio\(s^2+2ξs+1\) en la matriz\([12ξ1]\). Imbrieron las instrucciones de MATLAB

    r=raíces ([1 2*e 1]);
    parcela (real (r (1)), imag (r (1)), 'o')
    parcela (real (r (2)), imag (r (2)), 'o')

    en un bucle for para calcular y trazar las raíces de\(s^2+2ξs+1\) as \(ξ\) ranges from 0.0 to 2.0. Note that r is a 1×2 array of complex numbers. You should observe the Figure. We call this “half circle and line” the locus of roots for the quadratic equation or the “root locus” in shorthand

    rootsQuadratic.PNG

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